極限と連続性：まとめと挑戦課題

要約

この課は、極限と連続性の単元を締めくくる。単元の十の課が証明したことを一本の演繹の鎖にまとめる。すなわち、ε と δ による極限の定義とその局所的性質、三つの補題に帰着された極限の演算法則、はさみうちの原理と三角関数の極限；片側極限、無限遠における極限、無限大の極限（これらは制限、反転、逆数によってそれらの法則を受け継ぐ）と漸近線；そして連続性、初等関数の連続性、重要な極限、同値な無限小による関数の比較である。単元が代数と幾何 I および II にどう基づくか、そこで漸近線と連続性について認められていた事実をどう定理に変えるか、そして導関数とその応用の学習をどう準備するかを説明する。最後に、導入テストと対になるまとめテストと、十題の挑戦課題を置く。挑戦課題は各課の問題より難しく、どれもそれらの課のいくつかの結果を組み合わせる。

学習目標

単元の定義と主要な定理を論理的な順序で述べ、それぞれがどの先行する結果に依存し、ε と δ によるどの論法が再利用されるかを示す。
単元が認めることと証明することを区別し、合成関数の極限の仮定や同値なものへの置き換えの仮定のように、各結果の仮定を見分ける。
単元の結果を、代数と幾何 I および II と、導関数とその応用の学習とに関連づける。
極限の演算法則、片側極限、無限遠における極限と無限大の極限、漸近線、連続性、重要な極限、同値な無限小を組み合わせる、定型的でない問題を解く。

単元で達成したこと

単元は一つの問いと一つの要請から出発した。問いは、変数がある点に近づくとき関数の値がある数に近づくとはどういうことか、である。要請は、その回答が計算だけでなく証明を可能にし、ε と δ による論法を一度だけ行って再利用できることである。回答はただ一つの定義であり、実変数関数の極限についての課で述べられた。 $a$ が定義域 $A$ （ $f$ の定義域）の集積点であるとき、 $f$ の $a$ における極限が $L$ であるとは、次のことを意味する。

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)

それ以外のすべては、そこから帰着によって得られた。計算の法則は一つの不等式に、片側極限は制限の極限に、無限遠における極限はゼロにおける片側極限に、無限大の極限は逆数の極限がゼロであることに、そして連続性は極限が値に等しいことに帰着された。

極限の定義と演算法則

最初の課は、定義を挑戦と応答のゲームとして読み、量化子を含む言明として書き、その否定を量化子ごとに求めた。 $a$ が定義域の集積点であるという要請によって極限の一意性を証明し、あらかじめ選んだ挑戦によって、極限はその点の近くの値だけで決まること、関数をその点の近くで有界にすること、極限がゼロでなければ関数にその符号を課すことを証明した。極限の演算法則についての課は、証明を再利用できるように整理した。ε と δ で証明された三つの補題は、どんな関数 $F$ も、 $a$ の近くで $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ の形の上界を満たすならば $K$ に近づくことを示し、各法則はそのような上界を見つけることに帰着された。一次結合の法則は三角不等式から、積の法則は局所有界性から、逆数の法則は符号の保存から得られ、定義域を制限しても極限は失われないことを一つの補題が保証する。そこから、多項式と有理関数での直接代入、累乗根と有理数を指数とする累乗の極限、そして合成関数の極限の定理が導かれた。この定理は変数の置き換えを正当化するが、反例が示すとおり欠かせない仮定を伴う。すなわち、内側の関数がその点の近くで自分の極限の値をとらないことである。はさみうちの原理についての課は、極限が狭義でない不等式を保つこと、同じ数に近づく二つの関数に挟まれた関数もその数に近づくこと、有界な関数とゼロに近づく関数の積はゼロに近づくことを証明した。上界 $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ と、正弦・弧・正接の間の不等式とによって、三角関数の基本的な極限 $\frac{\sin x}{x} \to 1$ とその帰結を得た。

