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Topos Uranos
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平面ベクトルと直線の媒介変数表示

要約

この課では、変位を表す平面ベクトルを実数の順序対として導入し、その和、実数倍、大きさ、内積を、それらの性質とともに定義する。内積からは、垂直条件、コーシー・シュワルツの不等式、三角不等式、正射影、そして角を鋭角・直角・鈍角に分類することが導かれる。ベクトルを用いて直線をベクトル表示と媒介変数表示で書き、その法線ベクトルと点と直線の距離の公式を求め、媒介変数で与えられた直線の交点を求め、線分を与えられた比に分け、等速運動を記述する。問題では、これらの道具を幾何の証明、鏡での反射、二つの動点の接近に応用する。

学習目標

  1. 平面ベクトルの演算を成分によって、また幾何的に行い、ベクトルをほかの二つのベクトルの一次結合として表す。
  2. 大きさと内積を計算し、それを用いて垂直なベクトルを見分け、角を分類し、ベクトルをほかのベクトルに射影する。
  3. 直線をベクトル方程式、媒介変数表示、一般形で書き、ある形からほかの形に移り、ベクトルを用いて交点、距離、線分を分ける点を計算する。
  4. ベクトルによって幾何の性質を証明し、媒介変数表示の直線で等速運動をモデル化する。

平面ベクトル

直線の方程式の課では、平面の各点をその座標の組と同一視した。しかし多くの量は、点ではなく変位によって記述される。右へ三つ、上へ二つ進むことは、出発点がどこであっても同じ指示である。速度や力も同様であり、これらは大きさと方向と向きをもち、コース力学の基礎で学ぶ。変位は矢印で描かれ、二つの数、すなわち横方向の進みと縦方向の進みによって定まる。そうであれば、自然な定義は次のとおりである。

平面のベクトルとは、実数の順序対 u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) のことである。数 u1u_1 と u2u_2 をその成分という。点 P=(x1,y1)P = (x_1, y_1) から点 Q=(x2,y2)Q = (x_2, y_2) へ向かうベクトルは、それらの座標の差の組であり、PQ⃗\vec{PQ} と書く。始点 PP、終点 QQ の矢印がこのベクトルを表す。
PQ⃗=(x2−x1,y2−y1)\vec{PQ} = \left( x_2 - x_1, y_2 - y_1 \right)

一つのベクトルには無数の表し方がある。二つの矢印は、横方向の進みも縦方向の進みも同じであるとき、つまり一方が他方の平行移動で得られるとき、同じベクトルを表す。そのうち原点 OO から出るものはただ一つであり、それは点 (u1,u2)(u_1, u_2) で終わる矢印である。したがって、OP⃗\vec{OP}（PP の位置ベクトルという）の成分は PP の座標である。以下では、P+u⃗P + \vec{u} によって、点（PP から変位 u⃗\vec{u} によって到達する点）を表す。すなわち、矢印（u⃗\vec{u} を表し始点が PP であるもの）の終点である。零ベクトル 0⃗=(0,0)\vec{0} = \left( 0, 0 \right) は動かないことに対応し、u⃗\vec{u} の逆ベクトルは −u⃗=(−u1,−u2)-\vec{u} = \left( -u_1, -u_2 \right)、つまり逆向きの変位である。こうして QP⃗=−PQ⃗\vec{QP} = -\vec{PQ} となる。

補題等しいベクトルと平行四辺形

PP、QQ、RR、SS を平面上の点とする。等式 PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} と PR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS} は同値であり、どちらも線分 PSPS と QRQR の中点が一致することと同値である。四点が一直線上にないとき、PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} であるための必要十分条件は、PP、QQ、SS、RR をこの順に頂点とする四角形が平行四辺形であることである。

三つの同値はいずれも、数の等式の項を成分ごとに移すことに帰着する。最後のものは、直線についての課の、二直線の交わりに関する定理に基づく。四点の横座標を p1p_1、q1q_1、r1r_1、s1s_1 とおく。

証明

  1. q1−p1=s1−r1↔r1−p1=s1−q1\dato{a}{q_1 - p_1 = s_1 - r_1} \leftrightarrow \resaltar{r_1 - p_1 = s_1 - q_1}

    PQ⃗\vec{PQ} と RS⃗\vec{RS} の第 1 成分が等しいことは、両辺に r1−q1r_1 - q_1 を加えれば、PR⃗\vec{PR} と QS⃗\vec{QS} の第 1 成分が等しいことと同値である。図では P=(1,0)P = (1, 0)、Q=(5,1)Q = (5, 1)、R=(2,3)R = (2, 3)、S=(6,4)S = (6, 4)。

