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Topos Uranos
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逆行列

要約

この課では逆行列を学ぶ。逆行列は、正方行列に対して、逆数が 零でない数に対して果たすのと同じ役割を果たす。逆行列は存在すれば一意であること、行列が可逆であるのはその行列式が 零でないときに限ること、そしてそのとき逆行列は余因子からなる余因子行列を行列式で割ったものであることを証明し、そこから二次の逆行列の公式を得る。積、転置行列、累乗の逆行列の性質を証明し、各行基本変形を基本行列を掛けることに翻訳し、そこからガウス・ジョルダンの消去法を導く。この方法は、行列 (A,I)\left( A, I \right) を (I,A−1)\left( I, A^{-1} \right) に変形して逆行列を求める。最後に、行列方程式を解き、可逆性と同値な条件を一つの定理にまとめる。これらの条件は逆行列を行列式、階数、連立一次方程式と結びつける。そこから定義の二つの積の一方を確かめれば十分であることを導き、基本行列を用いて積の行列式が行列式の積であることを証明する。

学習目標

  1. 逆行列を定義し、その一意性を証明し、行列が可逆かどうかを行列式によって判定する。
  2. 逆行列を、余因子行列（特に二次の公式）とガウス・ジョルダンの消去法によって求め、両方の手順を正当化する。
  3. 積、転置行列、累乗の逆行列の性質を用い、因子の順序を守って行列方程式を解く。
  4. 行列の可逆性を、階数、基本行列、連立一次方程式の解の存在と一意性に結びつけ、基本行列を用いて積の行列式が行列式の積であることを証明する。

逆行列

コース 代数と幾何 I の数の集合の課では、零でない数 aa はどれも逆数 a−1a^{-1} をもち、それによって方程式 ax=bax = b を両辺に a−1a^{-1} を掛けて解けることを見た。行列と行列の演算の課では、連立一次方程式を一つの方程式 AX=BAX = B として書き、単位行列 II が積の単位元であることがわかった。そうであるなら、自然な問いは、AA に対して逆数の役割を果たし、連立方程式を一回の掛け算で解けるようにする行列が存在するかどうかである。ところが行列の積は可換ではないので、定義は二つの等式をともに要求しなければならない。また、ABAB と BABA が II と同じ型をもつためには、行列 AA は正方行列でなければならない。

正方行列 AA（nn 次）が可逆であるとは、行列 BB（nn 次）であって AB=BA=IAB = BA = I を満たすものが存在することをいう。ここで II は単位行列（nn 次）である。この性質をもつ行列 BB を、AA の逆行列という。

たとえば、次の二つの行列は互いに逆行列である。二通りの順序で掛けてみれば確かめられる。

(2153)(3−1−52)=(3−1−52)(2153)=(1001)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

零でない行列がすべて可逆であるわけではなく、この点で行列は数と異なる。零行をもつ行列は可逆でない。その行と任意の列との積は 00 なので、ABAB は任意の BB に対して零行をもち、単位行列にはなりえないからである。行列 AA であって、零でない CC で AC=0AC = 0 となるものが存在する場合（行列の課の零因子の一つ）も可逆でない。AA が逆行列 BB をもつとすれば C=(BA)C=B⋅(AC)=0C = (BA)C = B \cdot (AC) = 0 となるからである。CC も可逆でない。逆行列 BB をもつとすれば A=A⋅(CB)=(AC)B=0A = A \cdot (CB) = (AC)B = 0 となるからである。たとえば、行が 1,11, 1 と 1,11, 1 である行列に、行が 1,−11, -1 と −1,1-1, 1 である行列を掛けると零行列になり、どちらも可逆でない。

補題逆行列の一意性

正方行列の逆行列はたかだか一つである。すなわち、AB=BA=IAB = BA = I かつ AD=DA=IAD = DA = I ならば、B=DB = D である。

証明は、コース I の数の集合の課における反数と逆数の一意性の証明と同じだが、交換法則が使えない点が異なる。その代わりに、各側から一つずつ等式を用い、行列の積の結合法則と単位行列が単位元であることを使う。これらは行列の課で証明した。図は各積を因子の列として書き、まとめる二つの因子を示す。

証明

  1. AB=BA=I,AD=DA=I\dato{b}{AB = BA = I}, \qquad \dato{d}{AD = DA = I}

    二つの仮定から出発する。BB と DD は、それぞれ定義の二つの等式を満たす。

  2. B=BI=B⋅(AD)B = B \resaltar{I} = B \cdot \resaltar{(AD)}

    II は積の単位元なので、B=BIB = BI である。II を ADAD で置き換える。これは DD の右側の等式である。

  3. B⋅(AD)=(BA)D=ID=DB \cdot (AD) = \resaltar{(BA)} D = \resaltar{I} D = D

    結合法則によってまとめ方を変え、BB の左側の等式 BA=IBA = I を用いる。まとめる二つの因子は変わるが、三つの行列の順序は変わらない。

AA のただ一つの逆行列を、存在するとき A−1A^{-1} と表す。これを分数 1A\frac{1}{A} と書いてはならず、積 BA−1BA^{-1} を商 BA\frac{B}{A} と書いてもならない。BA−1BA^{-1} と A−1BA^{-1}B は一般に異なるので、そのような書き方ではどちら側から掛けるのかがわからないからである。1858 年に行列の計算を創始したアーサー・ケイリーは、すでに「行列式と可逆性」の節の余因子行列によって逆行列を定義していた。