片側、無限大と漸近線

片側極限についての課は、片側極限を、点の一方の側への関数の制限の極限として定義した。この決定が残りの仕事をすべて省いた。先行する定理は新たな証明なしにそれらについて成り立ち、極限が存在するのは二つの片側極限が存在して等しいとき、かつそのときに限る。同じ課は、値を計算せずに極限が存在することを初めて証明した。区間で増加し上に有界な関数は、その右端で値の上限に近づき、それを保証するのは完備性である。変数が無限大に近づくときの極限についての課は、反転の補題によってそのような極限をそれぞれゼロにおける片側極限に帰着し、それにより原点から遠いところでの有理関数のふるまいを得た。無限大の極限についての課は、値が限りなく大きくなる場合でこの枠組みを完成させた。逆数の補題がそれをゼロへの極限に翻訳するので、「 $\infty + c = \infty$ 」や「 $c \cdot \infty = \infty$ 」とまとめられる法則は仮定つきの定理であり、四つの不定形は警告であって結果ではない。最後に、漸近線についての課は、漸近線を極限によって定義し、鉛直でない漸近線の傾きと切片を二つの極限として求め（それゆえ各端に高々一本しかない）、有理関数の鉛直漸近線を証明し、導関数を使わないグラフの概形の描き方を整えた。曲線がその漸近線と交わりうることも示した。

連続性と関数の比較

極限と連続性についての課は、定義域の点における連続性を定義し、集積点ではそれが極限が値に等しいことと同値であることを証明し、不連続を除去可能な不連続、跳躍不連続、本質的不連続に分類した。極限の演算法則が演算の連続性を与え、連続関数の合成は、合成関数の極限の定理が要求した仮定なしに連続であることがわかった。このことから、極限は連続関数の中に入る。初等関数の連続性についての課は、像が区間である単調関数の論法というただ一つの論法で、指数関数、対数関数、実数を指数とする累乗、逆三角関数の連続性を証明した。それと不等式 $e^x \geq 1 + x$ とによって重要な極限、極限としての数 $e$ 、 $1^\infty$ 型の不定形を得て、無限遠で指数関数、累乗、対数を比較した。同値な無限小と無限大についての課は、これらの極限をすべて関数どうしの比較として読んだ。スモール $\operatorname{o}$ 、ラージ $\operatorname{O}$ と同値を定義し、積や商ではどの因子も同値な別の因子に置き換えられることを証明し、それまでの極限をゼロにおける同値な無限小の表にまとめた。

認めること、証明すること、残ること

単元の収支は次のようにまとめられる。

認める公理はただ一つ、完備性公理であり、体の公理と順序の公理とともに認める。それによれば、上に有界な空でない実数の集合はすべて上限をもつ。さらに、代数と幾何で証明された結果を用いる。正弦・弧・正接の間の不等式、和積の公式、不等式 $e^x \geq 1 + x$ 、指数関数の単調性、因数定理である。
代数と幾何が認めていた事実を証明する。有理関数の鉛直漸近線と無限遠における漸近線、そして有理関数、三角関数、逆三角関数の連続性である。
論法を繰り返す代わりに、五つの道具を再利用する。上界の三つの補題、符号の保存、定義域の制限（特に点の一方の側への制限）、反転、逆数である。
極限以上のものを必要とすることは後に回す。中間値の定理と導関数は続く単元で、ワイエルシュトラスの定理とロピタルの定理は第三の単元で、テイラー多項式は微分積分学 II で扱う。

次の図は、三つの区間を一本の鎖にまとめたものである。列の各節点は定義か定理で、論理的な順序で番号が付き、その証明が用いる先行する環と弧で結ばれている。そのまわりに浮かぶのが支え、すなわち鎖が何度も立ち返る原理と道具であり、それぞれは、よりかかる環と実線で結ばれ、それが確立される環と点線で結ばれる。ただし、代数と幾何から来るものは例外で、輪として描かれる。支えを押すと、それを使うすべての環が強調され、各環はそれが証明される課へのリンクになっている。

