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Topos Uranos
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유리수의 십진 표현

요약

이 수업은 유리수의 십진 표기를 다룬다. 몫의 각 숫자가 세로셈 나눗셈의 나머지에서 생겨남을 보이고, 포개진 구간과 아르키메데스 성질로 무한 십진 표현의 값을 정의하며, 십진 표현을 특징짓는 세 정리를 증명한다. 기약분수가 유한소수로 나타나는 것은 그 분모가 22와 55 이외의 소인수를 갖지 않을 때, 그리고 그때에 한한다는 것. 모든 유리수의 십진 표현은 유한소수이거나 순환소수이며, 순환마디의 길이는 분모보다 작다는 것. 거꾸로, 모든 순환소수는 유리수를 나타내며 그 생성 분수는 등비수열의 합으로 얻어진다는 것. 이로부터 0.999…와 11이 같다는 것, 무리수가 순환하지 않는 십진 표현으로 특징지어진다는 것, 그리고 끝으로 과학적 표기법, 유효숫자, 반올림이 일으키는 오차의 상계가 따라 나온다.

학습 목표

  1. 분수의 십진 표현을 세로셈 나눗셈으로 구하고, 각 숫자가 00과 99 사이에 있는 이유와 십진 표현이 분수에 가까워지는 이유를 나머지를 이용하여 설명한다.
  2. 분모의 소인수분해로부터 분수의 십진 표현이 유한소수인지 순환소수인지 판정하고, 순환마디의 길이의 상계를 구한다.
  3. 순환소수의 생성 분수를 구하고, 0.999…와 11이 같다는 등식과 같은 등식을 엄밀하게 정당화한다.
  4. 수를 과학적 표기법으로 쓰고, 주어진 개수의 유효숫자로 반올림하며, 그때 생기는 절대오차와 상대오차의 상계를 구한다.

세로셈 나눗셈과 소수점 아래 숫자

유리수 수업에서는 분수와 그 연산을, 위치적 기수법 수업에서는 숫자로 자연수를 쓰는 법을 배웠다. 십진 표현은 이 둘을 하나로 묶는다. 즉, 1010의 음의 거듭제곱을 이용하여 위치적 표기를 소수점 오른쪽으로 확장한다. 그리하여 0.375로 쓰는 수는, 정의에 따라, 십분의 일의 자리, 백분의 일의 자리, 천분의 일의 자리 수들의 합이다:

310+7102+5103=375103=38\frac{3}{10} + \frac{7}{10^2} + \frac{5}{10^3} = \frac{375}{10^3} = \frac{3}{8}

일반적으로 유한소수는 정수 부분 NN과 유한 개의 숫자 c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n으로 이루어지며, 각 숫자는 00과 99 사이에 있고, 다음 수를 나타낸다:

N+c110+c2102+⋯+cn10n=N+∑k=1nck10kN + \frac{c_1}{10} + \frac{c_2}{10^2} + \cdots + \frac{c_n}{10^n} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}

유리수의 부호는 따로 쓰므로 양의 유리수만 다루면 충분하다. 분자와 분모가 자연수인 분수 pq\frac{p}{q}의 십진 표현을 구하려면 세로셈 나눗셈을 쓰는데, 이것은 나머지가 있는 나눗셈을 되풀이하는 것에 지나지 않는다. 먼저 pp를 qq로 나누어 정수 부분 NN과 나머지 r0r_0을 얻는다. 그다음 각 단계에서 마지막 나머지에 1010을 곱하고 qq로 나눈다. 이 나눗셈의 몫이 다음 숫자이고, 그 나머지가 그다음 단계로 넘어간다:

p=qN+r0,10rk−1=qck+rk,0≤rk<qp = qN + r_0, \qquad 10 r_{k - 1} = q c_k + r_k, \qquad 0 \le r_k < q
예시3을 7로 나누는 세로셈 나눗셈

37\frac{3}{7}의 숫자들을 계산한다. 각 단계에서 피제수(직전 나머지의 열 배), 얻어지는 숫자, 새 나머지를 쓴다. 그림은 나눗셈의 계단과, 그 위에 쌓여 가는 숫자들을 보여 준다.

증명

  1. 10⋅3=30=7⋅4+210 \cdot \dato{r0}{3} = 30 = 7 \cdot \resaltar{4} + \resaltar{2}

    3<73 < 7이므로 정수 부분은 00이고, 첫 나머지는 분자 자신, 곧 r0=3r_0 = 3이다. 나머지에 1010을 곱하고 77로 나누면 십분의 일의 자리 숫자는 44이다.

  2. 10⋅2=20=7⋅2+610 \cdot 2 = 20 = 7 \cdot \resaltar{2} + \resaltar{6}

    나머지 22로부터 백분의 일의 자리 숫자를 얻는다.

  3. 10⋅6=60=7⋅8+410 \cdot 6 = 60 = 7 \cdot \resaltar{8} + \resaltar{4}

    나머지 66으로부터 천분의 일의 자리 숫자를 얻는다.

  4. 10⋅4=40=7⋅5+510 \cdot 4 = 40 = 7 \cdot \resaltar{5} + \resaltar{5}

    나머지 44로부터 넷째 숫자를 얻는다.

