関数の極限としての導関数

要約

この課では、関数の点における微分係数を極限として定義する。すなわち、割線の傾きの極限であってこれは接線の傾きであり、また平均の速度の極限であってこれは瞬間の速度である。定義が意味をもつ点を明確にし、片側微分係数、接線と法線、導関数、ライプニッツの記法を導入し、微分係数が三つの同値な定式化をもつことを証明する。平均変化率の極限、無視できる誤差をもつ直線による近似、そしてカラテオドリの分解である。最後のものから、微分可能な関数はすべて連続であることが従う。絶対値と立方根は、逆が成り立たないことを示す。

学習目標

関数の点における微分係数を平均変化率の極限として定義し、それを接線の傾きとして、また瞬間の速度として解釈する。
片側微分係数を計算し、それを用いて関数がある点で微分可能かどうかを判定する。
平均変化率、一次近似、カラテオドリによる特徴づけの同値性を証明する。
ある点で微分可能な関数はその点で連続であることを証明し、微分可能でない連続関数を見分ける。

接線と速度

放物線の方程式についての課では、直線が曲線にある点で接するとは、その点だけで曲線に触れ、曲線を横切らないことであった。この考えは円錐曲線には十分だが、任意の曲線には十分ではない。原点において、曲線 $y = x^3$ は左側では水平な軸の下に、右側ではその上にある。原点を通るどの直線もこの曲線を横切り、直線 $y = mx$ （ただし $m < 0$ ）は原点だけでこの曲線に触れる。なぜなら $x^3 = mx$ は $x = 0$ または $x^2 = m$ を要求するからである。条件を満たす直線は一本もないが、それでも見た目には、水平な軸こそ原点の近くで曲線に最もよく寄り添う直線である。したがって、曲線全体の形ではなく、点の近くで起こることだけによる別の定義が必要になる。

この考えは古くからある。接線とは割線の極限の位置である。関数 $f$ と、そのグラフ上の点 $(a, f(a))$ を考える。 $h \neq 0$ のとき、 $(a, f(a))$ と $(a + h, f(a + h))$ を通る割線の傾きは

\frac{f(a + h) - f(a)}{h}

$h$ が $0$ に近づくと、二番目の点は一番目の点に近づく。傾きが極限をもつならば、 $(a, f(a))$ を通りその傾きをもつ直線が接線の候補である。

例放物線の割線

$f(x) = x^2$ 、 $a = 1$ とする。点 $(1, 1)$ を通るいくつかの割線の傾きを計算し、その後でそれらの極限を求める。図は各割線と、最後に接線を示す。

証明

$\frac{f(2) - f(1)}{1} = \frac{4 - 1}{1} = \resaltar{3}$
$h = 1$ のとき、割線は $(1, 1)$ と $(2, 4)$ を通る。
$\frac{f\left(\frac{3}{2}\right) - f(1)}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{4} - 1}{\frac{1}{2}} = \resaltar{\frac{5}{2}}$
$h = \frac{1}{2}$ のとき、二番目の点は $\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ であり、傾きは小さくなる。
$\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = \resaltar{2 + h}$
一般に、正負を問わずすべての $h \neq 0$ に対して、傾きは簡単になる。 $h = \frac{1}{4}$ のときその値は $\frac{9}{4}$ である。
$\lim_{h \to 0} (2 + h) = 2, \qquad y = 1 + 2(x - 1) = \resaltar{2x - 1}$
$h$ が $0$ に近づくとき、傾きは $2$ に近づく。 $(1, 1)$ を通り傾き $2$ の直線が接線である。これは放物線についての課の接線の補題が与えた直線と同じであり、そこでは $x^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} \, y$ である。

同じ極限は運動の研究にも現れる。 $s(t)$ が、直線上を動く点の時刻 $t$ における位置であるとき、商 $\frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h}$ は時刻 $t_0$ と $t_0 + h$ の間の平均の速度、すなわち変位を要した時間で割ったものである。時刻 $t_0$ における速度、つまり速度計が示すであろう速度は、 $h$ が $0$ に近づくときの平均の速度の極限である。たとえば $s(t) = t^2 - 4t$ ならば、 $1$ と $1 + h$ の間の平均の速度は $\frac{(1 + h)^2 - 4(1 + h) + 3}{h} = h - 2$ であり、これは $-2$ に近づく。時刻 $1$ において、点は単位時間あたり二単位の長さの割合で左へ動いている。接線の問いと速度の問いという二つの問いは同じ極限に行き着き、以下で定義するのはまさにこの極限である。