鎖の支え

A実数の公理. 代数と幾何 I 以来、実数は完備な順序体をなすことを認める。すなわち、和と積は体の公理を満たし、順序は三分律を満たして演算と両立し、上に有界な空でない実数の集合はすべて上限をもつ。この単元では証明なしに認める。
B代数と幾何から受け継いだもの. 代数と幾何 I および II で証明された結果。 $u^n - v^n$ の因数分解と有理数を指数とする累乗、 $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ 、および $\sin x < x < \tan x$ （ただし $0 < x < \frac{\pi}{2}$ ）、和積の公式と次数を下げる公式、不等式 $e^x \geq 1 + x$ 、指数関数の単調性と値域、逆三角関数、因数定理、符号表。この単元では証明なしに認める。
C上界による判定法. $a$ の近くで $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ が成り立ち、 $C > 0$ 、 $f \to L$ 、 $g \to M$ ならば、 $F \to K$ である。各法則はこのような上界を見つけることに帰着される。確立される環: 4. 三つの補題.
D局所有界性と符号. $f$ が $L$ に近づく（ $a$ において）ならば、 $a$ の近くで $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ が成り立つ。さらに $L \neq 0$ ならば、 $a$ の近くで関数は $L$ の符号をもち、 $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ である。確立される環: 3. 局所的性質.
E変数の置き換え. $g(x) \to b$ 、 $f(t) \to L$ （ $t \to b$ のとき）、かつ $g(x) \neq b$ が $a$ の近くで成り立つならば、 $f(g(x)) \to L$ である。確立される環: 8. 合成関数の極限.
F制限. $f$ が $L$ に近づき（ $a$ において）、 $a$ が定義域の部分集合 $B$ の集積点ならば、 $f$ の $B$ への制限も $L$ に近づく。片側極限は制限の極限であり、それゆえ極限についての定理はすべて片側極限についても成り立つ。確立される環: 5. 制限の極限.
G反転. $f$ の $\infty$ における極限は、 $f\left(\frac{1}{t}\right)$ の極限（ $t$ が右から $0$ に近づくとき）であり、 $-\infty$ における極限は左からの極限である。それゆえ極限についての定理はすべて無限遠でも成り立つ。確立される環: 15. 反転の補題.
H逆数. 関数が $\infty$ に発散するのは、それが向かう先の近くで正であり、その逆数が $0$ に近づくとき、かつそのときに限る。それゆえ有限の極限の法則が無限大の極限を決める。確立される環: 17. 逆数の補題.

