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Topos Uranos
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지수에 있는 변수와 로그미분법

요약

이 수업에서는 변수가 지수에 있는 함수를 미분한다. 이 함수들은 모두 자연지수함수로 귀착된다. 즉 ax=exln⁡aa^x = e^{x \ln a}, xr=erln⁡xx^r = e^{r \ln x}, (f(x))g(x)=eg(x)ln⁡f(x)\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}이므로, exe^x의 도함수, 로그의 도함수, 연쇄 법칙만 있으면 된다. 이렇게 하여 임의의 밑을 갖는 지수함수와 로그의 도함수, 실수 지수의 거듭제곱의 도함수, 그리고 밑과 지수가 모두 변하는 거듭제곱, 예를 들어 xxx^x나 xsin⁡xx^{\sin x}의 도함수를 얻는다. ln⁡∣f(x)∣\ln \abs{f(x)}의 도함수는 f′(x)f(x)\frac{f'(x)}{f(x)}이며, 이것은 곱, 몫, 거듭제곱을 합으로 바꾼다. 이것이 로그미분법이며, 이 수업은 증명하려는 것을 가정하지 않고 이를 정당화한다. 끝으로, 원점을 지나는 로그의 접선이 πe\pi^e과 eπe^\pi 중 어느 것이 더 큰지를 판정하고, 결과가 수 ee에 의존하는 이유를 설명한다.

학습 목표

  1. 등식 ax=exln⁡aa^x = e^{x \ln a}에서 출발하여, 임의의 밑을 갖는 지수함수와 로그, 그리고 그 합성함수를 미분한다.
  2. 실수 지수의 거듭제곱과 밑과 지수가 모두 변하는 거듭제곱을 밑이 ee인 지수함수로 나타내어 미분한다. 정의역은 밑이 양수인 범위로 한다.
  3. 곱, 몫, 거듭제곱에 로그미분법을 적용한다. 그 전에 함수가 그 점에서 미분가능하고 영이 되지 않음을 확인한다.
  4. πe\pi^e과 eπe^\pi 같은 거듭제곱을 로그의 접선과 지수함수의 기본 부등식으로 비교한다.

임의의 밑을 갖는 지수함수와 로그

초등함수의 도함수에 관한 수업에서는 exe^x의 도함수가 자기 자신이고 ln⁡x\ln x의 도함수가 1x\frac{1}{x}임을 보였으며, axa^x의 도함수가 axln⁡aa^x \ln a임을 예고하였다. 평균변화율로 계산을 반복할 필요는 없다. 모든 양의 밑은 ee의 거듭제곱이기 때문이다. 로그함수에 관한 수업의 자연로그의 정의에 의해 eln⁡y=ye^{\ln y} = y가 성립한다(모든 y>0y > 0에 대하여). 또 같은 수업의 거듭제곱의 로그의 성질에 의해 ln⁡(ax)=xln⁡a\ln\left(a^x\right) = x \ln a이다. 연쇄 법칙을 쓰면 나머지는 곧바로 얻어진다.

정리밑이 a인 지수함수와 로그의 도함수

a>0a > 0이고 a≠1a \neq 1이라 하자. 지수함수 axa^x은 R\mathbb{R}에서 미분가능하고, 로그 log⁡ax\log_a x는 (0,∞)\ioo{0}{\infty}에서 미분가능하며, 함수 log⁡a∣x∣\log_a \abs{x}는 R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}에서 미분가능하다:

ddx(ax)=axln⁡a,ddx(log⁡ax)=1xln⁡a(x>0),ddx(log⁡a∣x∣)=1xln⁡a(x≠0)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a x\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x \neq 0)

밑이 aa인 지수함수를 자연지수함수로 나타내고 연쇄 법칙을 적용한다. 밑이 aa인 로그는 자연로그의 상수배이다. 그림은 2x2^x, exe^x, 4x4^x과 점 (0,1)(0, 1)에서의 접선(기울기는 각각 ln⁡2\ln 2, 11, ln⁡4\ln 4)을 보여 주고, 마지막에 log⁡2x\log_2 x의 (1,0)(1, 0)에서의 접선을 보여 준다. 이것은 2x2^x의 접선을 대칭이동한 것이다.

증명

  1. ax=eln⁡(ax)=exln⁡aa^x = e^{\ln\left(a^x\right)} = \dato{base}{e^{x \ln a}}

    xx를 실수라 하자. 수 axa^x은 양수이다. 로그함수에 관한 수업의 자연로그의 정의와 거듭제곱의 로그의 성질에 의해:

  2. ddx(exln⁡a)=exln⁡a⋅ln⁡a=axln⁡a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{x \ln a}\right) = e^{x \ln a} \cdot \ln a = \resaltar{a^x \ln a}

    속함수 xln⁡ax \ln a는 일차함수이고 도함수는 ln⁡a\ln a이며, 겉함수 ete^t은 자연지수함수의 도함수의 정리에 의해 R\mathbb{R} 전체에서 미분가능하다. 연쇄 법칙에 관한 수업의 연쇄 법칙에 의해:

  3. ddx(log⁡a∣x∣)=1ln⁡a⋅1x=1xln⁡a\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \resaltar{\frac{1}{x \ln a}}

