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Topos Uranos
日本語

初等関数の導関数

要約

この課では、前の課で扱えなかった初等関数を微分する。正弦と余弦は第 1 単元の三角関数の極限から、正接、余接、正割、余割は商の微分法と逆数の微分法によって、自然指数関数と自然対数はそれぞれの重要な極限から、双曲線関数は指数関数から微分する。どの証明も、合成関数の微分法も逆関数の微分法も使わない。これらは後で扱う。いずれの場合も、加法定理あるいは指数関数や対数の法則が、平均変化率を、点だけに依存する因子と、既知の極限である因子とに分ける。これらの導関数と微分法の公式によって、この課は超越曲線の接線と曲線どうしのなす角を計算し、前の課で予告したことを果たす。関数 x2sin⁡1xx^2 \sin \frac{1}{x} は 00 で微分可能であるが、その導関数は 00 で極限をもたない。

学習目標

  1. 正弦の導関数が余弦であり、余弦の導関数が正弦の反数であることを証明し、変数をラジアンで測る理由を説明する。
  2. 正接、余接、正割、余割を前の課の公式で微分し、各導関数の定義域を明らかにする。
  3. 自然指数関数の導関数がそれ自身であること、および ln⁡∣x∣\ln \abs{x} の導関数が 1x\frac{1}{x} であることを証明し、そこから双曲線関数の導関数を導く。
  4. 初等関数の導関数と微分法の公式を組み合わせて曲線の接線と曲線どうしのなす角を求め、関数が微分可能な点で導関数が極限をもたないことがありうると理解する。

正弦と余弦

微分法の公式の課では、恒等関数と定数から四則演算で得られるすべての関数、すなわち多項式と有理関数を微分した。正弦はそれらに含まれず、その導関数は平均変化率から求めなければならない。00 においてその平均変化率は sin⁡hh\frac{\sin h}{h} であり、はさみうちの原理の課の三角関数の基本的な極限が微分係数 11 を与える。任意の点 aa に対しては、正弦の加法定理が sin⁡(a+h)\sin(a + h) を、aa だけに依存する項と hh だけに依存する項とに分ける。残る商は、同じ課の系「導かれる三角関数の極限」の二つの極限である。sin⁡hh\frac{\sin h}{h} は 11 に近づき、1−cos⁡hh\frac{1 - \cos h}{h} は 00 に近づく。

定理正弦と余弦の導関数

正弦と余弦は R\mathbb{R} 全体で微分可能であり、すべての実数 xx について以下が成り立つ：

ddx(sin⁡x)=cos⁡x,ddx(cos⁡x)=−sin⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x

極限としての導関数の課の増分による微分係数の表示と、加法定理の課の加法定理を用いる。図は正弦のグラフの接線を追う。各点での接線の傾きは、同じ点での余弦の縦座標に等しい。最後に、余弦のグラフの接線は正弦の反数を傾きとしてもつ。

証明

  1. sin⁡(a+h)−sin⁡a=sin⁡acos⁡h+cos⁡asin⁡h−sin⁡a=sin⁡a(cos⁡h−1)+cos⁡asin⁡h\sin(a + h) - \sin a = \sin a \cos h + \cos a \sin h - \sin a = \dato{s}{\sin a \left(\cos h - 1\right) + \cos a \sin h}

    aa を実数とし、h≠0h \neq 0 とする。正弦の加法定理により、正弦の増分は二つの項に分かれる。一方は因子 cos⁡h−1\cos h - 1 をもち、他方は因子 sin⁡h\sin h をもつ。因子 sin⁡a\sin a と cos⁡a\cos a は hh に依存しない。

  2. sin⁡(a+h)−sin⁡ah=−sin⁡a⋅1−cos⁡hh+cos⁡a⋅sin⁡hh→−sin⁡a⋅0+cos⁡a⋅1=cos⁡a\frac{\sin(a + h) - \sin a}{h} = -\sin a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} + \cos a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\sin a \cdot 0 + \cos a \cdot 1 = \resaltar{\cos a}

    hh で割る。系「導かれる三角関数の極限」により、二つの商は 00 と 11 に近づく。極限の演算法則の一次結合の極限の定理により平均変化率は極限をもち、増分による微分係数の表示が aa における正弦の微分係数を与える。

  3. cos⁡(a+h)−cos⁡ah=−cos⁡a⋅1−cos⁡hh−sin⁡a⋅sin⁡hh→−cos⁡a⋅0−sin⁡a⋅1=−sin⁡a\frac{\cos(a + h) - \cos a}{h} = -\cos a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} - \sin a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\cos a \cdot 0 - \sin a \cdot 1 = \resaltar{-\sin a}

    余弦の加法定理 cos⁡(a+h)=cos⁡acos⁡h−sin⁡asin⁡h\cos(a + h) = \cos a \cos h - \sin a \sin h を用いると、同じ議論で余弦の微分係数が得られる。

証明は変数をラジアンで測ることを用いている。三角関数の基本的な極限は正弦を弧の長さと比べるからである。角を度で測るとすると、xx 度の正弦は sin⁡πx180\sin \frac{\pi x}{180} となり、その導関数には因子 π180\frac{\pi}{180} がつく（練習問題 1）。したがってラジアンは、正弦の導関数が因子なしに余弦となる単位である。定理の幾何学的な意味は図のとおりである。正弦は余弦が正のところで増加し、余弦が零になるところで水平な接線をもつ。原点における正弦の接線は直線 y=xy = x であり、そのため 00 の近くでは sin⁡x\sin x は xx に近い。これはすでに同値関係 sin⁡x∼x\sin x \sim x（同値な無限小の課）が述べていたとおりである。