第 1 区間極限の定義と演算法則
- 集積点における極限を ε と δ で定義し、量化子を含む言明として書いて否定し、その一意性と局所的性質を証明する。
- 三つの補題によって極限の演算法則の各法則を上界に帰着し、有理関数、累乗根、累乗の極限を得る。
- 合成関数の極限の定理によって変数を置き換え、その仮定を見分ける。
- はさみうちの原理を証明し、それによって三角関数の基本的な極限とその帰結を得る。
1. 極限の定義. $a$ が定義域 $A$ （ $f$ の定義域）の集積点であるとき、 $f$ の $a$ における極限が $L$ であるとは $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)$ のことであり、そうでないとは $(\exists \varepsilon > 0)(\forall \delta > 0)(\exists x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \wedge \abs{f(x) - L} \geq \varepsilon\right)$ のことである。
  証明される授業: 実変数関数の極限.
2. 極限の一意性. $a$ が $f$ の定義域の集積点で、 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ かつ $\lim_{x \to a} f(x) = L'$ ならば、 $L = L'$ である。
  使う結果: 1. 極限の定義. 支え: A (実数の公理). 証明される授業: 実変数関数の極限.
3. 局所的性質. $a$ における極限は、 $a$ を中心とする穴あき近傍での関数の値だけで決まる。 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ならば $a$ の近くで $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ が成り立ち、さらに $L \neq 0$ ならば $f(x)$ は $L$ の符号をもち、 $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ である。
  使う結果: 1. 極限の定義. 支え: A (実数の公理). 証明される授業: 実変数関数の極限.
4. 三つの補題. $f$ の $a$ における極限が $L$ であるのは、 $\abs{f(x) - L}$ の極限が $0$ であるとき、かつそのときに限る。 $\abs{f(x) - L} \leq C\abs{h(x)}$ が $a$ の近くで成り立ち、 $C > 0$ かつ $\lim_{x \to a} h(x) = 0$ ならば、 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ である。また、ゼロに近づく二つの距離の和はゼロに近づく。
  使う結果: 1. 極限の定義. 証明される授業: 極限の演算法則.
5. 制限の極限. $B$ が定義域 $A$ （ $f$ の定義域）の部分集合で、 $a$ が $B$ の集積点であり、 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ならば、 $f$ の $B$ への制限も $L$ に近づく（ $a$ において）。 $A$ で有効な応答は $B$ でも有効である。
  使う結果: 1. 極限の定義. 証明される授業: 極限の演算法則.
6. 極限の演算法則. $\lim_{x \to a} f(x) = L$ かつ $\lim_{x \to a} g(x) = M$ ならば、 $\alpha f + \beta g$ は $\alpha L + \beta M$ に、 $fg$ は $LM$ に近づく。さらに $M \neq 0$ ならば、 $\frac{1}{g}$ は $\frac{1}{M}$ に、 $\frac{f}{g}$ は $\frac{L}{M}$ に近づく。
  使う結果: 3. 局所的性質, 4. 三つの補題. 支え: C (上界による判定法), D (局所有界性と符号), F (制限). 証明される授業: 極限の演算法則.
7. 多項式、累乗根、累乗. 多項式と、分母が $a$ で消えない有理関数は、 $a$ における極限が値に等しい。 $\sqrt[n]{f(x)}$ は $\sqrt[n]{L}$ に近づく。ただし $f \geq 0$ （ $n$ が偶数のとき）。 $L > 0$ ならば $\left(f(x)\right)^{\frac{p}{q}}$ は $L^{\frac{p}{q}}$ に近づく。
  使う結果: 1. 極限の定義, 6. 極限の演算法則. 支え: B (代数と幾何から受け継いだもの), C (上界による判定法), D (局所有界性と符号). 証明される授業: 極限の演算法則.
8. 合成関数の極限. $\lim_{x \to a} g(x) = b$ 、 $\lim_{t \to b} f(t) = L$ 、かつ $g(x) \neq b$ が $a$ の近くで成り立つならば、 $\lim_{x \to a} f(g(x)) = L$ である。仮定 $g(x) \neq b$ がないと、結論は成り立たないことがある。
  使う結果: 1. 極限の定義. 証明される授業: 極限の演算法則.
