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Topos Uranos
日本語

初等関数の連続性と重要な極限

要約

この課では、まだ扱っていなかった初等関数、すなわち指数関数、対数関数、実数を指数とする累乗、逆三角関数、双曲線関数が連続であることを、ただ一つの論法で証明する。その論法とは、値がある区間を埋め尽くす単調関数は跳躍できない、というものである。この連続性と指数関数の基本不等式から、指数関数と対数関数の重要な極限を証明し、数 ee を (1+x)1x(1 + x)^{\frac{1}{x}} の極限として得る。この課ではさらに、1∞1^\infty 型の不定形を解決し、指数関数、累乗、対数関数を無限遠で比較する。

学習目標

  1. 像が区間である単調関数は連続であることを証明し、そこから逆関数の連続性と初等関数の連続性を導く。
  2. 指数関数、対数関数、累乗の重要な極限を証明する。
  3. 数 ee を極限として得て、1∞1^\infty 型の不定形を解決する。
  4. 指数関数、累乗、対数関数を、無限遠と零の近くで比較する。

跳躍のない単調関数

極限と連続性についての課では、多項式、累乗根、絶対値、三角関数が連続であることを証明し、指数関数、対数関数、逆三角関数は扱わずに残した。これらには、∣sin⁡x−sin⁡a∣≤∣x−a∣\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a} ほど単純な上界がない。そのかわり、共通の論法がある。どれも単調であり、その値はすき間を残さずに区間を埋め尽くす。単調関数が不連続になりうるのは跳躍によってだけであり、跳躍は値の間にすき間を残す。

定理像が区間である単調関数

ff を区間 II で定義され、そこで単調な関数とし、その像 f(I)={f(x):x∈I}f(I) = \left\{ f(x) : x \in I \right\} が区間であるとする。このとき ff は II で連続である。 片側極限についての課により、単調関数は点の各側で極限をもつ。その極限が関数値でなければ、像にすき間が残るはずである。図は、跳躍をもつ単調増加関数と、それが残すすき間を示す。

証明

  1. lim⁡x→a−f(x)=L≤f(a),f(c)≤L\lim_{x \to a^-} f(x) = \dato{l}{L \leq f(a)}, \qquad f(c) \leq L

    単調増加の場合を考えれば十分である。ff が単調減少ならば −f-f は単調増加であり、その像もまた区間である。aa を II の点で、その左端と異なるものとし、c<ac < a とする（ただしどちらの点も II に属する）。(c,a)\ioo{c}{a} において、関数は単調増加であり、f(a)f(a) で上から押さえられる。単調関数の極限の定理により、左極限が存在し、それはこれらの値の上限である。

  2. x<a→f(x)≤L<y,x≥a→f(x)≥f(a)>yx < a \rightarrow f(x) \leq L < y, \qquad x \geq a \rightarrow f(x) \geq f(a) > y

    L<f(a)L < f(a) と仮定する。中点 yy（LL と f(a)f(a) の間の）は値 f(c)f(c) と f(a)f(a) の間にあるので、区間である像に属する。しかし、どの xx（II の元）もそれに到達しない。x<ax < a ならば値は LL を超えず、x≥ax \geq a ならば値は f(a)f(a) より小さくならない。これは矛盾である。

  3. lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = \resaltar{f(a)}

    したがって L=f(a)L = f(a) である。同様に、下限と同じ課の左端についての系を用いると、右極限は f(a)f(a) に等しい。これは、すべての aa（II の点で、その右端と異なるもの）で成り立つ。二つの片側極限は関数値と一致し、ff は aa で連続である。II の端点では、存在する唯一の側だけで十分である。

像についての仮定は必要である。整数部分は単調であって各整数で不連続であり、その像である整数全体は区間ではない。この定理から、逆関数の連続性がただちに従う。

系逆関数の連続性

ff を区間 II で定義され、そこで狭義単調な関数とし、その像 J=f(I)J = f(I) が区間であるとする。このとき逆関数 f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I は JJ で連続である。 逆関数は同じ向きに単調であり、その像は区間 II である。

証明

  1. f−1(y)≥f−1(y′)→y≥y′,f−1(J)=If^{-1}(y) \geq f^{-1}(y') \rightarrow y \geq y', \qquad f^{-1}(J) = \resaltar{I}

    ff が単調増加で y<y′y < y'（ただしどちらの点も JJ に属する）ならば、逆関数は順序を逆転できない。もし f−1(y)≥f−1(y′)f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y') ならば、ff を施すと y≥y′y \geq y' が得られてしまう。したがって f−1f^{-1} は単調増加であり、その像は II である。定理により連続性が得られる。単調減少の場合も同様である。