放物線の特徴づけとグラフ

要約

放物線を特徴づけるとは、その方程式から、それをかくのに十分なデータ、すなわち開く向き、頂点、対称軸、焦点、準線、座標軸との交点を集めることである。この課では、これらのデータを頂点形と多項式の形からどのように得るかを示し、頂点、焦点、準線の一般公式を係数を用いて導き、 $x$ 軸との交点を判別式と結びつけ、曲線の対称性を利用して計算を短くする。最後に、グラフの概形をかくための順序立った手順を述べる。

学習目標

頂点形または多項式の形で与えられた放物線の頂点、焦点、準線、軸を求める。
平方完成によって、放物線 $y = ax^2 + bx + c$ の要素の一般公式を導く。
座標軸との交点を求め、判別式によって放物線が $x$ 軸と交わるかどうかを判定する。
軸に関する対称性を用いて頂点を求め、得られた情報からグラフの概形をかく。

方程式の二つの形

放物線の方程式の課で見たように、軸が鉛直で、頂点が $(h, k)$ 、焦点が $(h, k + f)$ 、準線が $y = k - f$ （ただし $f \neq 0$ ）である放物線は、ここで頂点形と呼ぶ方程式を満たす。 $f$ の絶対値が焦点距離であり、その符号は曲線がどちらに開くかを示す。

(x - h)^2 = 4f(y - k)

また、2 次式のグラフの定理において、この方程式を $y$ について解くと 2 次式になり、逆に、どの 2 次式のグラフも軸が鉛直な放物線であることが証明された。以下の方程式を多項式の形と呼ぶ。

y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0

二つの形は同じ曲線を表すが、示す情報は同じではない。頂点形は幾何（頂点、焦点、準線）を表し、多項式の形は $y$ 軸との交点（それは $(0, c)$ である）を表し、さらに 2 次方程式を解いて $x$ 軸との交点を求めることを可能にする。放物線を特徴づけるとは、以下のデータを集めることであり、それによってグラフの概形をかく。

開く向き：上向きか下向きか。
頂点と対称軸。
焦点と準線。
$x$ 軸との交点（存在する場合）と、 $y$ 軸との交点。