9. 不等式の保存. $f(x) \leq g(x)$ が $a$ の近くで成り立ち、 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ かつ $\lim_{x \to a} g(x) = M$ ならば、 $L \leq M$ である。狭義の不等式は保存されない。
  使う結果: 6. 極限の演算法則. 支え: D (局所有界性と符号). 証明される授業: はさみうちの原理と三角関数の極限.
10. はさみうちの原理. $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ が $a$ の近くで成り立ち、 $h$ と $g$ が $L$ に近づくならば、 $f$ も $L$ に近づく。また、 $a$ の近くで有界な関数と、 $0$ に近づく関数との積は $0$ に近づく。
  使う結果: 4. 三つの補題. 支え: C (上界による判定法). 証明される授業: はさみうちの原理と三角関数の極限.
11. 正弦と余弦. すべての実数 $x$ と $a$ について、 $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ かつ $\abs{\cos x - \cos a} \leq \abs{x - a}$ である。したがって $\lim_{x \to a} \sin x = \sin a$ かつ $\lim_{x \to a} \cos x = \cos a$ である。
  使う結果: 4. 三つの補題. 支え: B (代数と幾何から受け継いだもの), C (上界による判定法). 証明される授業: はさみうちの原理と三角関数の極限.
12. 三角関数の基本的な極限. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ である。また $x$ が $0$ に近づくとき、 $\frac{\tan x}{x}$ は $1$ に、 $\frac{\sin kx}{x}$ は $k$ に、 $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ は $\frac{1}{2}$ に近づく。
  使う結果: 6. 極限の演算法則, 10. はさみうちの原理, 11. 正弦と余弦. 支え: B (代数と幾何から受け継いだもの), E (変数の置き換え). 証明される授業: はさみうちの原理と三角関数の極限.
第 2 区間片側、無限大と漸近線
- 片側極限を制限の極限として定義し、すべての定理を受け継がせ、極限をその両側によって特徴づける。
- 完備性から、単調で有界な関数の極限を上限として得る。
- 無限遠における極限をゼロにおける片側極限に、無限大の極限をゼロへの極限に帰着し、その法則と不定形を扱う。
- 関数の漸近線を二つの極限で求め、有理関数の鉛直漸近線を証明し、導関数なしにグラフの概形を描く。
1. 片側極限. $f$ の $a$ における右側極限とは、 $a$ における、定義域のうち $a$ より大きい点への制限の極限であり、左側極限は小さい点への制限についてのものである。 $a$ が両側からの集積点ならば、 $f$ が極限 $L$ をもつ（ $a$ において）のは、二つの片側極限が存在して $L$ に等しいとき、かつそのときに限る。
  使う結果: 1. 極限の定義, 5. 制限の極限, 2. 極限の一意性. 証明される授業: 片側極限.
2. 単調関数. $f$ が $\ioo{c}{b}$ で増加し上に有界ならば、 $\lim_{x \to b^-} f(x) = \sup\left\{ f(x) : c < x < b \right\}$ である。増加し下に有界ならば、 $c$ における右側極限は値の下限である。
  使う結果: 6. 極限の演算法則, 13. 片側極限. 支え: A (実数の公理), E (変数の置き換え), F (制限). 証明される授業: 片側極限.
3. 反転の補題. $f$ の $\infty$ における極限が $L$ であるとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $M$ が存在し、 $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ が $x > M$ のとき成り立つことである。また $\lim_{x \to \infty} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{t \to 0^+} f\left(\frac{1}{t}\right) = L$ であり、 $-\infty$ でも左側極限について同様である。
  使う結果: 13. 片側極限. 証明される授業: 変数が無限大に近づくときの極限.
4. 無限遠における有理関数. 任意の有理数 $r > 0$ について $\frac{1}{x^r}$ は $0$ に近づく（ $\infty$ において）。次数 $n$ と $m$ の二つの多項式の商は、 $\pm\infty$ において $0$ に近づき（ $n < m$ のとき）、最高次の係数の商に近づき（ $n = m$ のとき）、有限の極限をもたない（ $n > m$ のとき）。
  使う結果: 2. 極限の一意性, 6. 極限の演算法則, 7. 多項式、累乗根、累乗. 支え: D (局所有界性と符号), F (制限), G (反転). 証明される授業: 変数が無限大に近づくときの極限.