  2. q1−p1=s1−r1↔p1+s12=q1+r12q_1 - p_1 = s_1 - r_1 \leftrightarrow \resaltar{\frac{p_1 + s_1}{2} = \frac{q_1 + r_1}{2}}

    同じ等式は、両辺に p1p_1 と r1r_1 を加えて 22 で割れば、PSPS と QRQR の中点の横座標が等しいことと同値である。縦座標についても同様に論じられる。したがって、三つの主張は同値である。

  3. q2−p2q1−p1=s2−r2s1−r1\dato{p}{\frac{q_2 - p_2}{q_1 - p_1} = \frac{s_2 - r_2}{s_1 - r_1}}

    次に、四点が一直線上になく、PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} であるとする。直線 PQPQ と RSRS は同じ方向をもつ。すなわち傾きが等しく、それはこのベクトルの成分の商である。あるいは、その第 1 成分が 0 なら、どちらも鉛直である。両者は異なる直線である。一致すれば四点が一直線上に並ぶからである。したがって両者は平行である。鉛直でなければ、鉛直でない二直線の交わりに関する定理による。鉛直ならば、異なる二本の鉛直な直線は交わらないからである。

  4. PR⃗=QS⃗→r2−p2r1−p1=s2−q2s1−q1\vec{PR} = \vec{QS} \rightarrow \resaltar{\frac{r_2 - p_2}{r_1 - p_1} = \frac{s_2 - q_2}{s_1 - q_1}}

    最初の同値により PR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS} も成り立ち、同じ議論によって辺 PRPR と QSQS は平行である。四角形 PQSRPQSR の向かい合う辺は二組とも平行であるから、これは平行四辺形である。

  5. RS1⃗=PQ⃗,QS1⃗=PR⃗\vec{RS_1} = \vec{PQ}, \quad \vec{QS_1} = \vec{PR}

    逆に、PQSRPQSR を平行四辺形とし、S1=R+PQ⃗S_1 = R + \vec{PQ} とする。すでに示したことを点 PP、QQ、RR、S1S_1 に適用すると、点 S1S_1 は、PQPQ に平行な直線（RR を通るもの）と、PRPR に平行な直線（QQ を通るもの）の上にある。

  6. S1=S→RS⃗=PQ⃗S_1 = S \rightarrow \resaltar{\vec{RS} = \vec{PQ}}

    この二直線は互いに平行ではない。PP、QQ、RR が一直線上にないからである。したがって、ただ一点で交わる。平行四辺形の頂点 SS も両方の直線上にあるから、それは S1S_1 と一致する。

例ある点からほかの点へ向かうベクトル

P=(1,1)P = (1, 1) から Q=(4,3)Q = (4, 3) へ向かうベクトルを求め、それを点 R=(−2,2)R = (-2, 2) と原点に平行移動し、QQ から PP へ向かうベクトルと比べよ。

証明

  1. PQ⃗=(4−1,3−1)=(3,2)\vec{PQ} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{3 - 1} \right) = \dato{v}{\left( 3, 2 \right)}

    矢印の終点の座標から始点の座標を引く。変位は右へ 33、上へ 22 である。

  2. S=R+PQ⃗=(−2+3,2+2)=(1,4)S = R + \vec{PQ} = \left( -2 + \resaltar{3}, 2 + \resaltar{2} \right) = \left( 1, 4 \right)

    始点を RR にとると、同じ変位で点 SS に到達する。

  3. PR⃗=(−2−1,2−1)=(−3,1)=QS⃗\vec{PR} = \left( \resaltar{-2 - 1}, \resaltar{2 - 1} \right) = \left( -3, 1 \right) = \vec{QS}

    補題により PR⃗\vec{PR} と QS⃗\vec{QS} も等しく、点 PP、QQ、SS、RR は平行四辺形の頂点である。

  4. OA⃗=(3,2),A=(3,2)\vec{OA} = \resaltar{\left( 3, 2 \right)}, \quad A = \left( 3, 2 \right)

    始点を OO にとると、矢印は点 AA で終わり、その座標はベクトルの成分に等しい。PQ⃗\vec{PQ} は AA の位置ベクトルである。

  5. QP⃗=(1−4,1−3)=(−3,−2)=−PQ⃗\vec{QP} = \left( \resaltar{1 - 4}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( -3, -2 \right) = -\vec{PQ}