点における微分係数

関数の極限についての課と同様に、まず極限がどこで意味をもつかを明確にしなければならない。商には値 $f(a)$ が必要なので、 $a$ は定義域に属さなければならない。また、 $x$ が $a$ に近づくときの極限には、 $a$ が定義域の集積点であることが必要である。

定義関数の点における微分係数

$f$ を実数の集合 $A$ で定義された実関数とし、 $a$ を $A$ の元で $A$ の集積点であるものとする。 $f$ の $a$ における平均変化率とは関数 $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ であり、 $x$ （ $A$ の元で $a$ と異なるもの）に対して定義される。 $f$ が $a$ で微分可能であるとは、平均変化率が実数の極限 $L$ を、 $x$ が $a$ に近づくときにもつことをいう。この数を $f$ の $a$ における微分係数といい、 $f'(a)$ と書く：

f'(a) = L \leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)

商は $A \setminus \{a\}$ で定義され、 $a$ はこの集合の集積点である。集積点の定義は $a$ と異なる元しか見ないからである。極限の一意性により、微分係数は存在すれば一意である。定義域の孤立点では、どの関数もそこで連続であるにもかかわらず、微分係数は定義されない。また、商が $\infty$ または $-\infty$ に発散するならば、関数は $a$ で微分可能ではない。微分係数は実数だからである。定義はしばしば、例のように、増分 $h = x - a$ を点 $x$ の代わりに用いて書かれる。

命題増分による微分係数の表示

定義の仮定のもとで、 $f(a + h)$ はそれが定義されるところだけで考えるとき、以下が成り立つ：

f'(a) = L \Leftrightarrow \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L

これは変数変換 $x = a + h$ であり、片側極限についての課の平行移動と対称移動の命題が片側について行ったことを、今度は両側同時に行うものである。

証明

$Q(a + h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, \qquad h \neq 0 \rightarrow a + h \neq a$
$Q(x)$ を平均変化率とする。関数 $g(h) = a + h$ は、 $h \neq 0$ （ただし $a + h$ が $A$ に属するもの）に対して、 $a$ に近づき、値 $a$ をとらず、その値は $Q$ の定義域に属する。極限の演算法則についての課の合成関数の極限の定理により、 $Q$ が $L$ に近づく（ $a$ において）ならば、 $Q(a + h)$ も $L$ に近づく（ $0$ において）。
$Q(x) = Q\left(a + (x - a)\right), \qquad x \neq a \rightarrow \resaltar{x - a \neq 0}$
逆に、関数 $x - a$ は、 $x$ （ $A$ の元で $a$ と異なるもの）に対して、 $0$ に近づき、値 $0$ をとらない。これを $h \mapsto Q(a + h)$ と合成すると商 $Q(x)$ が得られ、それも同じ極限に近づく。

最初の微分係数は直接計算できる。 $f(x) = mx + b$ ならば、平均変化率は $\frac{m(a + h) + b - (ma + b)}{h} = m$ に等しく（すべての $h \neq 0$ に対して）、その極限は $m$ である。一次関数の微分係数はどの点でもその傾きであり、その接線はその直線自身である。とくに、定数の微分係数は $0$ であり、恒等関数 $f(x) = x$ の微分係数は $1$ である。 $f(x) = x^2$ については、 $a$ を $1$ の代わりにして例の計算を行うと $\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = 2a + h$ となり、微分係数は $2a$ である。

片側微分係数

区間の端点や、関数の式が変わる点では、平均変化率を片側ずつ別々に調べるとよい。

定義片側微分係数

$a$ を $A$ の元で $A \cap \ioo{a}{\infty}$ の集積点であるものとする。 $f$ が $a$ で右側微分可能であるとは、平均変化率が $a$ で実数の右側極限をもつことをいう。この極限を右側微分係数といい、 $f'_+(a)$ と書く：

f'_+(a) = L \leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(a < x < a + \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)

同様に、 $a$ が $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ の集積点であるとき、左側微分係数 $f'_-(a)$ とは、条件 $a - \delta < x < a$ のもとでの平均変化率の左側極限である。

命題微分係数と片側微分係数

$a$ を $A$ の元とする。

$a$ が $A \cap \ioo{a}{\infty}$ と $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ の集積点であるならば、 $f$ が $a$ で微分可能であるための必要十分条件は、二つの片側微分係数が存在して等しいことである。このとき $f'(a) = f'_+(a) = f'_-(a)$ である。
$a$ が $A$ の片側だけの点の集積点であるならば、 $f$ が $a$ で微分可能であるための必要十分条件は、その側で微分可能であることであり、微分係数はその片側微分係数である。

