同値な無限小と無限大

要約

この課は、それまでに学んだことのほとんどすべてを集める計算技法、すなわち零または無限大に近づく関数の比較によって、極限の単元を締めくくる。スモールオー $o$ 、ラージオー $O$ 、同位、同値を定義し、積や商においては、極限を変えずに各因子を同値な因子に置き換えられることを証明する。それまでの課で証明した三角関数の極限、指数関数・対数関数・累乗の極限、多項式の極限は、同値な無限小の表にまとめられ、この表を使えば、以前はいくつもの変形を要した極限が一目で計算できる。この課ではさらに、この技法で最もよくある誤り、すなわち和の中での置き換えと、和を実際に置き換えてよいのはどのようなときかを示し、零の近くと原点から遠いところで累乗がどう比較されるかを示す。

学習目標

一点、片側、または無限遠における関数のスモールオー $o$ 、ラージオー $O$ 、同位、同値を定義し、それらの性質を証明する。
積と商における同値なものへの置き換え定理を証明し、それが和では成り立たない理由を理解する。
零における同値な無限小の表を証明し、それを合成とともに用いて極限を計算し、無限小の位数と主要部を求める。
累乗型の無限大と無限小を比較し、同値と漸近線の存在とを区別する。

関数を比べる

はさみうちの原理についての課と無限大の極限についての課は、 $\frac{0}{0}$ 型と $\frac{\infty}{\infty}$ 型の不定形が決まった結果をもたないことを示した。零に近づく二つの関数の商の極限は、それらがどれだけ速く零に近づくかによって決まる。この課の考え方は、各関数をより簡単な別の関数と比べることで、その速さを測ることである。無限大の極限についての課と同様に、 $P$ は変数の向かう先（ $a$ 、 $a^+$ 、 $a^-$ 、 $\infty$ または $-\infty$ ）を表し、「 $P$ の近くで」は、穴あき近傍において、片側において、または半直線上において、という意味である。関数がある集合 $A$ （ $a$ はその集積点）の上でのみ定義されているときは、「 $a$ の近くで」は、 $A$ の点のうち中心 $a$ のある穴あき近傍に属するものにおいて、という意味であり、極限は実変数関数の極限についての課の極限を $A$ の上でとったものである。以下の定義はこの場合にも同じように適用される。

定義関数の比較

$f$ と $g$ を $P$ の近くで定義された関数とし、 $g(x) \neq 0$ が $P$ の近くで成り立つとする。

$f$ は $g$ に比べて $P$ において無視できるといい、 $f = \operatorname{o}(g)$ と書いて「 $f$ は $g$ のスモールオー」と読む。条件は $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ である。
$f$ は $g$ で $P$ において押さえられるといい、 $f = \operatorname{O}(g)$ と書いて「 $f$ は $g$ のラージオー」と読む。条件は、ある $C > 0$ が存在して $\abs{f(x)} \leq C\abs{g(x)}$ が $P$ の近くで成り立つことである。すなわち、商 $\frac{f(x)}{g(x)}$ が $P$ の近くで有界であることである。
$f$ と $g$ が $P$ において同位であるとは、 $\frac{f(x)}{g(x)}$ が零でない数に近づくことをいう。
$f$ と $g$ は $P$ において同値であるといい、 $f \sim g$ と書く。条件は $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ である。

$0$ に近づく関数（ $P$ において）を $P$ における無限小といい、 $\infty$ または $-\infty$ に発散する関数を無限大という。 $0$ における無限小が位数 $k > 0$ をもつとは、それが $x^k$ と同位であることをいう（ $0^+$ において、ただし $x^k$ が $x > 0$ に対してのみ定義される場合）。このとき、 $\frac{f(x)}{x^k}$ が $c$ に近づくならば、関数 $c\,x^k$ がその主要部である： $f \sim c\,x^k$ 。

「無限小」という語は、非常に小さい数ではなく、零に近づく関数を指す。記法 $\operatorname{o}(g)$ は、特定の関数ではなく、 $g$ に比べて無視できる関数のうちの任意のものを指す。たとえば、 $x^2 = \operatorname{o}(x)$ （ $0$ において）である。 $\frac{x^2}{x} = x$ が $0$ に近づくからである。逆に、 $x = \operatorname{o}(x^2)$ （ $\infty$ において）である。 $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$ が $0$ に近づくからである。同じ関数の組が、向かう先に応じて逆向きに比較される。同位と同値は、根本的には一つの比較である。 $f$ と $g$ が同位で、商が $c$ に近づくならば、 $f \sim c\,g$ である。

命題比較の性質

同じ向かう先 $P$ において：

同値は反射的、対称的、推移的である： $f \sim f$ ； $f \sim g$ ならば $g \sim f$ ； $f \sim g$ かつ $g \sim h$ ならば $f \sim h$ ；
$f \sim g$ であるための必要十分条件は $f - g = \operatorname{o}(g)$ である；特に、 $h = \operatorname{o}(g)$ ならば $g + h \sim g$ ；
$f = \operatorname{o}(h)$ かつ $g = \operatorname{o}(h)$ ならば、 $f + g = \operatorname{o}(h)$ かつ $c\,f = \operatorname{o}(h)$ （ $c$ は任意の実数）。

