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Topos Uranos
日本語

行列としての複素数

要約

この課では、各複素数 z=a+biz = a + bi に、zz を掛けるという平面の変換の行列を対応させ、この対応が単射であり、和を和に、積を積に移すことを証明する。この形の行列は、2 次正方行列のなかに複素数の忠実な写しをつくる。この写しのなかで、虚数単位は四分の一回転であり、その 2 乗は単位行列の符号を変えたものである。絶対値の 2 乗は行列式であり、共役複素数は転置行列であり、逆数は逆行列である。極形式はこれらの行列のそれぞれを、回転とそれに続く位似変換に分解し、オイラーの公式とド・モアブルの公式は回転の合成の規則としてふたたび現れる。この課は、行列は一般には交換可能でないのに、なぜこれらの行列が交換可能であるのかを説明し、最後にハミルトンの四元数を初めて眺める。四元数の積はもはや交換可能ではない。

学習目標

  1. 複素数を掛ける操作の行列を求め、複素数と行列の対応が和と積を保つことを証明する。
  2. 複素数の絶対値、共役複素数、逆数、極形式を行列に翻訳し、それぞれの翻訳を幾何学的に解釈する。
  3. 複素数の累乗、逆数、累乗根を行列によって計算し、オイラーの公式とド・モアブルの公式のなかに回転の合成を見てとる。
  4. 複素数の行列どうしがなぜ交換可能であるかを説明し、四分の一回転と交換可能な行列がちょうどそれらであることを証明し、四元数の積が交換可能でないことをその行列で確かめる。

複素数を掛ける操作の行列

コース 代数と幾何 I の複素数の課では、各複素数 x+yix + yi を平面の点 (x,y)(x, y) と同一視し、ii を掛けると各点が原点のまわりに四分の一回転することを証明した。そうであれば、固定した複素数 zz を掛けることは平面の変換であり、各点 ww に点 zwzw を対応させる。平面の変換としての行列の課では、一次変換が一つの行列で定まり、その列がベクトル (1,0)(1, 0) と (0,1)(0, 1) の像であることを証明した。ここから、この課を導く問いが生まれる。zz を掛ける操作の行列は何か。そして、各複素数をその行列で表すと何が得られるのか。

命題z を掛ける操作の行列

z=a+biz = a + bi を固定した複素数とする。各複素数 w=x+yiw = x + yi に zz を掛ける平面の変換は一次変換である。その行列の列は zz と iziz であり、z≠0z \neq 0 ならば、単位正方形を一辺が ∣z∣\abs{z} の正方形に移す。

積を展開し、そこから行列を読みとる。図では z=2+iz = 2 + i とする。

証明

  1. zw=(a+bi)(x+yi)=ax+ayi+bxi+bi2y=(ax−by)+(bx+ay)izw = (a + bi)(x + yi) = ax + ayi + bxi + b \resaltar{i^2} y = \dato{p}{\resaltar{(ax - by) + (bx + ay) i}}

    分配法則で積を展開し、i2i^2 を −1-1 に置き換える。

  2. (ax−bybx+ay)=(a−bba)(xy)\begin{pmatrix} \resaltar{ax - by} \\ \resaltar{bx + ay} \end{pmatrix} = \dato{m}{\begin{pmatrix} \resaltar{a} & \resaltar{-b} \\ \resaltar{b} & \resaltar{a} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}

    点を列ベクトルとして書く。zwzw の座標は xx と yy の定数係数の組合せである。これはある行列と ww のベクトルとの積であり、したがって変換は一次変換である。

  3. z⋅1=a+bi,z⋅i=−b+aiz \cdot \resaltar{1} = \resaltar{a + bi}, \qquad z \cdot \resaltar{i} = \resaltar{-b + ai}

    行列の列は 11 と ii の像である。第 1 列は zz であり、第 2 列は iz=−b+aiiz = -b + ai、すなわち zz を四分の一回転したものである。

  4. ∣iz∣=∣i∣∣z∣=∣z∣,z⋅(1+i)=z+iz\abs{iz} = \abs{i} \abs{z} = \resaltar{\abs{z}}, \qquad \resaltar{z \cdot (1 + i)} = \resaltar{z + iz}

    頂点が 00、11、1+i1 + i、ii の単位正方形は、頂点が 00、zz、z+izz + iz、iziz の四角形に移る。原点から出る二辺は同じ長さ ∣z∣\abs{z} をもち、垂直である。像は一辺が ∣z∣\abs{z} の正方形であり、単位正方形に対して回転している。

得られた行列は非常に特別な形をしている。対角線上の二つの成分は等しく、残りの二つは符号が反対である。複素数 z=a+biz = a + bi（aa と bb は実数）を掛ける操作、すなわち zz を掛ける操作の行列を、その複素数の行列という。

M(z)=(a−bba)M(z) = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}

M(z)M(z) の第 1 列は zz そのものであり、第 2 列は iziz である。複素数の実部と虚部を分けると、行列は二つの固定した行列の組合せに分解される。単位行列 II（数 11 の行列）と、行列 JJ（数 ii の行列）である。

M(a+bi)=a(1001)+b(0−110)=aI+bJM(a + bi) = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = aI + bJ

とくに、実数には単位行列の実数倍 M(a)=aIM(a) = aI、すなわち原点を中心とする位似変換が対応し、純虚数 bibi には JJ の実数倍が対応する。対応表の最初の項は次のとおりである。

M(1)=I,M(i)=J,M(−1)=−I,M(−i)=−J,M(0)=(0000)M(1) = I, \qquad M(i) = J, \qquad M(-1) = -I, \qquad M(-i) = -J, \qquad M(0) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}