新しい議論は何も必要ない。片側微分係数は平均変化率の片側極限であり、片側極限についての課がすでにそれらを極限と結びつけている。

証明

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = L \Leftrightarrow f'_+(a) = L = \resaltar{f'_-(a)}$
第一の場合、極限と片側極限の定理を平均変化率に適用すると同値性が得られる。
$\left(\forall x \in A\right)\left(0 < \abs{x - a} < r \rightarrow x > a\right) \rightarrow f'(a) = \resaltar{f'_+(a)}$
第二の場合、同じ課で指摘したように、 $a$ が定義域の片側だけの点の集積点であるとき、極限とその側の片側極限は一致する。ある $r > 0$ が存在して、すべての $x$ （ $A$ の元で $0 < \abs{x - a} < r$ を満たすもの）はその側にある。

たとえば、絶対値の $0$ における平均変化率は $\frac{\abs{x}}{x}$ であり、その値は $1$ （ $x > 0$ のとき）と $-1$ （ $x < 0$ のとき）である。片側微分係数は $f'_+(0) = 1$ と $f'_-(0) = -1$ で互いに異なり、 $\abs{x}$ は $0$ で微分可能ではない。これに対し、関数が $\icc{0}{1}$ で定義されているならば、 $0$ における微分係数は右側微分係数であり、 $1$ における微分係数は左側微分係数である。定義はすでに定義域の端点を片側しかない点として扱っている。たとえば、 $f(x) = x$ を $\icc{0}{1}$ に制限したものは $0$ で微分可能であり、 $f'(0) = 1$ である。

接線と法線

微分係数によって、接線は目で見て認める図形ではなくなり、計算される直線となる。

定義接線と法線

$f$ が $a$ で微分可能であるとする。 $f$ のグラフの点 $(a, f(a))$ における接線とは、その点を通り傾きが $f'(a)$ の直線である：

y = f(a) + f'(a)(x - a)

同じ点における法線とは、その点を通り接線に垂直な直線である。 $f'(a) \neq 0$ ならば直線 $y = f(a) - \frac{1}{f'(a)}(x - a)$ であり、 $f'(a) = 0$ ならば鉛直な直線 $x = a$ である。

法線の傾きは、直線の方程式についての課の垂直な直線の定理から得られる。鉛直でない二直線が垂直であるための必要十分条件は、傾きの積が $-1$ であることである。曲線 $y = x^3$ に戻ると、その $0$ における平均変化率は $x^2$ であり、 $0$ に近づく。原点における接線は、曲線を横切るにもかかわらず水平な軸である。 $f$ が $a$ で連続で、平均変化率が $\infty$ または $-\infty$ に発散するとき、割線は鉛直に近づく。このとき、グラフは $(a, f(a))$ で鉛直な接線、すなわち直線 $x = a$ をもつという。ただし $f$ は $a$ で微分可能ではない。

同様に、 $s(t)$ が直線上を動く点の位置であるとき、時刻 $t_0$ におけるその速度は、存在すれば $s'(t_0)$ である。その符号は運動の向きを示し、その絶対値は速さを示す。変化率についての課でこの読み方を展開する。

導関数とライプニッツの記法

$f$ が微分可能な各点は、一つの数、すなわちその点における微分係数を与える。それらすべてから新しい関数がつくられる。

定義導関数

$f$ を $A$ で定義された関数とする。 $f$ の導関数とは関数 $f'$ であって、各点 $x$ （ $A$ の点で $f$ が微分可能なもの）に数 $f'(x)$ を対応させるものである。その定義域はそれらの点の集合である。 $f$ が集合 $S$ （ $A$ に含まれるもの）のすべての点で微分可能であるとき、 $S$ で微分可能であるという。また、定義域全体で微分可能であるときは、単に微分可能であるという。

たとえば、 $x^2$ の導関数は関数 $2x$ であり、 $\mathbb{R}$ 全体で定義される。絶対値の導関数は値 $1$ （ $\ioo{0}{\infty}$ において）と $-1$ （ $\ioo{-\infty}{0}$ において）をとり、その定義域は $0$ を含まない。プライムを用いる記法 $f'$ はラグランジュによる。もう一つの通常の記法はライプニッツによる。 $y = f(x)$ のとき、導関数は $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ または $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ と書かれ、 $x$ についての微分の操作は、微分する式の前に $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ を置いて書く：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2\right) = 2x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(mx + b\right) = m