  5. 10⋅5=50=7⋅7+110 \cdot 5 = 50 = 7 \cdot \resaltar{7} + \resaltar{1}

    나머지 55로부터 다섯째 숫자를 얻는다.

  6. 10⋅1=10=7⋅1+310 \cdot 1 = 10 = 7 \cdot \resaltar{1} + \resaltar{3}

    나머지 11로부터 여섯째 숫자를 얻는다. 그리고 새 나머지는 33으로, 처음 시작한 나머지와 같다.

  7. 37=428571106+1106⋅37\frac{3}{7} = \frac{428571}{10^6} + \frac{1}{10^6} \cdot \resaltar{\frac{3}{7}}

    여기서부터 나눗셈은 한 단계씩 되풀이된다. 아직 나누어야 할 부분, 곧 37\frac{3}{7}에 1106\frac{1}{10^6}을 곱한 것은 같은 몫을 여섯 자리 옮겨 놓은 것이다. 숫자들은 끝없이 되풀이되는 한 덩어리를 이룬다.

따라서 37\frac{3}{7}의 십진 표현은 0.428571428571…이고, 순환마디는 428571이다. 이 예에는 수업 전체가 싹으로 담겨 있다. 숫자는 나머지에서 나오고, 나머지는 나누는 수보다 작으며, 나머지 하나가 되풀이되자마자 그 뒤의 모든 것이 되풀이된다. 먼저 확인해야 할 사실은 이렇게 얻은 숫자들이 정말로 숫자이며 분수에 원하는 만큼 가까워진다는 것이다.

보조정리세로셈 나눗셈의 숫자

pp와 qq를 자연수라 하고, NN, r0r_0 그리고 (각 자연수 kk에 대하여) ckc_k와 rkr_k를 pp를 qq로 나누는 세로셈 나눗셈이 주는 수라 하자. 그러면 각 ckc_k는 숫자로서 00과 99 사이에 있고, 모든 자연수 nn에 대하여 다음 등식이 성립한다. 여기서 마지막 항은 음이 아니고 110n\frac{1}{10^n}보다 작다.

pq=N+∑k=1nck10k+rnq⋅10n\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_n}{q \cdot 10^n}

증명은 nn에 대한 귀납법으로 한다. 그림은 37\frac{3}{7}을 예로 들어 논증을 따라간다. 새 숫자는 각각 직전 구간의 열 부분 가운데 하나를 고르며, 그 구간은 잘 보이도록 확대된다.

증명

  1. qck≤10rk−1<10q→0≤ck≤9q c_k \le 10 r_{k - 1} < 10q \rightarrow 0 \le c_k \le 9

    각 ckc_k는 숫자이다. 직전 나머지가 qq보다 작으므로 피제수 10rk−110 r_{k - 1}은 10q10q보다 작고, 몫은 1010보다 작다.

  2. pq=N+r0q\dato{base}{\frac{p}{q} = N + \frac{r_0}{q}}

    n=0n = 0일 때에는 숫자가 없고, 등식은 첫 번째 나머지가 있는 나눗셈의 양변을 qq로 나눈 것이다.

  3. rnq⋅10n=10rnq⋅10n+1=qcn+1+rn+1q⋅10n+1=cn+110n+1+rn+1q⋅10n+1\dato{paso}{\frac{r_n}{q \cdot 10^n} = \frac{\resaltar{10 r_n}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{\resaltar{q c_{n + 1} + r_{n + 1}}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{c_{n + 1}}{10^{n + 1}} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}}

    귀납 단계: 마지막 항을 다음 나눗셈 10rn=qcn+1+rn+110 r_n = q c_{n + 1} + r_{n + 1}을 이용하여 다시 쓰고, 두 분수로 나눈다.

  4. pq=N+∑k=1n+1ck10k+rn+1q⋅10n+1\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}

    nn의 경우의 등식에 대입하면 n+1n + 1의 경우의 등식을 얻는다. 귀납법에 의하여 등식은 모든 nn에 대하여 성립한다.

  5. 0≤pq−Tn=rnq⋅10n<110n0 \le \frac{p}{q} - T_n = \frac{\resaltar{r_n}}{q \cdot 10^n} < \frac{1}{10^n}

    0≤rn<q0 \le r_n < q이므로 마지막 항은 음이 아니고 110n\frac{1}{10^n}보다 작다. 즉, 분수와 그 버림 사이의 거리는 110n\frac{1}{10^n}보다 작다. 여기서 버림은 nn번째 자리까지의 것으로, 수 TnT_n, 곧 정수 부분과 처음 nn개의 숫자로 이루어진 수이다.

보조정리에 따르면 pq\frac{p}{q}는 TnT_n에서 시작하고 길이가 110n\frac{1}{10^n}인 구간에 속하며, 왼쪽 끝은 포함되고 오른쪽 끝은 제외된다. 이 구간들은 실수 직선 수업에서 자세히 다루며, 다음과 같이 쓴다:

Tn=N+∑k=1nck10k,pq∈[Tn,Tn+110n)T_n = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}, \qquad \frac{p}{q} \in \ico{T_n}{T_n + \frac{1}{10^n}}