본문 바로가기
Topos Uranos
한국어

역함수의 미분법과 음함수의 미분법

요약

이 수업에서는 구간에서 연속이고 엄격하게 단조인 함수의 역함수가, 함수의 미분계수가 영이 아닌 각 점에서 미분가능하며, 그 미분계수가 대응하는 점에서 구한 함수의 미분계수의 역수임을 증명한다. 그래프를 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동하면, 기울기가 mm인 접선은 기울기가 1m\frac{1}{m}인 접선으로 바뀐다. 증명에는 사잇값 정리에 관한 수업의 역함수의 연속성과 카라테오도리의 특성화를 쓴다. 함수의 미분계수가 영이 되는 곳에서는 역함수가 미분가능하지 않다. 이 정리로 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트, 역쌍곡선함수, 거듭제곱근, 유리수 지수의 거듭제곱을 미분한다. 수업의 뒷부분에서는 원이나 데카르트의 엽선의 가지처럼 방정식으로 정의되는 함수를, 그 함수가 존재하고 미분가능하다고 가정하여 미분하고, 그 가정이 성립하지 않을 때 무슨 일이 일어나는지 보인다.

학습 목표

  1. 역함수의 미분법을 증명하고, 함수의 미분계수가 영이 되는 곳에서 역함수가 왜 미분가능하지 않은지 설명한다.
  2. 역삼각함수, 역쌍곡선함수, 거듭제곱근, 유리수 지수의 거듭제곱을, 각 도함수가 존재하는 집합과 함께 미분한다.
  3. 방정식으로 정의되는 함수를, 그것이 존재하고 미분가능하다고 가정하여 음함수의 미분법으로 미분하고, 이를 통해 함수의 그래프가 아닌 곡선의 접선을 구한다.
  4. 음함수의 미분법이 아무것도 결정하지 못하는 경우를 알아본다. 미분가능한 함수를 하나도 정의하지 않는 방정식과, 도함수의 계수가 영이 되는 점이다.

역함수의 도함수

단사함수의 역함수의 그래프는 그 함수의 그래프를 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 것이다. 앞의 그래프 위의 점 (a,b)(a, b)는 뒤의 그래프 위의 점 (b,a)(b, a)가 된다. 이 대칭이동은 수평 방향의 증분과 연직 방향의 증분을 서로 바꾸므로, 기울기가 mm인 할선은 기울기가 1m\frac{1}{m}인 할선으로 바뀌고, 접선에 대해서도 같은 것을 기대할 수 있다. 초등함수의 도함수에 관한 수업에서는 한 경우에 이를 관찰했다. exe^x과 ln⁡x\ln x의 그래프의, 직선 y=xy = x에 대하여 대칭인 점에서의 접선은 서로 역수인 기울기 eae^a과 1ea\frac{1}{e^a}를 가진다.

간단한 계산으로 일반적인 공식을 짐작할 수 있다. f−1f^{-1}이 미분가능하다면, 등식 f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y를 연쇄 법칙으로 미분하여 f′(f−1(y))(f−1)′(y)=1f'\left(f^{-1}(y)\right) \left(f^{-1}\right)'(y) = 1을 얻고, 나누기만 하면 될 것이다. 그러나 이 계산은 증명해야 할 것, 곧 역함수가 미분가능하다는 것을 전제하며, f′(f−1(y))=0f'\left(f^{-1}(y)\right) = 0일 때 무슨 일이 일어나는지는 말해 주지 않는다. 그런 경우는 실제로 있다. x3x^3은 00에서 미분가능하고 미분계수는 영이지만, 그 역함수인 세제곱근은 00에서 미분가능하지 않다. 이는 극한으로서의 도함수에 관한 수업의 명제인 미분불가능한 연속함수에 의한다. 아래의 정리는 미분가능성을 가정하지 않고 그것을 증명하며, 카라테오도리의 특성화를 쓴다. 이 특성화로 어떤 증분으로도 나누지 않고 역함수의 증분을 분리해 낼 수 있다.

정리역함수의 미분법

ff를 구간 II(둘 이상의 점을 포함하는)에서 연속이고 엄격하게 단조인 함수라 하고, J=f(I)J = f(I)라 하자. ff가 점 aa(II의 점)에서 미분가능하고 f′(a)≠0f'(a) \neq 0이면, 역함수 f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I는 b=f(a)b = f(a)에서 미분가능하고,

(f−1)′(b)=1f′(a)=1f′(f−1(b))\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}

ff의 aa에서의 카라테오도리의 분해를 거꾸로 읽는다. 함수 φ\varphi는 영이 되지 않고, 그 역수를 f−1(y)f^{-1}(y)에서 구한 값이 역함수의 증분을 인수분해한다. 그림은 f(x)=x3f(x) = x^3, a=0.8a = 0.8인 경우에 대하여 ff의 할선과 접선을 보이고, 이어서 그것들을 대칭이동한 것, 곧 세제곱근의 할선과 접선을 보인다.

증명

  1. f(x)−f(a)=φ(x)(x−a),x∈If(x) - f(a) = \dato{fi}{\varphi(x)(x - a)}, \qquad x \in I

    II는 둘 이상의 점을 포함하는 구간이므로, 그 모든 점은 II의 집적점이다. 극한으로서의 도함수에 관한 수업의 정리인 미분계수의 특성화에 의해, 함수 φ ⁣:I→R\varphi \colon I \to \mathbb{R}로서 aa에서 연속이고 φ(a)=f′(a)\varphi(a) = f'(a)를 만족하며 아래가 성립하는 것이 존재한다.

