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Topos Uranos
日本語

指数的な増加と減衰のモデル

要約

この課では、指数関数と対数関数を、等しい期間ごとに同じ割合で変化する量の記述に応用する。一定の比による離散的な増加と連続モデル P(t)=P0ektP(t) = P_0 e^{kt} を学び、後者では倍増時間と半減期が測定する時刻によらないことを証明し、その結果を放射性崩壊、炭素 14 年代測定、ニュートンの冷却の法則に応用する。続いて、二つのデータからモデルのパラメータを定める方法を学び、指数的なデータが片対数グラフ上で一直線に並ぶことを証明し、最後にロジスティックモデルを扱う。その増加は有界であり、そのグラフは中点に関して対称である。

学習目標

  1. 離散的および連続的な増加と減衰のモデルを見分け、一期間あたりの変化の割合をモデルの定数と結びつける。
  2. 倍増時間と半減期を計算して用い、放射性崩壊、炭素 14 年代測定、物体の冷却に応用する。
  3. 二つのデータから指数モデルのパラメータを定め、片対数グラフ上で指数的なデータを見分ける。
  4. ロジスティックモデルを調べる。すなわち、その有界性、単調性、およびその上界の半分に達する点に関するグラフの対称性である。

一定の比による増加

量が増加する基本的な仕方は二つある。各期間に同じ量が加えられるなら、その値は等差数列をなし、グラフは直線になる。単利の元金はこのように増え、毎年同じ利息を受け取る。これに対し、各期間に同じ数が掛けられるなら、その値は等比数列をなす。複利の元金はこのように増え、各年の利息は積み上がった元金に対して計算される。また、各細胞が一定の時間で分裂する細菌の個体群もこのように増える。どちらの数列も総和・数列・帰納法の課で学んだ。この課では後者とその連続版を扱う。

P0>0P_0 > 0 をある量の初期値とし、PnP_n を nn 期間後の値とする。量が一期間あたり一定の比 rr（ただし r>−1r > -1）で変化するとは、各値がその一つ前の値に 1+r1 + r を掛けて得られること、すなわち隣り合う二つの値の商が常に同じであることをいう：

Pn+1Pn=1+r\frac{P_{n + 1}}{P_n} = 1 + r

数 rr はふつう百分率で表される。年に 33 パーセント増える個体群では r=3100r = \frac{3}{100} であり、毎時間その質量の五分の一を失う物質では r=−15r = -\frac{1}{5} である。r>0r > 0 のとき増加といい、−1<r<0-1 < r < 0 のとき減衰という。

補題一定の比による増加

Pn+1=(1+r)PnP_{n + 1} = (1 + r) P_n がすべての nn について成り立ち、P0>0P_0 > 0 かつ r>−1r > -1 ならば、Pn=P0(1+r)nP_n = P_0 (1 + r)^n がすべての自然数 nn について成り立つ。すべての値は正である。数列は r>0r > 0 のとき狭義単調増加し、−1<r<0-1 < r < 0 のとき狭義単調減少する。

この公式は公比 1+r1 + r の等比数列の一般項であり、帰納法で証明される。図は P0=1P_0 = 1 のときの最初のいくつかの値を、まず r=12r = \frac{1}{2} で、続いて r=−12r = -\frac{1}{2} で示す。

証明

  1. P1=(1+r)P0=P0(1+r)1P_1 = (1 + r) P_0 = P_0 (1 + r)^{\resaltar{1}}

    n=1n = 1 のとき、公式は P0P_0 に仮定を適用したものである。

  2. Pn+1=(1+r)Pn=(1+r)P0(1+r)n=P0(1+r)n+1P_{n + 1} = (1 + r) \resaltar{P_n} = (1 + r) \resaltar{P_0 (1 + r)^n} = \dato{f}{P_0 (1 + r)^{n + 1}}

    公式が nn で成り立てば、仮定により n+1n + 1 でも成り立つ。数学的帰納法の原理により、すべての自然数で成り立つ。

  3. P0>0,1+r>0→Pn>0P_0 > 0, \quad 1 + r > 0 \rightarrow \dato{p}{P_n > 0}

    P0P_0 と 1+r1 + r は正なので、それらの累乗と積もすべて正である。したがって、すべての値は正である。

  4. Pn+1−Pn=rPnP_{n + 1} - P_n = \resaltar{r P_n}

    隣り合う二つの値の差は rPnr P_n であり、これは rr と同じ符号をもつ。数列は r>0r > 0 のとき増加し、−1<r<0-1 < r < 0 のとき減少する。

たとえば、元金 10001000 を年利 55 パーセントの複利で運用すると、三年後には

C3=1000(1+5100)3=92618C_3 = 1000 \left( 1 + \frac{5}{100} \right)^3 = \frac{9261}{8}

すなわち 1157.625 になる。一方、単利ならば 11501150 になる。この差は、はじめは小さいが、年数とともに限りなく大きくなる。例題 2 では、二年目以降は複利が常に単利を上回ることを証明する。元金と利率の体系的な研究は金融数学のコースで扱う。