指数・対数の方程式と不等式

要約

この課では、未知数が指数または対数の真数に現れる方程式と不等式の解き方を学ぶ。その拠りどころは指数関数と対数関数の二つの性質である。一つは単射性で、指数どうし、真数どうしを等しいとおくことを可能にする。もう一つは単調性で、底に応じて不等式の向きを保つか逆にする。これらを用いて、同じ底へのそろえ方、対数のとり方、方程式を二次方程式に変える置き換え、対数方程式の定義域と、対数の性質を定義域の外で使ったときに現れる無縁解、連立方程式、どの代数的方法でも解けない方程式（その唯一の解は二分法で位置を突き止める）、そしてパラメータを含む方程式の解の個数を場合分けして調べることを扱う。

学習目標

同じ底にそろえる、対数をとる、または二次方程式に変える置き換えを用いて指数方程式を解き、新しい変数の正でない値を除外する。
まず定義域を定め、対数の性質を成り立つところでだけ用い、無縁解を見分けて、対数方程式を解く。
底に応じて不等号の向きを保つか逆にして指数不等式と対数不等式を解き、解の集合を区間の和集合として表す。
中間値の定理を用いて、代数的な解法のない方程式がただ一つの解をもつことを証明し、その位置を二分法で突き止め、パラメータを含む方程式の解の個数を場合分けして調べる。

指数方程式

指数方程式とは、未知数がどこかの指数に現れる方程式のことで、 $2^x = 3^{x - 1}$ や $4^x - 2^x - 6 = 0$ がその例である。これを解くには、指数関数の課と対数関数の課で学んだ事実を用いる。 $a > 0$ かつ $a \neq 1$ ならば、累乗 $a^x$ はすべての実数 $x$ に対して定義され、つねに正である。 $a > 1$ のとき狭義単調増加、 $0 < a < 1$ のとき狭義単調減少であり、各正の値をちょうど一度ずつとる。その逆関数は $a$ を底とする対数で、正の実数で定義され、真数が正である限り積・商・累乗の性質を満たし、底の変換公式を満たす。

定理指数関数と対数の単射性

$a$ を $1$ と異なる正の実数とする。すべての実数 $u$ と $v$ について、 $a^u = a^v$ であるのは $u = v$ のとき、かつそのときに限る。すべての正の実数 $u$ と $v$ について、 $\log_a u = \log_a v$ であるのは $u = v$ のとき、かつそのときに限る。さらに、 $c > 0$ ならば方程式 $a^x = c$ はちょうど一つの解 $x = \log_a c$ をもち、 $c \leq 0$ ならば解をもたない。

指数関数の狭義の単調性と、その逆関数としての対数の定義を用いる。図は $a = 2$ の場合を追う。高さ $3$ の水平な直線は $y = 2^x$ のグラフとただ一点で交わり、高さ $-2$ の直線は交わらない。

証明

$u \neq v \rightarrow a^u \neq a^v, \qquad \dato{ie}{a^u = a^v \leftrightarrow u = v}$
$u = v$ ならば、累乗は一致する。関数は各数にただ一つの値を対応させるからである。逆に、 $u \neq v$ ならば二つのうち一方が小さく、指数関数の性質の定理で証明した指数関数の狭義の単調性により、それらの累乗は異なる。
$\log_a u = \log_a v \rightarrow u = a^{\resaltar{\log_a u}} = a^{\resaltar{\log_a v}} = v$
$\log_a u = \log_a v$ ならば、両辺に $a$ を底とする指数関数を施す。これは対数を打ち消し、 $u = v$ が得られる。逆は明らかである。
$a^x = c = a^{\resaltar{\log_a c}} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_a c}$
$c > 0$ ならば、対数の定義により数 $\log_a c$ は解である。しかも解はそれだけである。どの解もそれと同じ累乗をもつからである。
$a^x > 0 \geq c$
$c \leq 0$ ならば解はない。累乗 $a^x$ はすべての実数 $x$ に対して正だからである。

同じ底にそろえる

両辺を同じ底の累乗として書けるなら、単射性により指数どうしを等しいとおくことができ、指数方程式は代数方程式に変わる。たとえば、 $8 = 2^3$ かつ $4 = 2^2$ であるから、方程式 $8^{x - 1} = 4^{x + 1}$ は $2^{3x - 3} = 2^{2x + 2}$ と同値、すなわち $3x - 3 = 2x + 2$ と同値であり、その解は $x = 5$ である：

