楕円と円の方程式

要約

この課では、楕円を、二つの定点（焦点）までの距離の和が一定である平面上の点の集合として定義し、その定義から簡約形の方程式を導いて、その過程で点が増えも減りもしないことを確かめる。長半径と短半径、焦点距離、およびそれらの間の三平方の定理による関係を明らかにし、方程式を平行移動して、任意の点を中心とし長軸が水平または鉛直である楕円を得るとともに、二つの焦点が一致する場合として円を得る。最後に展開した方程式を扱い、平方完成によって、それが楕円、円、ただ一つの点のいずれを表すか、あるいはどの点も表さないかを判定する。

学習目標

焦点による楕円の定義を述べ、距離の和が満たすべき条件を正当化し、そこから簡約形の方程式を導く。
軸が座標軸に平行な楕円について、中心、長半径と短半径、頂点、焦点を読み取る。
平方完成によって展開した方程式の中に楕円と円を見分け、方程式が一点を表す場合やどの点も表さない場合を見分ける。
楕円に帰着する交点、接線、軌跡の問題を解く。

楕円の定義

放物線の方程式の課と同じく、出発点は距離によって表される幾何的な性質であり、距離は直線の方程式の課で見た公式で計算する。

$F_1$ と $F_2$ を平面上の二点とし、 $a$ をそれらの距離の半分より大きい数とする。 $F_1$ と $F_2$ を焦点とする楕円とは、平面上の点 $P$ のうち、焦点までの距離の和が $2a$ に等しいものの集合である。

$a$ に課した条件は些細なことではない。三角不等式（等号が成り立つ場合とともに平面ベクトルの課で証明した）により、任意の点 $P$ から焦点までの距離の和は焦点間の距離以上であり、等号は焦点を結ぶ線分上の点でのみ成り立つ。したがって、 $2a$ が焦点間の距離に等しければ集合はその線分になり、それより小さければ集合はどの点も含まない。 $2a$ が焦点間の距離を超えるときに限り、曲線が得られる。

焦点を結ぶ線分の中点が楕円の中心であり、両焦点を通る直線がその焦点軸である。 $2c$ が焦点間の距離であるとき、数 $c$ を焦点距離といい、上の条件は $a > c \geq 0$ と書ける。