この記法は導関数の由来を思い出させる。 $\Delta x$ を変数の増分、 $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ を対応する関数の増分とすると、平均変化率は $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ であり、導関数はその極限である：

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

強調しておくと、今のところ $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ は一つの記号であって商ではない。 $\mathrm{d}y$ と $\mathrm{d}x$ はまだ単独では意味をもたず、意味をもつのは高階導関数と微分についての課においてである。この記法は、どの変数について微分するかを明示する。位置が時間に依存するならば、速度は $s'(t)$ または $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ と書かれる。

微分係数の三つの特徴づけ

定義は、平均変化率が $f'(a)$ に近づくことを述べている。同じことを言う方法はほかに二つあり、それぞれ別の目的に役立つ。第二のものは関数をその接線と比べ、第三のものは割り算を避ける。

定理微分係数の特徴づけ

$f$ を $A$ で定義された関数、 $a$ を $A$ の元で $A$ の集積点であるもの、 $L$ を実数とする。以下の三つの主張は同値である：

平均変化率。 $f$ は $a$ で微分可能で、 $f'(a) = L$ である。
一次近似。 $f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h)$ （ $h$ が $0$ に近づくとき）。すなわち、剰余 $R(h) = f(a + h) - f(a) - Lh$ が $\lim_{h \to 0} \frac{R(h)}{h} = 0$ を満たす。
カラテオドリ。関数 $\varphi \colon A \to \mathbb{R}$ であって、 $a$ で連続、 $\varphi(a) = L$ であり、 $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ がすべての $x$ （ $A$ の元）に対して成り立つものが存在する。

記号 $\operatorname{o}$ は同値な無限小と無限大についての課のものであり、 $f(a + h)$ はそれが定義されるところだけで考える。関数 $\varphi$ は割線の傾きを、 $a$ において微分係数で補ったものである。図は、 $f(x) = \frac{x^2 + 1}{2}$ と $a = 1$ の場合について、曲線と接線の間の剰余、一本の割線、そして最後に $\varphi$ のグラフを示す。この場合それは直線 $\varphi(x) = \frac{x + 1}{2}$ である。

証明

$\frac{R(h)}{h} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - L \to 0 \Leftrightarrow \resaltar{\frac{f(a + h) - f(a)}{h} \to L}$
第一と第二：剰余を $h$ で割った商は、平均変化率から $L$ を引いたものである。極限の演算法則についての課の、ゼロに近づく距離としての極限の補題により、この商が $0$ に近づくための必要十分条件は平均変化率が $L$ に近づくことであり、増分による表示により、これは $f'(a) = L$ と同値である。
$\varphi(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} & x \neq a \\ L & x = a \end{cases}, \qquad \lim_{x \to a} \varphi(x) = L = \resaltar{\varphi(a)}$
第一から第三へ： $\varphi$ を、 $a$ の外では平均変化率とし、値 $L$ （ $a$ における）をとるものとして定義する。等式はすべての $x \neq a$ で定義により成り立ち、 $x = a$ では両辺がともに $0$ となるので成り立つ。 $a$ は $A$ の集積点であり、 $\varphi$ の $a$ における極限は $L = \varphi(a)$ であるから、極限と連続性についての課の連続性と極限の命題により、 $\varphi$ は $a$ で連続である。
$x \neq a \rightarrow \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \varphi(x) \to \varphi(a) = \resaltar{L}$
第三から第一へ： $x \neq a$ ならば $x - a$ で割ると、平均変化率は $\varphi$ の $A \setminus \{a\}$ への制限である。 $\varphi$ は $a$ で連続であるから、同じ命題によって $\varphi(a) = L$ に近づき、極限の演算法則についての課の制限の極限の補題により、平均変化率も同じ値に近づく。

第三の特徴づけの関数 $\varphi$ は、存在すれば一意である。 $a$ の外では平均変化率であり、 $a$ における値はその平均変化率の極限である。第二の特徴づけは、接線がどのような意味で曲線に最もよく寄り添う直線であるかを説明する。 $f(a + h)$ を $f(a) + mh$ で置き換えると、ただし傾き $m$ は $f'(a)$ と異なるとすると、誤差は $(f'(a) - m)h + \operatorname{o}(h)$ であり、それを $h$ で割った商は $f'(a) - m \neq 0$ に近づく。誤差は $h$ と同位である。傾きが $f'(a)$ のときに限り、誤差は $h$ に比べて無視できる。第三の特徴づけには技術的な利点がある。それは割り算を含まない積どうしの等式である。微分法の公式と合成関数の微分法についての課では、零になりうる量で割らないためにこれを用いる。最初の帰結はただちに得られる。

