対数関数とその性質

要約

この課では、 $a$ を底とする対数を $a$ を底とする指数関数の逆関数として定義し、それによって自然対数と常用対数を定める。対数の性質（積・商・累乗の性質）と底の変換公式およびその帰結を証明し、対数関数の単調性、符号、グラフを鉛直漸近線とともに調べ、 $\log_2 3$ が、さらに一般に、一より大きい自然数の、それと互いに素な自然数を底とする対数が、無理数であることを証明する。続いて、常用対数を、数を書き出さずにその桁数を数えることに応用し、音響学、化学、地震学の対数目盛を説明し、長さを足すことで数を掛ける計算尺の原理を説明する。

学習目標

対数を指数関数の逆関数として定義し、簡単な対数を計算し、対数関数の定義域、値域、グラフを識別する。
対数の性質と底の変換公式を証明し、応用する。
底に応じて対数の単調性と符号を決定し、整数乗の累乗の間の不等式によって対数を見積もる。
常用対数を用いて桁数を数え、対数目盛を解釈し、ある種の対数の無理性を証明する。

指数関数の逆関数としての対数

指数関数と実数の指数の課では、次のことが証明された。 $a > 0$ かつ $a \neq 1$ ならば、各実数 $x$ に累乗 $a^x$ を対応させる関数は、 $a > 1$ のとき狭義単調増加、 $0 < a < 1$ のとき狭義単調減少である。さらに、指数関数の値域の定理（そこで実数の完備性とベルヌーイの不等式を用いて証明された）により、この関数は各正の値をちょうど一度ずつとり、したがって $\mathbb{R}$ から区間 $\ioo{0}{\infty}$ への全単射である。狭義単調関数の逆関数の定理（関数の演算と逆関数の課で証明された）により、この関数は逆関数をもつ。そうであれば、各正の数 $x$ に対して指数 $y$ がただ一つ存在して $a^y = x$ となり、次の定義は意味をもつ。

$a > 0$ 、ただし $a \neq 1$ 、かつ $x > 0$ とする。 $a$ を底とする対数の $x$ における値を $\log_a x$ と書き、これは唯一の実数 $y$ であって $a^y = x$ を満たすものである。関数 $\log_a$ は $\ioo{0}{\infty}$ で定義され実数値をとり、 $a$ を底とする指数関数の逆関数である。

\log_a x = y \leftrightarrow a^y = x

したがって、対数は指数についての問いに答える。 $\log_a x$ は、 $a$ をその数で累乗すると $x$ が得られるような数である。こうして、 $2^3 = 8$ 、 $3^{-2} = \frac{1}{9}$ 、 $10^3 = 1000$ であり、また有理数の指数と累乗根の課により $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$ であるから、次が成り立つ：

\log_2 8 = 3, \qquad \log_3 \frac{1}{9} = -2, \qquad \log_{10} 1000 = 3, \qquad \log_4 2 = \frac{1}{2}

$\log_a$ と $a$ を底とする指数関数とは互いに逆関数なので、一方は他方の働きを打ち消す。第一の恒等式はすべての正の $x$ に対して成り立ち、第二の恒等式はすべての実数 $y$ に対して成り立つ。

a^{\log_a x} = x, \qquad \log_a\left(a^y\right) = y

特に、 $a^0 = 1$ と $a^1 = a$ から、どの底についても $\log_a 1 = 0$ と $\log_a a = 1$ が従う。ゼロも負の数も対数をもたない。正の底をもつ累乗はすべて正だからである。 $y$ であって $2^y = -4$ となるものは存在しない。二つの底には固有の名前がある。底 $e$ 、すなわち数 e と自然指数関数の課で調べた数は自然対数を与え、これを $\ln x$ と書く。底 $10$ は常用対数を与え、これを $\log_{10} x$ と書く。多くの本や電卓では底を書かずに $\log x$ と書き、あるときは自然対数を、あるときは常用対数を表す。本コースでは底を常に書く。

\ln x = y \leftrightarrow e^y = x, \qquad \log_{10} x = y \leftrightarrow 10^y = x

対数は 1614 年にジョン・ネイピアによって発表され、その数年後にヘンリー・ブリッグスが最初の常用対数表を計算した。三世紀以上にわたって、対数は天文学、航海術、工学の計算を簡略化するのに役立った。後の節で証明するように、積を和に変えるからである。対数のグラフは、同じく逆関数についての課にある逆関数のグラフの定理により、指数関数のグラフから得られる。全単射な関数のグラフとその逆関数のグラフは、直線 $y = x$ に関して対称である。

例2 を底とする対数のグラフ

$\log_2$ のグラフを作る。指数関数 $2^x$ のグラフをもとに、それを直線 $y = x$ に関して折り返す。

証明

$\resaltar{2^{-1}} = \frac{1}{2}, \quad \resaltar{2^0} = 1, \quad \resaltar{2^1} = 2, \quad \resaltar{2^2} = \resaltar{4}$
$y = 2^x$ のグラフ上のいくつかの点を計算する。 $x$ が $-1$ 、 $0$ 、 $1$ 、 $2$ に等しいとき、累乗の値はそれぞれ $\frac{1}{2}$ 、 $1$ 、 $2$ 、 $4$ である。
$\dato{p}{\resaltar{\log_2 \frac{1}{2}} = -1, \quad \log_2 1 = 0, \quad \log_2 2 = 1, \quad \resaltar{\log_2 4} = 2}$
定義により、各等式 $2^y = x$ は $\log_2 x = y$ を意味する。対数のグラフ上の点は、座標を入れ替えることで得られる。
$\resaltar{y = \log_2 x} \leftrightarrow \resaltar{x = 2^y}$
同じことがすべての点について成り立つ。点 $(x, y)$ が $\log_2$ のグラフ上にあるのは、 $(y, x)$ が $2^x$ のグラフ上にあるとき、かつそのときに限る。二つのグラフは直線 $y = x$ に関して対称であり、 $\log_2$ のグラフは指数関数のグラフを折り返したものである。
$x \in \resaltar{\ioo{0}{\infty}} \rightarrow \log_2 x \in \resaltar{\mathbb{R}}$
折り返すと定義域と値域が入れ替わる。対数は正の数に対してだけ定義され、すべての実数値をとる。 $x$ 軸（ $2^x$ のグラフが左のほうで近づく軸）は $y$ 軸（ $\log_2$ のグラフが $0$ の近くで近づく軸）に変わる。