各主張は、極限の演算法則の一つの法則を商に適用したものである。

証明

$\frac{g}{f} = \frac{1}{\frac{f}{g}} \to 1, \qquad \frac{f}{h} = \frac{f}{g} \cdot \frac{g}{h} \to 1 \cdot 1 = \resaltar{1}$
$f$ のそれ自身による商は $1$ である。 $\frac{f}{g}$ が $1$ に近づくならば、逆数の法則により、その逆数は $\frac{1}{1} = 1$ に近づく。 $\frac{f}{g}$ と $\frac{g}{h}$ が $1$ に近づくならば、積の法則により、それらの積も同じ値に近づく。
$\frac{f - g}{g} = \frac{f}{g} - 1 \to 0 \Leftrightarrow \frac{f}{g} \to \resaltar{1}$
$f - g$ の $g$ による商は $\frac{f}{g} - 1$ であり、これが $0$ に近づくのは $\frac{f}{g}$ が $1$ に近づくとき、かつそのときに限る。 $f = g + h$ とすると、差は $h$ である。
$\frac{f + g}{h} = \frac{f}{h} + \frac{g}{h} \to 0 + 0 = \resaltar{0}$
$\frac{f}{h}$ と $\frac{g}{h}$ が $0$ に近づくならば、一次結合の法則により、それらの和も、それぞれの定数倍も同じ値に近づく。

ラージオー $O$ は、商が極限をもつことを要求せず、際限なく大きくならないことだけを要求する。たとえば、 $\sin x = \operatorname{O}(1)$ （ $\infty$ において）であり、そこで $\sin x$ が極限をもたないにもかかわらずそうである。また、 $x \sin \frac{1}{x} = \operatorname{O}(x)$ （ $0$ において）である。 $\abs{x \sin \frac{1}{x}} \leq \abs{x}$ だからである。極限の計算にはスモールオー $o$ で足りる。ラージオー $O$ は、テイラー多項式の誤差のような近似の誤差を測るのに役立ち、それは微分積分学 II で学ぶ。その規則は以下のとおりである。

命題ラージオーの規則

同じ向かう先 $P$ において：

$\frac{f}{g}$ が $P$ において有限の極限をもつならば、 $f = \operatorname{O}(g)$ 。特に、 $f = \operatorname{o}(g)$ の場合や $f \sim g$ の場合もそうである；
$f = \operatorname{O}(h)$ かつ $g = \operatorname{O}(h)$ ならば、 $f + g = \operatorname{O}(h)$ かつ $c\,f = \operatorname{O}(h)$ （ $c$ は任意の実数）；
$f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ かつ $f_2 = \operatorname{O}(g_2)$ ならば、 $f_1 f_2 = \operatorname{O}(g_1 g_2)$ ；
$f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ かつ $f_2 = \operatorname{o}(g_2)$ ならば、 $f_1 f_2 = \operatorname{o}(g_1 g_2)$ 。

各規則は絶対値のあいだの不等式である。最後の規則は、上界と零に近づく商とを組み合わせる。

証明

$\abs{\frac{f(x)}{g(x)}} \leq \abs{\frac{f(x)}{g(x)} - L} + \abs{L} < \resaltar{\abs{L} + 1}$
$\frac{f}{g}$ が $L$ に近づくならば、挑戦 $\varepsilon = 1$ には応答がある。 $P$ の近くで、商と $L$ との距離は $1$ より小さく、三角不等式により、その絶対値は $\abs{L} + 1$ を超えない。
$\abs{f(x) + g(x)} \leq C_1\abs{h(x)} + C_2\abs{h(x)} = \resaltar{(C_1 + C_2)\abs{h(x)}}$
上界 $C_1$ （ $f$ の）と上界 $C_2$ （ $g$ の）は、 $P$ の近くで、すなわち二つの近傍の共通部分で同時に成り立つ。三角不等式は和を押さえる。定数倍の上界は $\abs{c}\,C_1$ である。
$\abs{f_1(x) f_2(x)} \leq C_1\abs{g_1(x)} \cdot C_2\abs{g_2(x)} = \resaltar{C_1 C_2 \abs{g_1(x) g_2(x)}}$
二つの因子の上界を掛け合わせる。
$0 \leq \abs{\frac{f_1(x) f_2(x)}{g_1(x) g_2(x)}} \leq C_1 \abs{\frac{f_2(x)}{g_2(x)}} \to \resaltar{0}$
積の $g_1 g_2$ による商は、 $C_1$ で押さえられる商と $0$ に近づく別の商との積である。はさみうちの原理により、これは $0$ に近づく。