    QQ から PP へ向かう矢印は同じ線分を逆向きにたどる。これは逆ベクトルを表す。

ベクトルの和と実数倍

ベクトル u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) と v⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right) の和は u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)\vec{u} + \vec{v} = \left( u_1 + v_1, u_2 + v_2 \right) であり、実数 tt と u⃗\vec{u} の積は tu⃗=(tu1,tu2)t \vec{u} = \left( t u_1, t u_2 \right) である。u⃗\vec{u} と v⃗\vec{v} の差は u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + \left( -\vec{v} \right) である。

和は変位を続けて行うことに対応する。u⃗\vec{u} を進み、続いて v⃗\vec{v} を進むと、横方向の進みの合計は u1+v1u_1 + v_1、縦方向の合計は u2+v2u_2 + v_2 である。点の言葉でいえば、任意の三点 AA、BB、CC についてシャールの関係が成り立つ。座標の差が順に足し合わされるからである。すなわち (b1−a1)+(c1−b1)=c1−a1(b_1 - a_1) + (c_1 - b_1) = c_1 - a_1 であり、縦座標についても同様である。

AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}

ここから和の作図法が二つ得られる。三角形の法則は v⃗\vec{v} の始点を u⃗\vec{u} の終点におく。平行四辺形の法則は二つのベクトルを同じ始点で描き、それらが定める平行四辺形の対角線をとる。特に PQ⃗=OQ⃗−OP⃗\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} である。すなわち、二点間のベクトルはそれらの位置ベクトルの差である。一方、積 tu⃗t \vec{u} は二つの進みをどちらも tt 倍する。t>0t > 0 なら u⃗\vec{u} の方向と向きを保ち、t<0t < 0 なら方向を保って向きを逆にする。そして、大きさを導入すればわかるように、長さを ∣t∣\abs{t} 倍する。

例和、差、平行四辺形の法則

u⃗=(4,1)\vec{u} = \left( 4, 1 \right)、v⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right) とする。u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} を三角形の法則と平行四辺形の法則で作図し、u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v} を作図せよ。

証明

  1. u⃗=(4,1),v⃗=(1,3)\dato{u}{\vec{u} = \left( 4, 1 \right)}, \quad \dato{v}{\vec{v} = \left( 1, 3 \right)}

    二つのベクトルをどちらも始点 OO で描く。

  2. u⃗+v⃗=(4+1,1+3)=(5,4)\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{4 + 1}, \resaltar{1 + 3} \right) = \dato{s}{\left( 5, 4 \right)}

    三角形の法則：u⃗\vec{u} の終点を始点として、v⃗\vec{v} によって点 (5,4)(5, 4) に到達する。和は成分ごとに計算する。

  3. v⃗+u⃗=(5,4)=u⃗+v⃗\vec{v} + \vec{u} = \resaltar{\left( 5, 4 \right)} = \vec{u} + \vec{v}

    平行四辺形の法則：先に v⃗\vec{v}、次に u⃗\vec{u} を進んでも、同じ点に到達する。和は、平行四辺形（辺が u⃗\vec{u} と v⃗\vec{v} であるもの）の対角線で、OO から出るものである。

  4. −v⃗=(−1,−3)=(−1)v⃗-\vec{v} = \left( \resaltar{-1}, \resaltar{-3} \right) = \left( -1 \right) \vec{v}

    v⃗\vec{v} の逆ベクトルは、それと −1-1 との積である。長さは同じで、向きは逆である。

  5. u⃗−v⃗=(4−1,1−3)=(3,−2)\vec{u} - \vec{v} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( 3, -2 \right)

    差は u⃗\vec{u} と −v⃗-\vec{v} の和である。平行移動すれば、v⃗\vec{v} の終点から u⃗\vec{u} の終点へ向かう矢印であり、平行四辺形のもう一本の対角線である。

二つの演算は実数から次の性質を受け継ぎ、それらはすべてのベクトル u⃗\vec{u}、v⃗\vec{v}、w⃗\vec{w} とすべての実数 ss、tt について成り立つ。

  1. 和の交換法則：u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}。
  2. 和の結合法則：(u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)\left( \vec{u} + \vec{v} \right) + \vec{w} = \vec{u} + \left( \vec{v} + \vec{w} \right)。
  3. 単位元：u⃗+0⃗=u⃗\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}。
  4. 逆元：u⃗+(−u⃗)=0⃗\vec{u} + \left( -\vec{u} \right) = \vec{0}。
  5. 実数倍の結合法則：s(tu⃗)=(st)u⃗s \left( t \vec{u} \right) = \left( s t \right) \vec{u}。
  6. 1 倍：1u⃗=u⃗1 \vec{u} = \vec{u}。
  7. ベクトルの和についての分配法則：t(u⃗+v⃗)=tu⃗+tv⃗t \left( \vec{u} + \vec{v} \right) = t \vec{u} + t \vec{v}。
  8. 数の和についての分配法則：(s+t)u⃗=su⃗+tu⃗\left( s + t \right) \vec{u} = s \vec{u} + t \vec{u}。
定理ベクトルの演算の性質