定理微分可能ならば連続

$f$ が $a$ で微分可能ならば、 $f$ は $a$ で連続である。カラテオドリの分解は、 $f$ を、 $a$ で連続な関数どうしの演算で表す。

証明

$f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a)$
特徴づけの定理により、 $\varphi$ であって $a$ で連続なものが存在し、 $f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a)$ がすべての $x$ （ $A$ の元）に対して成り立つ。
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) + \varphi(a) \cdot 0 = \resaltar{f(a)}$
定数 $f(a)$ と多項式 $x - a$ は $a$ で連続であり、 $\varphi$ もそうである。極限と連続性についての課の連続関数の演算の定理により、定数と積の和は $a$ で連続である。

逆は成り立たない。連続性は $f(x) - f(a)$ が $0$ に近づくことを要求する。微分可能性はそれ以上を要求する。それを $x - a$ で割った商が極限をもつこと、すなわち $0$ に、少なくとも $x - a$ と同じ速さで近づき、異なる傾きの間で振動しないことである。

命題微分可能でない連続関数

絶対値と立方根は $0$ で連続であり、 $0$ で微分可能ではない。前者は片側微分係数が異なり、後者の平均変化率は $\infty$ に発散するので、そのグラフは原点で鉛直な接線をもつ。両者が連続であることは、極限と連続性についての課のよく知られた連続関数の系による。図は、絶対値では二つの片側の傾きを、立方根ではしだいに急になる割線を示す。

証明

$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\abs{x}}{x} = 1 \neq -1 = \lim_{x \to 0^-} \frac{\abs{x}}{x} = \resaltar{f'_-(0)}$
絶対値の $0$ における平均変化率は、右側で $1$ 、左側で $-1$ である。片側微分係数が異なるので、微分係数と片側微分係数の命題により、 $\abs{x}$ は $0$ で微分可能ではない。
$\frac{\sqrt[3]{x} - 0}{x - 0} = \frac{1}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2} \to \resaltar{\infty}$
立方根の $0$ における平均変化率は $\left(\sqrt[3]{x}\right)^2$ の逆数であり、これは $x \neq 0$ のとき正で、根の連続性により $0$ に近づく。無限大の極限についての課の逆数の補題により、平均変化率は $\infty$ に発散し、実数の極限をもたない。

この二つの関数がうまくいかないのは一点だけだが、数直線全体で連続でありながらどの点でも微分可能でない関数が存在する。ワイエルシュトラスは 1872 年に最も有名な例を示したが、その構成はこの講座の範囲を超える。

例題

問題は難しさの順に並んでいる。最初の問題は定義域の端で存在しなくなる微分係数を計算する。二番目は接線を用いて双曲線の性質を見いだす。三番目は片側微分係数が存在しないことがありうることを示す。四番目は関数がただ一点でだけ微分可能でありうることを示す。最後の問題はカラテオドリの分解と片側微分係数を組み合わせる。

例題 1定義域の端における平方根

$f(x) = \sqrt{x}$ （ $\ico{0}{\infty}$ で定義されたもの）の微分可能性を調べ、横座標が $4$ の点における接線を求めよ。

解答

$\frac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h} = \frac{(a + h) - a}{\left(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\right) h} = \frac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}}$
$a > 0$ のとき、平均変化率は $\frac{0}{0}$ の不定形である。共役な式を掛けて割る。
$f'(a) = \resaltar{\frac{1}{2\sqrt{a}}}, \qquad y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$
根の連続性により分母は $2\sqrt{a} \neq 0$ に近づき、極限の演算法則についての課の逆数の極限の定理により、平均変化率は $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ に近づく。 $a = 4$ において微分係数は $\frac{1}{4}$ であり、接線は $(4, 2)$ を通る。
$\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = \resaltar{\infty}$
$a = 0$ では定義域の点は右側にしかなく、微分係数と片側微分係数の命題により、微分係数は右側微分係数である。平均変化率は $\frac{1}{\sqrt{h}}$ であり、 $\sqrt{h}$ は正で $0$ に近づくので、逆数の補題により $\infty$ となる。
$f \colon \ico{0}{\infty} \to \mathbb{R}, \qquad f' \colon \resaltar{\ioo{0}{\infty}} \to \mathbb{R}$
したがって、 $\sqrt{x}$ は $\ioo{0}{\infty}$ で微分可能であり、 $0$ では微分可能でない。そこでは関数は連続であり、そのグラフは鉛直な接線 $x = 0$ をもつ。導関数の定義域は、もとの関数の定義域より小さい。