5. 逆数の補題. $f$ が $\infty$ に発散する（向かう先 $P$ において。これは点、点の一方の側、または $\pm\infty$ である）とは、任意の実数 $N$ について $f(x) > N$ が $P$ の近くで成り立つことである。これは $f$ が $P$ の近くで正であり $\frac{1}{f}$ が $0$ に近づくとき、かつそのときに限る。また $f$ が $-\infty$ に発散するのは、 $-f$ が $\infty$ に発散するとき、かつそのときに限る。
  使う結果: 1. 極限の定義. 証明される授業: 無限大の極限.
6. 無限大の極限を含む法則. $f \leq g$ が $P$ の近くで成り立ち、 $f$ が $\infty$ に発散するならば、 $g$ もそうである。 $f$ が $\infty$ に発散するならば、 $f + g$ もそうであり（ $g$ が下に有界のとき）、 $fg$ もそうである（ $g$ が正の数に近づくか $\infty$ に発散するとき）。分子が正の数に近づき、分母が正の値をとりながら $0$ に近づく商は $\infty$ に発散する。
  使う結果: 6. 極限の演算法則. 支え: D (局所有界性と符号), F (制限), G (反転), H (逆数). 証明される授業: 無限大の極限.
7. 有界でない単調関数. $f$ が $\ioo{c}{b}$ で増加し（ $b$ は実数または $b = \infty$ ）、上に有界でないならば、 $f$ は $\infty$ に発散する。左から $b$ において、あるいは $\infty$ において（ $b = \infty$ のとき）である。
  使う結果: 17. 逆数の補題. 証明される授業: 無限大の極限.
8. 無限大の極限との合成. $g$ が $\infty$ に発散し（ $P$ において）、 $f(u)$ が $L$ に近づく（ $u$ が $\infty$ に発散するとき）ならば、 $f(g(x))$ は $L$ に近づく（ $P$ において）。 $g$ の値についての仮定は何もいらない。 $f(u)$ が $\infty$ または $-\infty$ に発散する場合も同様である。
  使う結果: 15. 反転の補題, 17. 逆数の補題. 証明される授業: 無限大の極限.
9. 漸近線の計算. 直線 $y = mx + b$ が $f$ のグラフの $\infty$ における漸近線であること、すなわち $f(x) - (mx + b)$ が $0$ に近づくことは、 $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ かつ $b = \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - mx\right)$ であることと同値である。したがって各端に鉛直でない漸近線は高々一本しかない。
  使う結果: 2. 極限の一意性, 6. 極限の演算法則, 16. 無限遠における有理関数. 支え: G (反転). 証明される授業: 漸近線とグラフの描き方.
10. 鉛直漸近線. $r$ が多項式 $B$ の根で $A(r) \neq 0$ ならば、直線 $x = r$ は $\frac{A}{B}$ のグラフの鉛直漸近線であり、 $r$ のそれぞれの側で関数は、隣接する区間で符号表が与える符号に応じて $\infty$ または $-\infty$ に発散する。
  使う結果: 7. 多項式、累乗根、累乗, 18. 無限大の極限を含む法則. 支え: B (代数と幾何から受け継いだもの), D (局所有界性と符号), F (制限). 証明される授業: 漸近線とグラフの描き方.
第 3 区間連続性と関数の比較
- 連続性を定義し、極限と関連づけ、不連続を除去可能な不連続、跳躍不連続、本質的不連続に分類する。
- 演算と合成が連続性を保つこと、そして極限が連続関数の中に入ることを証明する。
- 単調関数の論法で初等関数の連続性を証明し、それによって重要な極限と $1^\infty$ 型の不定形を得る。
- スモール $\operatorname{o}$ と同値で関数を比較し、積と商では同値なものに置き換えるが、和では置き換えない。
1. 連続性と極限. $f$ が点 $a$ （定義域 $A$ の点）で連続であるとは $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)$ のことである。 $a$ が $A$ の集積点ならばこれは $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ と同値であり、孤立点ならば常に成り立つ。
  使う結果: 1. 極限の定義. 証明される授業: 極限と連続性.
2. 連続関数の演算. $a$ で連続な関数の一次結合、積、分母が消えない商、累乗根は $a$ で連続である。したがって多項式、有理関数、累乗根、絶対値、正弦、余弦、正接はその定義域で連続である。
  使う結果: 6. 極限の演算法則, 7. 多項式、累乗根、累乗, 11. 正弦と余弦, 23. 連続性と極限. 支え: C (上界による判定法). 証明される授業: 極限と連続性.
3. 連続関数の合成. $g$ が $a$ で連続で $f$ が $g(a)$ で連続ならば、 $f \circ g$ は $a$ で連続である。また $g(x)$ が $b$ に近づき $f$ が $b$ で連続ならば $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b)$ であり、片側でも $\pm\infty$ においても同様である。
  使う結果: 3. 局所的性質, 23. 連続性と極限. 支え: F (制限), G (反転). 証明される授業: 極限と連続性.