8^{x - 1} = 4^{x + 1} \leftrightarrow 3x - 3 = 2x + 2 \leftrightarrow x = 5

対数をとる

底が同じ数の累乗でないとき、たとえば $2$ と $3$ のときは、両辺の対数をとる。両辺が正ならば、対数の単射性により、得られる方程式はもとの方程式と同値である。解が失われることも加わることもない。底は何でもよいが、ふつうは自然対数（対数関数の課で定義した）か、 $10$ を底とする対数を用いる。

例二つの底をもつ方程式

方程式 $2^x = 3^{x - 1}$ を解け。

証明

$2^x = 3^{x - 1} \leftrightarrow \resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})}$
両辺はすべての $x$ に対して正である。両辺の自然対数をとると、対数の単射性により同値な方程式が得られる。
$\resaltar{\ln(2^x)} = \resaltar{\ln(3^{x - 1})} \leftrightarrow \dato{e}{x \ln 2 = (x - 1) \ln 3}$
累乗の性質により、指数が係数として前に出る。
$x \ln 2 - \resaltar{(x - 1) \ln 3} = 0 \leftrightarrow \resaltar{x(\ln 3 - \ln 2)} = \ln 3$
$x$ を含む項を一方の辺に集める。係数 $\ln 3 - \ln 2$ は正である。自然対数は狭義単調増加で、 $2 < 3$ だからである。
$x = \frac{\ln 3}{\resaltar{\ln 3 - \ln 2}} = \dato{s}{\log_{\frac{3}{2}} 3}$
この係数で割る。商の性質により分母は $\ln \frac{3}{2}$ であり、底の変換公式により解は $\frac{3}{2}$ を底とする対数である。その値はおよそ 2.71 である。
$2^2 = 4 > \resaltar{3^1}, \quad 2^3 = 8 < \resaltar{3^2}$
値の表で位置を確かめられる。 $2$ では一つ目の累乗が大きく、 $3$ では二つ目が大きい。グラフはこの二数の間で交わり、その交点が、 $x$ が方程式を満たす唯一の点である。

二次方程式に帰着する方程式

方程式に $a^x$ と $a^{2x}$ 、あるいはそれらに帰着する累乗、たとえば $4^x = (2^x)^2$ が現れるなら、置き換え $t = a^x$ によって方程式は $t$ についての二次方程式になり、二次多項式の因数分解の課の方法で解ける。ただし、新しい変数はすべての実数をとるわけではない。 $a^x$ はつねに正であるから、 $t$ の正の値だけが許される。単射性の定理により、正の根はそれぞれちょうど一つの解 $x = \log_a t$ を与え、負の根や零の根は除外する。

例置き換え

方程式 $4^x - 2^x - 6 = 0$ を解け。

証明

$\resaltar{4^x} = (2^2)^x = \resaltar{(2^x)^2}, \quad \dato{t}{t = 2^x > 0}$
$4^x$ を $2^x$ の平方として書き、この累乗を $t$ とおく。これは正である。
$\resaltar{t^2 - t - 6} = \resaltar{(t - 3)(t + 2)} = 0$
方程式は $t$ についての二次方程式であり、積が $-6$ 、和が $-1$ となる二つの数を探せば因数分解できる。
$t = -2 \rightarrow 2^x = \resaltar{-2} < 0$
根 $t = -2$ は除外する。 $t$ は正だからである。方程式 $2^x = -2$ は解をもたない。図は変数 $t$ の平面における放物線を示し、そのうち $t > 0$ の範囲だけが意味をもつ。
$2^x = \resaltar{3} \leftrightarrow x = \resaltar{\log_2 3}$
根 $t = 3$ は正であり、単射性の定理によりちょうど一つの解を与える。その値はおよそ 1.58 である。
$4^{\log_2 3} - 2^{\log_2 3} - 6 = \resaltar{9 - 3 - 6} = \resaltar{0}$
検算：対数の定義により $2^{\log_2 3} = 3$ であり、この累乗の平方は $9$ である。