例題 2双曲線の接線

$y = \frac{1}{x}$ の点 $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ （ただし $a > 0$ ）における接線が座標軸とともに面積 $2$ の三角形をつくり、この面積は $a$ によらないこと、さらに接点が、座標軸が接線から切り取る線分の中点であることを証明せよ。

解答

$\frac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h} = \frac{-h}{a(a + h) \, h} = -\frac{1}{a(a + h)} \to \resaltar{-\frac{1}{a^2}}$
分数の引き算によって平均変化率は簡単になる。逆数の極限の定理により、その極限は $-\frac{1}{a^2}$ である。
$y = \frac{1}{a} - \frac{1}{a^2}(x - a) = \resaltar{\frac{2}{a} - \frac{x}{a^2}}$
接線は $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ をこの傾きで通る。
$\dato{c}{(2a, 0), \quad \left(0, \frac{2}{a}\right)}, \qquad \left(\frac{2a + 0}{2}, \frac{0 + \frac{2}{a}}{2}\right) = \resaltar{\left(a, \frac{1}{a}\right)}$
$y = 0$ とおくと水平な軸との交点が、 $x = 0$ とおくと鉛直な軸との交点が得られる。両者の中点が接点である。
$\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{2}{a} = \resaltar{2}$
三角形の直角をはさむ辺は $2a$ と $\frac{2}{a}$ で、座標軸上にある。その面積は $a$ によらない。図はそのような三角形を二つ示しており、形は異なるが面積は等しい。

例題 3連続で片側微分係数をもたない

$f(x) = x \sin \frac{1}{x}$ 、 $g(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$ （ $x \neq 0$ のとき）、 $f(0) = g(0) = 0$ とする。 $f$ は $0$ で連続であるが、 $0$ で微分係数も片側微分係数ももたないこと、そして $g$ は $0$ で微分可能で $g'(0) = 0$ であることを証明せよ。

解答

$\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x \sin \frac{1}{x}}{x} = \resaltar{\sin \frac{1}{x}}$
極限と連続性についての課の例題 3 により、 $f$ は $0$ で連続である。 $0$ におけるその平均変化率は $\sin \frac{1}{x}$ である。
$\sin \frac{1}{x_n} = 1, \quad \sin \frac{1}{y_n} = -1, \qquad x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}, \quad y_n = \frac{1}{\frac{3\pi}{2} + 2n\pi}$
極限についての課の練習問題 3 では、 $\sin \frac{1}{x}$ が $0$ で極限をもたないことを、正の点の二つの族を用いて示した。そこでの値は $1$ と $-1$ である。同じ議論で右側極限が否定される。符号を反対にした点（そこでの値は $-1$ と $1$ ）を用いると、左側極限が否定される。
$\frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = x \sin \frac{1}{x} \to 0, \qquad g'(0) = \resaltar{0}$
これに対し、 $g$ の平均変化率は $x \sin \frac{1}{x}$ であり、有界な関数と $0$ に近づく関数の積である。はさみうちの原理についての課の定理により、それは $0$ に近づく。
$\abs{g(x)} \leq x^2 = \resaltar{\operatorname{o}(x)}$
二つの関数は $0$ の近くで限りなく振動を繰り返す。 $f$ の振動は $\abs{x}$ で押さえられ、これは分母 $x - 0$ と同位なので、平均変化率は振動し続ける。 $g$ の振動は $x^2$ で押さえられ、これは $x$ に比べて無視できるので、平均変化率は消えていく。

例題 4ただ一点で微分可能

$f$ を、値 $x^2$ （ $x$ が有理数のとき）と $0$ （ $x$ が無理数のとき）をとる関数とする。 $f$ は $0$ で微分可能で $f'(0) = 0$ であり、それ以外のどの点でも微分可能でないことを証明せよ。

