放物線の方程式：定義と性質

要約

この課では、放物線を、一つの定点（焦点）と一つの定直線（準線）から等距離にある点の集合として定義し、その定義から放物線の方程式を導く。グラフの平行移動によって、頂点が任意の点にある放物線の方程式を求め、2 次式のグラフはちょうど軸が鉛直な放物線であることを示す。平方完成によって、その頂点、焦点、準線が得られる。最後に、放物線と直線の交わりと、接線を扱う。

学習目標

焦点と準線による放物線の定義を述べ、そこから方程式を導く。
$x$ を $x - h$ に、 $y$ を $y - k$ に置き換えてグラフを平行移動する。
2 次式で与えられた放物線の頂点、焦点、準線を求める。
放物線と直線の交わりと、与えられた傾きをもつ接線を求める。

二つの予備的な考え

二点間の距離

放物線の定義は距離に基づく。直線の方程式の課で見たように、平面上の二点間の距離は三平方の定理によって得られる：

d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

点 $(x, y)$ と水平な直線 $y = c$ の距離は、それらを結ぶ鉛直な線分の長さ、すなわち $y$ と $c$ の差を正の符号でとったものである。これをその差の平方の平方根として書いておくと都合がよい。この値はつねに正または零である：

\sqrt{(y - c)^2}

グラフの平行移動

グラフの変換の定理は、関数の演算の課で証明されたもので、 $y = f(x - h) + k$ のグラフは $y = f(x)$ のグラフを右に $h$ 、上に $k$ だけ平行移動したものであると述べる。その証明は曲線が関数のグラフであることを使わないので、 $x$ と $y$ の間のどんな方程式についても成り立つ。なぜなら、点 $(a, b)$ がもとの方程式を満たすのは、点 $(a + h, b + k)$ が、 $x$ を $x - h$ に、 $y$ を $y - k$ に置き換えて得られる方程式を満たすとき、かつそのときに限るからである。放物線の方程式はこのようにして平行移動される。

例放物線の平行移動

$y = x^2$ のグラフから出発し、それを右に単位の長さだけ、上に単位の長さだけ平行移動する。

証明

$y = x^2$
もとのグラフの最も低い点は原点にある。
$y = (x - \resaltar{1})^2$
$x$ を $x - 1$ に置き換える：各点は右に単位の長さだけ移動し、最も低い点は $(1, 0)$ に移る。
$y - \resaltar{1} = (x - 1)^2$
さらに $y$ を $y - 1$ に置き換える：グラフは単位の長さだけ上がり、最も低い点は $(1, 1)$ に移る。