4. 連続な初等関数. 区間で定義され、そこで単調で、像が区間である関数は連続であり、これらの性質をもつ狭義単調関数の逆関数も連続である。それゆえ指数関数、対数関数、実数を指数とする累乗、逆三角関数、双曲線関数はその定義域で連続である。
  使う結果: 13. 片側極限, 14. 単調関数, 23. 連続性と極限, 24. 連続関数の演算, 25. 連続関数の合成. 支え: B (代数と幾何から受け継いだもの). 証明される授業: 初等関数の連続性と重要な極限.
5. 重要な極限. $x$ が $0$ に近づくとき、 $\frac{e^x - 1}{x}$ と $\frac{\ln(1 + x)}{x}$ は $1$ に、 $\frac{a^x - 1}{x}$ は $\ln a$ に、 $\frac{\left(1 + x\right)^r - 1}{x}$ は $r$ に近づく。さらに $\left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}$ は $e$ に近づき（ $0$ において）、 $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ も同様である（ $\pm\infty$ において）。
  使う結果: 6. 極限の演算法則, 10. はさみうちの原理, 13. 片側極限, 26. 連続な初等関数, 25. 連続関数の合成. 支え: B (代数と幾何から受け継いだもの), E (変数の置き換え), G (反転). 証明される授業: 初等関数の連続性と重要な極限.
6. 1 の無限大乗型の不定形. $f > 0$ が $P$ の近くで成り立ち、 $f(x)$ が $1$ に近づき、 $g(x)\left(f(x) - 1\right)$ が実数 $\lambda$ に近づくならば、 $\left(f(x)\right)^{g(x)}$ は $e^{\lambda}$ に近づく。
  使う結果: 6. 極限の演算法則, 26. 連続な初等関数, 25. 連続関数の合成, 27. 重要な極限. 証明される授業: 初等関数の連続性と重要な極限.
7. 指数関数、累乗、対数. $r > 0$ かつ $a > 1$ ならば、 $\frac{x^r}{a^x}$ と $\frac{\ln x}{x^r}$ は $0$ に近づき（ $\infty$ において）、 $x^r \ln x$ は $0$ に近づく（ $x$ が右から $0$ に近づくとき）。
  使う結果: 10. はさみうちの原理, 16. 無限遠における有理関数, 19. 有界でない単調関数, 20. 無限大の極限との合成. 支え: B (代数と幾何から受け継いだもの), G (反転). 証明される授業: 初等関数の連続性と重要な極限.
8. 関数の比較. $f = \operatorname{o}(g)$ （ $P$ において）とは $\frac{f}{g}$ が $0$ に近づくことであり、 $f \sim g$ とはそれが $1$ に近づくことである。同値関係は反射的、対称的、推移的であり、 $f \sim g$ であるのは $f - g = \operatorname{o}(g)$ であるとき、かつそのときに限る。
  使う結果: 6. 極限の演算法則. 証明される授業: 同値な無限小と無限大.
9. 同値なものへの置き換え. $f \sim f_1$ かつ $g \sim g_1$ （ $P$ において）ならば、 $\frac{f h}{g}$ が極限（有限または無限大）をもつのは $\frac{f_1 h}{g_1}$ がもつとき、かつそのときに限り、両者は一致する。この定理は因子について成り立ち、和の項については成り立たない。
  使う結果: 6. 極限の演算法則, 18. 無限大の極限を含む法則, 30. 関数の比較. 証明される授業: 同値な無限小と無限大.
10. 同符号の同値なものの和. $f_1 \sim g_1$ かつ $f_2 \sim g_2$ （ $P$ において）で、 $g_1$ と $g_2$ が $P$ の近くでともに正、またはともに負ならば、 $f_1 + f_2 \sim g_1 + g_2$ である。
  使う結果: 4. 三つの補題, 10. はさみうちの原理, 30. 関数の比較. 支え: C (上界による判定法). 証明される授業: 同値な無限小と無限大.
11. 同値な無限小の表. $0$ において、 $\sin x$ 、 $\tan x$ 、 $\arctan x$ 、 $e^x - 1$ 、 $\ln(1 + x)$ は $x$ と同値であり、 $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ 、 $a^x - 1 \sim x \ln a$ 、 $\left(1 + x\right)^r - 1 \sim r x$ であり、すべての多項式は最低次の項と同値である。これらの同値は、 $0$ に近づき消えることのない任意の関数を $x$ の代わりに用いても成り立つ。
  使う結果: 7. 多項式、累乗根、累乗, 12. 三角関数の基本的な極限, 27. 重要な極限. 支え: E (変数の置き換え). 証明される授業: 同値な無限小と無限大.

導関数へ. 鎖は、極限が研究の対象であることをやめて道具になるところで止まる。続く単元は導関数を平均変化率の極限として定義し、その法則を極限の演算法則と合成から、初等関数の導関数を重要な極限から、中間値の定理を符号の保存と完備性から導く。