解答

$x \in \mathbb{Q} \rightarrow x \, g(x) = x^2, \qquad x \notin \mathbb{Q} \rightarrow x \, g(x) = 0$
$g$ を、極限と連続性についての課の例題 5 の関数、すなわち有理数で $x$ 、無理数で $0$ をとる関数とする。すると $f(x) = x \, g(x)$ がすべての $x$ に対して、どちらの場合にも成り立つ。
$\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x \, g(x)}{x} = g(x) \to g(0) = 0, \qquad f'(0) = \resaltar{0}$
$0$ において平均変化率は $g(x)$ であり、これは $g(0) = 0$ に近づく。その問題で $g$ が $0$ で連続であることが示されたからである。
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \rightarrow \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x} = \frac{f(a)}{a} = \resaltar{g(a)}$
$a \neq 0$ とする。もし $f$ が $a$ で連続ならば、 $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ も連続になる（連続関数の演算の商の法則による。分母は $a$ で零でない）。しかし同じ問題で $g$ は $a$ で不連続であることが示された。したがって $f$ は $a$ で不連続であり、微分可能ならば連続という定理により、 $a$ で微分可能ではない。

例題 5微分可能な関数の絶対値

$f$ を、 $a$ を含む開区間で定義され、 $a$ で微分可能で、 $f(a) = 0$ を満たす関数とする。 $F = \abs{f}$ は $a$ で片側微分係数 $\abs{f'(a)}$ と $-\abs{f'(a)}$ をもち、したがって $a$ で微分可能であるための必要十分条件は $f'(a) = 0$ であることを証明せよ。これを $\abs{\sin x}$ と $\abs{x^3}$ に $0$ で適用せよ。

解答

$\frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \frac{\abs{f(x)} - \abs{f(a)}}{x - a} = \frac{\abs{\varphi(x)}\abs{x - a}}{x - a} = \begin{cases} \abs{\varphi(x)} & x > a \\ -\abs{\varphi(x)} & x < a \end{cases}$
カラテオドリの特徴づけにより $f(x) = \varphi(x)(x - a)$ であり、 $\varphi$ は $a$ で連続で $\varphi(a) = f'(a)$ である。絶対値をとると、因子 $\abs{x - a}$ は右側で $x - a$ 、左側で $a - x$ である。
$F'_+(a) = \abs{f'(a)}, \qquad F'_-(a) = -\abs{f'(a)}, \qquad \abs{f'(a)} = -\abs{f'(a)} \Leftrightarrow \resaltar{f'(a) = 0}$
関数 $\abs{\varphi}$ は連続関数の合成により $a$ で連続であり、 $\abs{f'(a)}$ に近づく。微分係数と片側微分係数の命題により、 $F$ が $a$ で微分可能であるための必要十分条件は、二つの片側微分係数が一致すること、すなわち $\abs{f'(a)} = -\abs{f'(a)}$ である。
$\frac{\sin x}{x} \to 1 \neq 0, \qquad \frac{x^3}{x} = x^2 \to \resaltar{0}$
正弦は $\sin 0 = 0$ を満たし、 $0$ におけるその平均変化率は $\frac{\sin x}{x}$ であって、三角関数の基本的な極限により $1$ に近づく。 $\abs{\sin x}$ は $0$ で片側微分係数 $1$ と $-1$ をもち、微分可能ではない。立方関数の $0$ における平均変化率は $x^2$ であり、 $0$ に近づく。 $\abs{x^3}$ は $0$ で微分可能で、微分係数は $0$ である。

練習問題

問題は難しさの順に並んでいる。最初の問題は円と球の幾何で導関数を読み取る。二番目は与えられた点を通る法線を探す。三番目は関数が跳ぶところでも片側微分係数が存在しうることを示す。四番目は微分係数から得られる接線を円の接線と比べる。最後の問題は、導関数に似ているがそうではない商を調べる。どの問題にもヒントがあり、自分で試みた後にだけ開くのがよい。

演習問題 1円の面積と球の体積

$A(r) = \pi r^2$ を半径 $r$ の円の面積、 $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$ を半径 $r$ の球の体積とする。定義を用いて $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r}$ と $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}$ を計算し、それぞれの結果が何であるかを見きわめよ。

ヒント

$(r + h)^2$ と $(r + h)^3$ を展開し、極限をとる前に平均変化率を簡単にせよ。面積の増分は幅 $h$ の円環の面積である。

答え

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r, \qquad \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2

それらは円周の長さと球面の面積である。

演習問題 2一点を通る法線

放物線 $y = x^2$ 上の点で、その法線が点 $(0, 1)$ を通るものをすべて求め、それらの法線を書け。

ヒント

$(a, a^2)$ における法線の傾きは $-\frac{1}{2a}$ である（ $a \neq 0$ のとき）。それが $(0, 1)$ を通るという条件を課せ。 $a = 0$ の場合を忘れないこと。このとき微分係数は零になり、法線は鉛直である。

