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Topos Uranos
日本語

平面の変換としての行列

要約

この課では、2 行 2 列の各行列を平面の変換として解釈する。すなわち、各 v⃗\vec{v}（列として書いたもの）をベクトル Av⃗A\vec{v} に移す変換である。これらの変換がちょうど一次変換であること、そして各一次変換が二つの基本ベクトルの像によって定まり、その像が行列の列であることを証明する。この原理を用いて、回転、原点を通る直線への射影とその直線に関する対称移動、位似変換、せん断の行列を求める。変換の合成が行列の積に等しいことを証明し、そこから二つの回転の角の和、二つの対称移動を合成すると二直線のなす角の 2 倍の回転になること、対称移動は一般に可換でないことを導く。行列式を、変換が面積を何倍にするかを表す数として解釈し、向きを逆にするときは負の符号がつくことを示し、全単射な変換を行列式が 0 でない変換として特徴づける。最後に、2 次曲線の一般の方程式における座標軸の回転を行列の形で書き直す。

学習目標

  1. 行列を平面の一次変換として捉え、基本ベクトルの像から変換の行列を求める。
  2. 回転、射影、対称移動、位似変換、せん断の行列を書き、導き、与えられた行列の作用を幾何学的に記述する。
  3. 変換の合成が行列の積に対応することを証明し、それを回転の合成と対称移動の合成に応用する。
  4. 行列式を面積と向きの倍率として解釈し、変換が可逆になるときを判定し、2 次方程式の座標軸の回転を行列で表す。

変換としての行列

コース 代数と幾何 I の平面ベクトルの課では、ベクトルを実数の順序対として定義し、行列と行列の演算の課では、行列と別の行列の積を行と列の積として定義した。組 (x,y)(x, y) を列として、すなわち 2 行 1 列の行列として書けば、2 行 2 列の行列 AA をそれに掛けることができ、結果は成分が二つの別の列、すなわち別のベクトルになる。こうして各行列は平面の点を動かし、行列の代数は幾何学的な意味をもつ。以下では組 (x,y)(x, y) を成分 xx と yy の列と同一視し、e⃗1=(1,0)\vec{e}_1 = (1, 0) と e⃗2=(0,1)\vec{e}_2 = (0, 1) を基本ベクトルと呼ぶ。すると、すべてのベクトルは v⃗=xe⃗1+ye⃗2\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 と書ける。

平面の変換とは、平面の各ベクトルに平面の別のベクトルを対応させる関数である。AA が 2 行 2 列の行列であるとき、行列で表される変換（行列は AA）とは、各 v⃗\vec{v} に積 Av⃗A\vec{v} を対応させる変換である。
T(v⃗)=Av⃗=(abcd)(xy)=(ax+bycx+dy)T(\vec{v}) = A\vec{v} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}

たとえば、成分が 22、00、00、33 の行列は点 (x,y)(x, y) を点 (2x,3y)(2x, 3y) に移す。この行列は平面を水平方向に 2 倍、鉛直方向に 3 倍に引き伸ばす。行列で表される変換には、平面上のほかの関数と区別する性質があり、それは以下の定義で表される。

平面の変換 TT が線形であるとは、ベクトルの和とベクトルの実数倍を保つことである。すなわち、平面のすべての u⃗\vec{u} と v⃗\vec{v} およびすべての実数 tt に対して、以下の二つの等式が成り立つ。
T(u⃗+v⃗)=T(u⃗)+T(v⃗),T(tv⃗)=tT(v⃗)T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v}), \qquad T(t\vec{v}) = tT(\vec{v})
定理行列の列

行列で表される変換はすべて線形であり、その行列の列は基本ベクトルの像である。第 1 列は e⃗1\vec{e}_1 の像、第 2 列は e⃗2\vec{e}_2 の像である。逆に、平面のすべての一次変換は、ただ一つの行列で表される変換であり、その行列とは T(e⃗1)T(\vec{e}_1) と T(e⃗2)T(\vec{e}_2) を列とする行列である。

行列の積の分配法則と実数倍との両立性を用いる。これらは行列と行列の演算の課で証明した。図は、行列 AA（列は (2,1)(2, 1) と (−1,1)(-1, 1)）で表される変換をたどる。

