역행렬

역행렬

대수학과 기하학 I 강좌의 수 집합에 관한 수업에서, 영이 아닌 모든 수 $a$는 역수 $a^{-1}$을 가지며, 이 역수 덕분에 방정식 $ax = b$은 양변에 $a^{-1}$을 곱하여 풀 수 있음을 보았다. 행렬과 행렬의 연산에 관한 수업에서는 연립일차방정식을 하나의 방정식 $AX = B$로 썼고, 단위행렬 $I$가 곱의 항등원임이 드러났다. 그렇다면 자연스러운 물음은 $A$에 대하여 역수의 역할을 하는 행렬, 즉 한 번의 곱셈으로 연립방정식을 풀게 해 주는 행렬이 존재하는가이다. 그런데 행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않으므로 정의는 두 등식을 모두 요구해야 한다. 또한 $AB$와 $BA$가 $I$와 같은 크기를 가지려면 행렬 $A$는 정사각행렬이어야 한다.

정사각행렬 $A$($n$차)에 대하여 어떤 행렬 $B$($n$차)가 존재하여 $AB = BA = I$가 성립할 때, 이 행렬을 가역이라 한다. 여기서 $I$는 $n$차 단위행렬이다. 이러한 성질을 가진 행렬 $B$를 $A$의 역행렬이라 한다.

예를 들어 아래의 두 행렬은 서로의 역행렬이며, 두 순서로 곱해 보면 이를 확인할 수 있다.

영행렬이 아닌 모든 행렬이 가역인 것은 아니며, 이 점에서 행렬은 수와 갈라진다. 영행을 가진 행렬은 가역이 아니다. 그 행과 임의의 열의 곱은 $0$이므로, $AB$는 모든 행렬 $B$에 대하여 영행을 가지고 단위행렬이 될 수 없기 때문이다. 행렬 $A$도 가역이 아니다. 단, 이는 영행렬이 아닌 어떤 $C$에 대하여 $AC = 0$이 되는 경우로, 행렬에 관한 수업의 영인자가 그 예이다. $A$가 역행렬 $B$를 가진다면 $C = (BA)C = B \cdot (AC) = 0$가 될 것이다. 또 $C$도 가역이 아니다. 역행렬 $B$를 가진다면 $A = A \cdot (CB) = (AC)B = 0$가 될 것이기 때문이다. 예를 들어 행이 $1, 1$, $1, 1$인 행렬에 행이 $1, -1$, $-1, 1$인 행렬을 곱하면 영행렬이 되며, 두 행렬 모두 가역이 아니다.

$A$의 유일한 역행렬은, 존재할 때, $A^{-1}$으로 나타낸다. 이를 분수 $\frac{1}{A}$로 써서는 안 되며, 곱 $BA^{-1}$을 몫 $\frac{B}{A}$로 써서도 안 된다. $BA^{-1}$과 $A^{-1}B$는 일반적으로 다르므로, 그런 표기는 어느 쪽에서 곱하는지를 나타내지 못하기 때문이다. 1858년에 행렬 계산을 창시한 아서 케일리는 이미 ‘행렬식과 가역성’ 절의 수반행렬을 이용하여 역행렬을 정의하였다.