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Topos Uranos
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초등함수의 도함수

요약

이 수업에서는 앞 수업에서 다루지 못한 초등함수를 미분한다. 사인과 코사인은 제1단원의 삼각함수의 극한으로부터, 탄젠트, 코탄젠트, 시컨트, 코시컨트는 몫의 미분법과 역수의 미분법으로, 자연지수함수와 자연로그는 각각의 주요 극한으로부터, 쌍곡선함수는 지수함수로부터 미분한다. 어떤 증명도 연쇄 법칙이나 역함수의 미분법을 쓰지 않으며, 이 둘은 나중에 다룬다. 각 경우에 덧셈정리 또는 지수함수나 로그의 법칙이 평균변화율을 점에만 의존하는 인수와 이미 알려진 극한인 인수로 나눈다. 이 도함수들과 미분법의 공식으로 이 수업은 초월곡선의 접선과 곡선들이 이루는 각을 계산하고, 앞 수업에서 예고한 것을 완수한다. 함수 x2sin⁡1xx^2 \sin \frac{1}{x}는 00에서 미분가능하지만, 그 도함수는 00에서 극한을 갖지 않는다.

학습 목표

  1. 사인의 도함수가 코사인이고 코사인의 도함수가 사인의 역원임을 증명하고, 변수를 라디안으로 재는 이유를 설명한다.
  2. 탄젠트, 코탄젠트, 시컨트, 코시컨트를 앞 수업의 공식으로 미분하고, 각 도함수의 정의역을 밝힌다.
  3. 자연지수함수의 도함수가 자기 자신이고 ln⁡∣x∣\ln \abs{x}의 도함수가 1x\frac{1}{x}임을 증명하고, 이로부터 쌍곡선함수의 도함수를 얻는다.
  4. 초등함수의 도함수와 미분법의 공식을 결합하여 곡선의 접선과 곡선들이 이루는 각을 구하고, 함수가 미분가능한 점에서 도함수가 극한을 갖지 않을 수 있음을 이해한다.

사인과 코사인

미분법의 공식에 관한 수업에서는 항등함수와 상수로부터 사칙연산으로 얻는 모든 함수, 즉 다항식과 유리함수를 미분했다. 사인은 그 가운데 하나가 아니며, 그 도함수는 평균변화율로부터 구해야 한다. 00에서 그 평균변화율은 sin⁡hh\frac{\sin h}{h}이고, 조임 정리에 관한 수업의 삼각함수의 기본 극한이 미분계수 11을 준다. 임의의 점 aa에 대해서는 사인의 덧셈정리가 sin⁡(a+h)\sin(a + h)를 aa에만 의존하는 항과 hh에만 의존하는 항으로 나눈다. 남는 몫은 같은 수업의 따름정리 ‘유도되는 삼각함수의 극한’의 두 극한이다. sin⁡hh\frac{\sin h}{h}는 11로 가고, 1−cos⁡hh\frac{1 - \cos h}{h}는 00으로 간다.

정리사인과 코사인의 도함수

사인과 코사인은 R\mathbb{R} 전체에서 미분가능하고, 모든 실수 xx에 대하여 아래 식이 성립한다:

ddx(sin⁡x)=cos⁡x,ddx(cos⁡x)=−sin⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x

극한으로서의 도함수에 관한 수업의 증분을 이용한 미분계수의 표현과 덧셈정리에 관한 수업의 덧셈정리를 이용한다. 그림은 사인의 그래프의 접선을 따라간다. 각 점에서 그 기울기는 같은 점에서의 코사인의 세로 좌표와 같다. 마지막에 코사인의 그래프의 접선은 사인의 역원을 기울기로 갖는다.

증명

  1. sin⁡(a+h)−sin⁡a=sin⁡acos⁡h+cos⁡asin⁡h−sin⁡a=sin⁡a(cos⁡h−1)+cos⁡asin⁡h\sin(a + h) - \sin a = \sin a \cos h + \cos a \sin h - \sin a = \dato{s}{\sin a \left(\cos h - 1\right) + \cos a \sin h}

    aa를 실수, h≠0h \neq 0라 하자. 사인의 덧셈정리에 의해 사인의 증분은 두 항으로 나뉜다. 하나는 인수 cos⁡h−1\cos h - 1을 갖고, 다른 하나는 인수 sin⁡h\sin h를 갖는다. 인수 sin⁡a\sin a와 cos⁡a\cos a는 hh에 의존하지 않는다.

  2. sin⁡(a+h)−sin⁡ah=−sin⁡a⋅1−cos⁡hh+cos⁡a⋅sin⁡hh→−sin⁡a⋅0+cos⁡a⋅1=cos⁡a\frac{\sin(a + h) - \sin a}{h} = -\sin a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} + \cos a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\sin a \cdot 0 + \cos a \cdot 1 = \resaltar{\cos a}

    hh로 나눈다. 따름정리 ‘유도되는 삼각함수의 극한’에 의해 두 몫은 00과 11로 간다. 극한의 연산 법칙의 일차결합의 극한 정리에 의해 평균변화율은 극한을 가지며, 증분을 이용한 미분계수의 표현이 aa에서의 사인의 미분계수를 준다.

  3. cos⁡(a+h)−cos⁡ah=−cos⁡a⋅1−cos⁡hh−sin⁡a⋅sin⁡hh→−cos⁡a⋅0−sin⁡a⋅1=−sin⁡a\frac{\cos(a + h) - \cos a}{h} = -\cos a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} - \sin a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\cos a \cdot 0 - \sin a \cdot 1 = \resaltar{-\sin a}

    코사인의 덧셈정리 cos⁡(a+h)=cos⁡acos⁡h−sin⁡asin⁡h\cos(a + h) = \cos a \cos h - \sin a \sin h을 쓰면, 같은 논법으로 코사인의 미분계수를 얻는다.

증명은 변수를 라디안으로 잰다는 것을 이용한다. 삼각함수의 기본 극한은 사인을 호의 길이와 비교하기 때문이다. 각을 도로 잰다면 xx도의 사인은 sin⁡πx180\sin \frac{\pi x}{180}이 되고, 그 도함수에는 인수 π180\frac{\pi}{180}이 붙는다(연습 문제 1). 따라서 라디안은 사인의 도함수가 인수 없이 코사인이 되는 단위이다. 정리의 기하학적 의미는 그림과 같다. 사인은 코사인이 양수인 곳에서 증가하고, 코사인이 영이 되는 곳에서 수평 접선을 갖는다. 원점에서 사인의 접선은 직선 y=xy = x이고, 그래서 00 근처에서 sin⁡x\sin x는 xx와 비슷하다. 이는 이미 동치 관계 sin⁡x∼x\sin x \sim x(동치인 무한소에 관한 수업)이 말하던 것이다.