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Topos Uranos
日本語

微分法の公式

要約

この課では、カラテオドリの特徴づけから、毎回平均変化率に戻らずに微分するための公式を導く。一次結合、積、逆数、商の微分法である。どの公式も同じ方法で得られる。新しい関数の増分を x−ax - a との積として表し、その因子は aa で連続であり、aa におけるその因子の値が微分係数である。これらの公式により、整数乗の累乗、多項式、有理関数が微分される。課の最後では区分的に定義された関数を扱う。各部分の内部ではその部分の式に従い、つなぎ目の点では片側微分係数が決め手となるが、それは式の微分係数と一致するとは限らない。

学習目標

  1. カラテオドリの特徴づけを用いて、一次結合、積、逆数、商の微分法を証明する。
  2. 整数乗の累乗、多項式、有理関数を微分し、各導関数の定義域を明らかにする。
  3. 区分的に定義された関数がつなぎ目の点で微分可能かどうかを、片側微分係数によって判定する。
  4. 公式における十分な仮定と必要な仮定を区別し、各部分の式の導関数から関数の導関数が得られない場合を見分ける。

微分係数は点の近くで起こることだけで決まる

極限としての導関数についての課では、各微分係数をその平均変化率で計算した。x3−2xx2+1\frac{x^3 - 2x}{x^2 + 1} のような関数では、その計算は長い。むしろ、演算に対して微分係数がどう振る舞うかを知っておくのがよい。この課のすべての公式は、同じ課のカラテオドリの特徴づけに基づく。ff が aa で微分可能で f′(a)=Lf'(a) = L であるのは、関数 φ\varphi であって、aa で連続、φ(a)=L\varphi(a) = L であり、f(x)−f(a)=φ(x)(x−a)f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a) が定義域のすべての xx に対して成り立つものが存在するとき、かつそのときに限る。したがって、関数が aa で微分可能であることを示すには、その増分を x−ax - a との積として、aa で連続な因子を用いて表せばよい。aa におけるその因子の値が微分係数である。極限と連続性についての課の連続関数の演算の定理が、因子の連続性を保証する。

まず定義域の問題を片づけておく。二つの関数の定義域は異なることがあり、商 fg\frac{f}{g} は gg が零にならないところでしか定義されない。以下の補題は、点が集積点であり続ける限り、定義域を縮めても微分係数は変わらないこと、そして微分係数は点の近くの値だけで決まることを述べる。

補題微分係数の局所性

ff を AA で定義された関数、aa を AA の元、BB を AA の部分集合で aa を含むもの、FF を ff の BB への制限とする。

  • aa が BB の集積点であり、ff が aa で微分可能ならば、FF は aa で微分可能であり、F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a) である。
  • aa が AA の集積点であり、ある δ>0\delta > 0 が存在して、すべての xx（AA の元で ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta を満たすもの）が BB に属するならば、ff が aa で微分可能であるのは FF がそうであるとき、かつそのときに限り、その場合 F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a) である。

第一の主張は、極限の演算法則の制限の極限の補題である。第二の主張は、極限の定義が近くの点しか見ないということである。

証明

  1. x∈B∖{a}→F(x)−F(a)x−a=f(x)−f(a)x−ax \in B \setminus \{a\} \rightarrow \frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \resaltar{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}

    FF の平均変化率は、B∖{a}B \setminus \{a\} に制限したもの、すなわち ff の平均変化率の制限である。aa が BB の集積点ならば、極限の演算法則についての課の制限の極限の補題により、同じ極限が得られる。

  2. x∈A∧0<∣x−a∣<min⁡{δ,δ′}→∣f(x)−f(a)x−a−L∣<εx \in A \wedge 0 < \abs{x - a} < \min\{\delta, \delta'\} \rightarrow \resaltar{\abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon}

    第二の場合、AA の点で aa と異なり、距離が δ\delta より小さいものはすべて BB に属する。aa は AA の集積点であるから BB の集積点でもあり、第一の主張から一方の含意が得られる。もう一方については、F′(a)=LF'(a) = L ならば、ε>0\varepsilon > 0 をとり、δ′\delta' を FF の平均変化率に対する応答とする。δ\delta と δ′\delta' の小さいほうは ff の平均変化率に対する応答である。二つの平均変化率は、それが覆う xx で一致するからである。

第二の主張から、AA で定義された二つの関数が AA の点のうち aa に近いもので一致するならば、両方とも aa で微分可能で同じ微分係数をもつか、どちらも微分可能でないかである。二つはそれらの点への同じ制限をもつからである。また第一の主張から、ff と gg の定義域が異なり、どちらも点 aa を含むならば、定義域の共通部分で考えることができる。ただし aa がその集積点であるとする。そこで以下では、ff と gg は同じ集合 AA で定義されているとする。