証明

  1. T(u⃗+v⃗)=A⋅(u⃗+v⃗)=Au⃗+Av⃗,T(tv⃗)=A⋅(tv⃗)=tAv⃗T(\vec{u} + \vec{v}) = \resaltar{A \cdot \left( \vec{u} + \vec{v} \right)} = \resaltar{A\vec{u} + A\vec{v}}, \qquad T(t\vec{v}) = \resaltar{A \cdot \left( t\vec{v} \right)} = \resaltar{tA\vec{v}}

    AA を行列、TT をそれが表す変換とする。分配法則と実数倍との両立性から線形性の二つの条件が得られる。図では、u⃗\vec{u} と v⃗\vec{v} がつくる平行四辺形が、それらの像がつくる平行四辺形に移る。

  2. T(e⃗1)=(abcd)(10)=(ac)T(\vec{e}_1) = \resaltar{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = \dato{c1}{\resaltar{\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}}}

    e⃗1\vec{e}_1 の像を計算する。行と列の積では、AA の各行のうち第 1 成分だけが効く。

  3. T(e⃗2)=(abcd)(01)=(bd)T(\vec{e}_2) = \resaltar{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}} = \dato{c2}{\resaltar{\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}}}

    同様に、e⃗2\vec{e}_2 の像では各行の第 2 成分だけが効く。

  4. T(v⃗)=T(xe⃗1+ye⃗2)=xT(e⃗1)+yT(e⃗2)=xAe⃗1+yAe⃗2=Av⃗T(\vec{v}) = \resaltar{T(x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2)} = xT(\vec{e}_1) + yT(\vec{e}_2) = \resaltar{xA\vec{e}_1 + yA\vec{e}_2} = A\vec{v}

    ここで TT を任意の一次変換とし、AA を T(e⃗1)T(\vec{e}_1) と T(e⃗2)T(\vec{e}_2) を列とする行列とする。v⃗=xe⃗1+ye⃗2\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2 と書いて線形性を用いる。上の二つの計算から、T(e⃗1)=Ae⃗1T(\vec{e}_1) = A\vec{e}_1 かつ T(e⃗2)=Ae⃗2T(\vec{e}_2) = A\vec{e}_2 である。図では、平面のマス目が平行四辺形のマス目に移る。

  5. Be⃗1=T(e⃗1)=Ae⃗1,Be⃗2=T(e⃗2)=Ae⃗2→B=AB\vec{e}_1 = T(\vec{e}_1) = A\vec{e}_1, \quad B\vec{e}_2 = T(\vec{e}_2) = A\vec{e}_2 \rightarrow B = A

    別の行列 BB も T(v⃗)=Bv⃗T(\vec{v}) = B\vec{v} をみたす（すべての v⃗\vec{v} について）とすると、BB の列、すなわち Be⃗1B\vec{e}_1 と Be⃗2B\vec{e}_2 は、AA の列と一致する。よって行列はただ一つである。

この定理は一次変換の研究を二つのベクトルの研究に帰着させる。行列を知るには e⃗1\vec{e}_1 と e⃗2\vec{e}_2 がどこに移るかを知れば十分であり、行列が何をするかを知るにはその列を読めば十分である。さらに、線形性からいくつかの幾何学的性質が導かれる。原点は動かない。なぜなら A0⃗=0⃗A\vec{0} = \vec{0} だからである。したがって、原点を動かす平行移動は線形ではない。ベクトル方程式 p⃗+td⃗\vec{p} + t\vec{d} の直線（コース I のベクトルの課で学んだもの）は点の集合 Ap⃗+tAd⃗A\vec{p} + tA\vec{d} に移り、これは Ad⃗A\vec{d} が零でなければ直線、零ならば 1 点である。同様に、線分は線分または点に移り、平行な直線は平行な直線または点に移り、頂点が 0⃗\vec{0}、e⃗1\vec{e}_1、e⃗1+e⃗2\vec{e}_1 + \vec{e}_2、e⃗2\vec{e}_2 の正方形（これを単位正方形と呼ぶ）は、行列の二つの列がつくる平行四辺形に移る。この平行四辺形はつぶれていることもある。