  2. x≠a→φ(x)=f(x)−f(a)x−a≠0,φ(a)=f′(a)≠0x \neq a \rightarrow \varphi(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \neq 0, \qquad \resaltar{\varphi(a) = f'(a) \neq 0}

    함수 φ\varphi는 II의 어느 점에서도 영이 되지 않는다. aa에서는 값 f′(a)f'(a)를 가지며, 이는 영이 아니다. x≠ax \neq a이면 엄격한 단조성에서 f(x)≠f(a)f(x) \neq f(a)이 나오고, φ(x)\varphi(x)는 평균변화율이므로 역시 영이 아니다.

  3. f−1(y)−f−1(b)=1φ(f−1(y))(y−b),y∈Jf^{-1}(y) - f^{-1}(b) = \dato{psi}{\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}}(y - b), \qquad y \in J

    yy를 JJ의 원소라 하고 x=f−1(y)x = f^{-1}(y)라 하면, f(x)=yf(x) = y이고 x−a=f−1(y)−f−1(b)x - a = f^{-1}(y) - f^{-1}(b)이다. 이 분해를 영이 아닌 φ(x)\varphi(x)로 나눈다. 역함수의 증분이 인수분해되며, 어떤 증분으로도 나누지 않았다.

  4. ψ(b)=1φ(a)=1f′(a)\psi(b) = \frac{1}{\varphi(a)} = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    사잇값 정리에 관한 수업의 따름정리인 구간의 상과 역함수의 연속성에 의해, JJ는 구간이고, ff가 단사이므로 둘 이상의 점을 포함하며, f−1f^{-1}은 bb에서 연속이다. φ\varphi가 a=f−1(b)a = f^{-1}(b)에서 연속이므로, 극한과 연속성에 관한 수업의 정리인 연속함수의 합성과 연속함수의 연산에 의해, 인수 ψ=1φ∘f−1\psi = \frac{1}{\varphi \circ f^{-1}}는 bb에서 연속이다. bb가 JJ의 집적점이므로, 카라테오도리의 특성화에 의해 미분계수를 얻는다.

ff의 연속성을 II 전체에서 요구하는 것은 역함수가 bb에서 연속이 되게 하기 위해서이며, 바로 이것이 증명의 마지막 과정에서 극한으로 넘어가는 것을 가능하게 한다. ff가 II 전체에서 미분가능하고 그 도함수가 영이 되지 않으면, 역함수는 JJ 전체에서 미분가능하고, 등식은 함수 사이의 등식 (f−1)′=1f′∘f−1\left(f^{-1}\right)' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}로 쓸 수 있다. ff의 도함수는 f−1(y)f^{-1}(y)에서의 값을 구하며, yy에서의 값이 아니다. 라이프니츠 표기법으로는, y=f(x)y = f(x)이고 x=f−1(y)x = f^{-1}(y)이면 정리는 dxdy=1dydx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}임을 말한다. 이때 분모의 도함수는 x=f−1(y)x = f^{-1}(y)에서의 값을 구한다. 연쇄 법칙에서와 같이, 이 공식은 분수의 규칙처럼 보이지만 그렇지 않다. 미분가능성이 증명된 뒤에는, 처음의 간단한 계산, 곧 f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y를 연쇄 법칙으로 미분하는 계산이 이 공식을 기억하는 정당한 방법이 된다.

명제미분계수가 영이 되는 점에서의 역함수

ff를 구간 II(둘 이상의 점을 포함하는)에서 연속이고 엄격하게 단조인 함수라 하자. ff가 점 aa(II의 점)에서 미분가능하고 f′(a)=0f'(a) = 0이면, f−1f^{-1}은 b=f(a)b = f(a)에서 미분가능하지 않다. 만약 미분가능하다면, 항등식 f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x에 연쇄 법칙을 적용하여 1=01 = 0을 얻게 된다.

증명

  1. (f−1∘f)′(a)=(f−1)′(b) f′(a)=0\left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \left(f^{-1}\right)'(b) \, f'(a) = \resaltar{0}

    f−1f^{-1}이 bb에서 미분가능하다고 가정하자. 함수 ff는 II에서 정의되고 aa(II의 집적점)에서 미분가능하며, 그 값은 J=f(I)J = f(I)에 속하고, 그곳에서 f−1f^{-1}이 정의된다. 연쇄 법칙에 관한 수업의 연쇄 법칙에 의해,

  2. f−1(f(x))=x→(f−1∘f)′(a)=1≠0f^{-1}(f(x)) = x \rightarrow \left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \resaltar{1 \neq 0}

    그러나 f−1∘ff^{-1} \circ f는 II의 항등함수이고, 그 미분계수는 모든 점에서 11이다. 이는 극한으로서의 도함수에 관한 수업에서 보았다. 이 모순은 f−1f^{-1}이 bb에서 미분가능하지 않음을 보여 준다.

더 많은 것을 말할 수 있다. y≠by \neq b이면, 정리의 증명의 셋째 과정은 φ\varphi가 aa 밖에서 영이 되지 않는다는 것만 쓰므로, f′(a)=0f'(a) = 0이어도 성립한다. 역함수의 평균변화율은 1φ(f−1(y))\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}이고, 합성의 연속성에 의해 분모는 φ(a)=0\varphi(a) = 0로 간다. ff가 증가하면 분모는 양수이고, 평균변화율은 ∞\infty로 발산한다. 감소하면 −∞-\infty로 발산한다. 역함수의 그래프는 (b,a)(b, a)에서 수직 접선을 가지며, 이는 ff의 (a,b)(a, b)에서의 수평 접선을 대칭이동한 것이다. 원점에서의 세제곱근이 그 예이다.