    로그함수에 관한 수업의 밑변환 공식의 정리에 의해 log⁡ay=ln⁡yln⁡a\log_a y = \frac{\ln y}{\ln a}가 성립하고(모든 y>0y > 0에 대하여), 여기서 ln⁡a≠0\ln a \neq 0이다(a≠1a \neq 1이므로). 자연로그의 도함수의 정리(ln⁡x\ln x와 ln⁡∣x∣\ln \abs{x}에 대하여 성립한다)와 미분법의 공식에 관한 수업의 일차결합의 미분법의 정리에 의해:

axa^x의 도함수는 함수 자신에 비례하며, 비례상수는 ln⁡a\ln a이다. 이것은 a>1a > 1일 때 양수, 0<a<10 < a < 1일 때 음수이고, 로그의 단사성에 의해 11과 같은 것은 a=ea = e일 때뿐이다. a=1a = 1일 때 함수 1x1^x은 상수이고, ln⁡1=0\ln 1 = 0이므로 공식은 그대로 성립한다. x=0x = 0에서는 미분계수의 정의로부터 극한 ah−1h→ln⁡a\frac{a^h - 1}{h} \to \ln a를 얻는데, 이것은 초등함수의 연속성에 관한 수업의 로그함수와 거듭제곱의 주요 극한의 따름정리이다. axa^x의 00에서의 미분계수는 이미 알려져 있었고, 법칙 ax+h=axaha^{x + h} = a^x a^h가 이를 모든 점으로 옮긴다.

따름정리지수함수 및 로그와의 합성

uu를 AA에서 정의된 함수로서 점 aa(AA의 원소로서 AA의 집적점인 것)에서 미분가능한 것이라 하고, b>0b > 0, b≠1b \neq 1이라 하자. 그러면 eu(x)e^{u(x)}과 bu(x)b^{u(x)}은 aa에서 미분가능하다. u(a)≠0u(a) \neq 0이면 함수 ln⁡∣u(x)∣\ln \abs{u(x)}와 log⁡b∣u(x)∣\log_b \abs{u(x)}는 aa에서(그 정의역에서) 미분가능하다. 또 u(a)>0u(a) > 0이면 ln⁡u(x)\ln u(x)도 미분가능하며, 그 미분계수는 ln⁡∣u(x)∣\ln \abs{u(x)}의 미분계수와 같다. x=ax = a에서의 미분계수는 아래와 같다:

ddx(eu(x))=eu(x)u′(x),ddx(bu(x))=bu(x)ln⁡b⋅u′(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)
ddx(ln⁡∣u(x)∣)=u′(x)u(x),ddx(log⁡b∣u(x)∣)=u′(x)u(x)ln⁡b\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x)}, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x) \ln b}

앞의 두 식은 연쇄 법칙이고, 뒤의 두 식은 합성의 정의역에서의 그 형태이다. 로그는 00에서 정의되지 않기 때문이다.

증명

  1. ddx(eu(x))=eu(x)u′(x),ddx(bu(x))=bu(x)ln⁡b⋅u′(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = \resaltar{b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)}

    겉함수 ete^t과 btb^t은 R\mathbb{R}(uu의 값을 모두 포함하는 것) 전체에서 미분가능하다. 연쇄 법칙에 의해 x=ax = a에서의 앞의 두 미분계수를 얻는다.

  2. ddx(ln⁡∣u(x)∣)=1u(x)⋅u′(x)=u′(x)u(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x)}}

    함수 ln⁡∣t∣\ln \abs{t}는 B=R∖{0}B = \mathbb{R} \setminus \{0\}(중심이 u(a)u(a)이고 반지름이 r=∣u(a)∣r = \abs{u(a)}인 구간을 포함하는 것)에서 정의되고, u(a)u(a)에서 미분가능하며, 미분계수는 1u(a)\frac{1}{u(a)}이다. 합성의 정의역에서의 연쇄 법칙의 따름정리에 의해 aa는 ln⁡∣u(x)∣\ln \abs{u(x)}의 정의역의 집적점이고, x=ax = a에서의 미분계수는:

  3. ddx(log⁡b∣u(x)∣)=1ln⁡b⋅u′(x)u(x)=u′(x)u(x)ln⁡b\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{\ln b} \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x) \ln b}}

    u(a)>0u(a) > 0이면, 같은 따름정리를 B=(0,∞)B = \ioo{0}{\infty}, r=u(a)r = u(a)으로 하여 적용하면 ln⁡u(x)\ln u(x)의 미분계수를 얻으며, 그것은 같은 것이다. 밑 bb에 대해서는 밑변환 공식에 의해 상수 ln⁡b\ln b로 나눈다.

이렇게 하여 2sin⁡x2^{\sin x}의 도함수는 2sin⁡xln⁡2⋅cos⁡x2^{\sin x} \ln 2 \cdot \cos x이고, ln⁡(x2+1)\ln\left(x^2 + 1\right)의 도함수는 2xx2+1\frac{2x}{x^2 + 1}이며, 이것은 R\mathbb{R} 전체에서 성립한다. 연쇄 법칙에 관한 수업에서는 ln⁡(cos⁡x)\ln(\cos x)를 그 정의역(cos⁡x>0\cos x > 0인 범위)에서 미분하여 −tan⁡x-\tan x를 얻었다. 절댓값이 그 결과를 넓힌다. ln⁡∣cos⁡x∣\ln \abs{\cos x}는 cos⁡x≠0\cos x \neq 0인 곳에서 정의되고, 그 도함수는 그 집합 전체에서 −tan⁡x-\tan x이며, 그 집합은 탄젠트의 정의역이다.