平面のすべてのベクトル u⃗\vec{u}、v⃗\vec{v}、w⃗\vec{w} とすべての実数 ss、tt について、上に挙げた八つの性質が成り立つ。

二つの演算は成分ごとに働くので、各性質は実数の対応する性質を各成分に適用したものに帰着する。第 1 成分だけを書けば十分である。第 2 成分は添字を 22 に替えれば同じだからである。

証明

  1. u1+v1=v1+u1,(u1+v1)+w1=u1+(v1+w1)\resaltar{u_1 + v_1} = \resaltar{v_1 + u_1}, \qquad \resaltar{\left( u_1 + v_1 \right) + w_1} = \resaltar{u_1 + \left( v_1 + w_1 \right)}

    交換法則と結合法則：実数の和の交換法則と結合法則から受け継がれる。

  2. u1+0=u1,u1+(−u1)=0\resaltar{u_1 + 0} = \resaltar{u_1}, \qquad \resaltar{u_1 + \left( -u_1 \right)} = \resaltar{0}

    単位元と逆元：00 は和の単位元であり、−u1-u_1 は u1u_1 の逆元である。

  3. s(tu1)=(st)u1,1⋅u1=u1\resaltar{s \left( t u_1 \right)} = \resaltar{\left( s t \right) u_1}, \qquad \resaltar{1 \cdot u_1} = \resaltar{u_1}

    実数倍の結合法則と 1 倍：実数の積は結合法則を満たし、11 を単位元とする。

  4. t(u1+v1)=tu1+tv1,(s+t)u1=su1+tu1\resaltar{t \left( u_1 + v_1 \right)} = \resaltar{t u_1 + t v_1}, \qquad \resaltar{\left( s + t \right) u_1} = \resaltar{s u_1 + t u_1}

    二つの分配法則：実数の積は和について分配法則を満たす。

  5. u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)=(v1+u1,v2+u2)=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{u_1 + v_1}, \resaltar{u_2 + v_2} \right) = \left( \resaltar{v_1 + u_1}, \resaltar{v_2 + u_2} \right) = \vec{v} + \vec{u}

    二つのベクトルが等しいのは、二つの成分がそれぞれ等しいときに限る。したがって、八つの等式はベクトルの間で成り立つ。例として最初のものを示す。

この八つの性質がベクトル空間の公理である。要素どうしを足すことができ、実数を掛けることができて、この八つの規則を満たす集合はベクトル空間とよばれ、成分を使わずにこれらの公理から導かれることは、どのベクトル空間でも成り立つ。多項式の代数の課の多項式も、その和と実数倍によって、もう一つのベクトル空間をなす。

一次結合と平行なベクトル

ベクトル u⃗\vec{u} と v⃗\vec{v} の一次結合とは、形 su⃗+tv⃗s \vec{u} + t \vec{v} のベクトルのことである。ここで ss と tt は実数である。ベクトル e⃗1=(1,0)\vec{e}_1 = \left( 1, 0 \right) と e⃗2=(0,1)\vec{e}_2 = \left( 0, 1 \right) は各座標軸の方向に一つ進むベクトルであり、どのベクトルもこれらの一次結合としてただ一通りに書ける。ae⃗1+be⃗2=(a,b)a \vec{e}_1 + b \vec{e}_2 = \left( a, b \right) が u⃗\vec{u} に等しくなるのは a=u1a = u_1 かつ b=u2b = u_2 のときに限るからである。そのため、これらを平面の標準基底という。

u⃗=(u1,u2)=u1e⃗1+u2e⃗2\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) = u_1 \vec{e}_1 + u_2 \vec{e}_2

零でない二つのベクトル u⃗\vec{u} と v⃗\vec{v} は、一方が他方の実数倍であるとき、すなわち v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u} がある実数 tt（これは 0 ではありえない）について成り立つとき、平行であるという。t>0t > 0 なら同じ向き、t<0t < 0 なら逆向きである。このとき、同じ始点でそれらを表す矢印は同じ直線上にある。

補題平行の判定

零でない二つのベクトル u⃗\vec{u} と v⃗\vec{v} が平行であるための必要十分条件は u1v2−u2v1=0u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0 である。