答え

三点： $(0, 0)$ で法線は $x = 0$ 、および $\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ で法線は $y = 1 \mp \frac{x}{\sqrt{2}}$ 。

演習問題 3整数部分の片側微分係数

整数部分 $E(x) = \lfloor x \rfloor$ は整数でないすべての実数で微分可能で微分係数は $0$ であり、各整数 $n$ において右側微分係数 $0$ をもつが、左側微分係数をもたないことを証明せよ。これは微分可能ならば連続という定理に矛盾するか。

ヒント

整数 $n$ において、関数は右側で $n$ 、左側で $n - 1$ である。平均変化率は右側で $0$ 、左側で $\frac{-1}{x - n}$ である。最後の問いについては、定理の仮定と $n$ で起こることを比べよ。

答え

E'(x) = 0 \quad (x \notin \mathbb{Z}), \qquad E'_+(n) = 0, \qquad \lim_{x \to n^-} \frac{E(x) - E(n)}{x - n} = \infty

矛盾はない。関数は $n$ で微分可能ではない。右側微分係数から得られるのは右側連続性だけであり（定理を $E$ の $\ico{n}{\infty}$ への制限に適用する）、それは成り立っている。

演習問題 4円の接線

$f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ を、中心 $(0, 0)$ 、半径 $1$ の上半円とする。 $f'(a)$ （ただし $-1 < a < 1$ ）を計算し、接線が原点と $(a, f(a))$ を結ぶ半径に垂直であることを、円についての課と同様に証明し、 $a = \pm 1$ で何が起こるかを調べよ。

ヒント

平均変化率に $\sqrt{1 - (a + h)^2} + \sqrt{1 - a^2}$ を掛けて割れ。 $a \neq 0$ ならば半径の傾きは $\frac{f(a)}{a}$ であり、 $a = 0$ ならば半径は鉛直である。 $a = 1$ では定義域の点は左側にしかない。

答え

f'(a) = -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}, \qquad -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}} \cdot \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a} = -1 \quad (a \neq 0)

$a = 0$ では、接線は水平で半径は鉛直である。 $a = 1$ では平均変化率は $-\infty$ に発散し、 $a = -1$ では $\infty$ に発散する。 $f$ は $\pm 1$ で微分可能でなく、そのグラフはそこで鉛直な接線をもつ。

演習問題 5対称な平均変化率

$f$ を $a$ を含む開区間で定義された関数とする。 $f$ が $a$ で微分可能ならば $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a)$ であることを証明せよ。 $f(x) = \abs{x}$ の $a = 0$ における場合について、 $f$ が微分可能でなくてもこの極限が存在しうることを証明せよ。

ヒント

$h$ と $-h$ について一次近似を書き、引き算せよ。剰余から $\operatorname{o}(h)$ が得られる。絶対値では、分子は $\abs{h} - \abs{-h}$ である。

答え

\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a) + \frac{R(h) - R(-h)}{2h} \to f'(a), \qquad \frac{\abs{h} - \abs{-h}}{2h} = 0

絶対値の対称な平均変化率は $0$ （ $0$ において）であり、そこで微分可能ではない。

詳しい解答

解答

$f(a + h) = f(a) + f'(a)h + R(h), \qquad f(a - h) = f(a) - f'(a)h + R(-h)$
一次近似により、 $L = f'(a)$ とすると、剰余 $R$ は $\frac{R(h)}{h} \to 0$ を満たす。 $h$ を $-h$ に置き換えると、合成関数の極限の定理により、 $\frac{R(-h)}{-h} \to 0$ も成り立つ。
$\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a) + \frac{1}{2} \cdot \frac{R(h)}{h} + \frac{1}{2} \cdot \frac{R(-h)}{-h} \to \resaltar{f'(a)}$
二つの等式を引き、 $2h$ で割る。一次結合の極限の定理により、剰余の二つの商はどちらも $0$ を与える。
$\frac{\abs{h} - \abs{-h}}{2h} = \resaltar{0}, \qquad f'_+(0) = 1 \neq -1 = f'_-(0)$
絶対値の $0$ における場合、分子はすべての $h$ に対して零であり、対称な平均変化率は $0$ に近づく。しかし片側微分係数は $1$ と $-1$ である。対称な平均変化率は二つの片側の傾きを平均して、角を隠してしまう。