一方の向きの含意は計算である。もう一方については、数 tt を v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u} となるように作る必要があり、u⃗\vec{u} の 0 でない成分で割ってそれを得る。

証明

  1. u1(tu2)−u2(tu1)=0u_1 \resaltar{\left( t u_2 \right)} - u_2 \resaltar{\left( t u_1 \right)} = 0

    v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u} なら、v⃗\vec{v} の成分は tu1t u_1 と tu2t u_2 であり、この式は 0 になる。図では u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right) と v⃗=(6,3)=3u⃗\vec{v} = \left( 6, 3 \right) = 3 \vec{u}。

  2. u1v2=u2v1,t=v1u1→v1=tu1\dato{h}{u_1 v_2 = u_2 v_1}, \quad t = \frac{v_1}{u_1} \rightarrow \resaltar{v_1 = t u_1}

    逆に、この式が 0 になると仮定し、まず u1≠0u_1 \neq 0 と仮定する。tt を第 1 成分どうしの商と定めれば、v⃗\vec{v} の第 1 成分は tu1t u_1 である。図では t=62=3t = \frac{6}{2} = 3。

  3. v2=u2v1u1=u2tu1u1=tu2v_2 = \frac{u_2 \resaltar{v_1}}{u_1} = \frac{u_2 \resaltar{t u_1}}{u_1} = t u_2

    仮定を v2v_2 について解く。第 2 成分も tu2t u_2 であり、したがって v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u} である。図では 3=3⋅13 = 3 \cdot 1。

  4. u1=0→v1=0,t=v2u2u_1 = 0 \rightarrow \resaltar{v_1 = 0}, \quad t = \frac{v_2}{u_2}

    u1=0u_1 = 0 なら u2≠0u_2 \neq 0 である。u⃗\vec{u} は零ベクトルでないからである。仮定から u2v1=0u_2 v_1 = 0、したがって v1=0v_1 = 0 が得られ、第 2 成分どうしの商によって v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u} となる。図では u⃗=(0,2)\vec{u} = \left( 0, 2 \right) と v⃗=(0,−3)\vec{v} = \left( 0, -3 \right)、ただし t=−32t = -\frac{3}{2}。

数 u1v2−u2v1u_1 v_2 - u_2 v_1 は連立一次方程式の課の行列式であり、その理由は次の補題で明らかになる。

補題平行でない二つのベクトルの一次結合

u⃗\vec{u} と v⃗\vec{v} が零でなく平行でないベクトルならば、どの w⃗\vec{w} もそれらの一次結合としてただ一通りに表される。すなわち、数 ss と tt が存在して、しかもその組はただ一つであり、w⃗=su⃗+tv⃗\vec{w} = s \vec{u} + t \vec{v} が成り立つ。

求める等式を成分で書けば、未知数 ss と tt についての連立一次方程式になり、それにクラメルの公式を適用すればよい。

証明

  1. {u1s+v1t=w1u2s+v2t=w2\begin{cases} u_1 s + v_1 t = w_1 \\ u_2 s + v_2 t = w_2 \end{cases}

    等式 su⃗+tv⃗=w⃗s \vec{u} + t \vec{v} = \vec{w} を成分ごとに書く。図では u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right)、v⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right)、w⃗=(4,7)\vec{w} = \left( 4, 7 \right)。

  2. D=u1v2−u2v1≠0\dato{D}{D = u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0}

    ベクトルが平行でないので、平行の判定により、連立方程式の行列式は 0 でない。図では 2⋅3−1⋅1=52 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5。

  3. s=w1v2−v1w2D,t=u1w2−w1u2Ds = \frac{w_1 v_2 - v_1 w_2}{\resaltar{D}}, \quad t = \frac{u_1 w_2 - w_1 u_2}{\resaltar{D}}

    クラメルの公式により、連立方程式はただ一つの解をもち、それは次の商で与えられる。図では s=12−75=1s = \frac{12 - 7}{5} = 1 と t=14−45=2t = \frac{14 - 4}{5} = 2 であり、確かに w⃗=u⃗+2v⃗\vec{w} = \vec{u} + 2 \vec{v} である。

  4. su⃗+tv⃗=s1u⃗+t1v⃗→s=s1∧t=t1s \vec{u} + t \vec{v} = s_1 \vec{u} + t_1 \vec{v} \rightarrow \resaltar{s = s_1 \wedge t = t_1}

    特に、u⃗\vec{u} と v⃗\vec{v} の二つの一次結合が等しければ、どちらも同じ w⃗\vec{w} をもつ連立方程式の解であり、係数は一致する。この係数の比較が、この課のいくつかの証明の道具となる。