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Topos Uranos
日本語

外積とスカラー三重積

要約

この課では、空間の二つのベクトルの外積を成分によって、ベクトル i⃗\vec{i}、j⃗\vec{j}、k⃗\vec{k} を含む形式的な行列式として定義し、行列式の性質を用いて、外積が反交換的かつ双線形であるが結合的ではないことを証明する。外積が二つの因子のどちらにも垂直であること、ラグランジュの恒等式、そしてそこから、外積の大きさが因子の定める平行四辺形の面積に等しく、因子が平行であるときに限り外積が零になることを証明する。ベクトル三重積の公式とヤコビ恒等式を確立し、スカラー三重積を三次の行列式として定義して、その巡回性を証明し、それを平行六面体と四面体の体積として解釈する。あわせて、同一平面上にある条件と、内積による体積の表し方を示す。右手の法則のうちどの部分が証明され、どの部分が約束であるかを正確に述べ、外積が二つの純四元数の積のベクトル部分であることを示し、外積を力のモーメント、運動する電荷にはたらく磁気力、空間の三角形の面積、コンピュータグラフィックスの法線に応用する。

学習目標

  1. 外積とスカラー三重積を成分と行列式によって計算し、反交換性、双線形性、巡回性、ベクトル三重積の公式を用いてそれらを計算処理すること。
  2. 外積の垂直性、ラグランジュの恒等式、平行条件、ベクトル三重積の公式、同一平面上にある条件を証明すること。
  3. 空間の平行四辺形と三角形の面積、平行六面体と四面体の体積を計算し、四つの点が同一平面上にあるかどうかを判定すること。
  4. 右手の法則のうち証明されることと約束されることを区別し、力のモーメント、磁気力、コンピュータグラフィックスにおける曲面の向きを外積によってモデル化すること。

外積

空間のベクトルと内積の課では、R3\mathbb{R}^3 のベクトルを 3 つ組 u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right) として書き、内積 u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 によって長さと角を測り、垂直かどうかを判定し、あるベクトルを別のベクトルに射影することができた。二つのベクトルの内積は数である。しかし、空間の多くの問題はベクトルを求める。平らな面に垂直な方向、力が物体を回転させる軸、磁場が電荷をそらす方向などである。平面では、各方向に垂直な方向はただ一つである。空間では、一つの方向に垂直な直線は平面全体を埋めつくし、共通の垂線を定めるには平行でない二つの方向が必要になる。そうであれば、自然な問いは次のとおりである。二つのベクトル u⃗\vec{u} と v⃗\vec{v} が与えられたとき、どのベクトル x⃗=(x1,x2,x3)\vec{x} = \left( x_1, x_2, x_3 \right) が u⃗⋅x⃗=0\vec{u} \cdot \vec{x} = 0 と v⃗⋅x⃗=0\vec{v} \cdot \vec{x} = 0 を満たすか。

これは三つの未知数をもつ二つの一次方程式である。一つめの式 u1x1+u2x2+u3x3=0u_1 x_1 + u_2 x_2 + u_3 x_3 = 0 に v1v_1 を掛け、二つめの式に u1u_1 を掛けて引くと、x1x_1 が消えて (u2v1−u1v2)x2+(u3v1−u1v3)x3=0\left( u_2 v_1 - u_1 v_2 \right) x_2 + \left( u_3 v_1 - u_1 v_3 \right) x_3 = 0 が残り、これは x2=u3v1−u1v3x_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3、x3=u1v2−u2v1x_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1 のとき成り立つ。ほかの未知数についても同様に考えると x1=u2v3−u3v2x_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2 が現れる。三つの式はいずれも u⃗\vec{u} と v⃗\vec{v} の成分からつくった二次の行列式であり、行列式の課に出てきたものと同じ形をしている。この探索が定義を示唆する。外積の幾何についての節で、こうしてつくったベクトルが実際に二つの因子のどちらにも垂直であることを証明する。

u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right) と v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) を R3\mathbb{R}^3 のベクトルとする。それらの外積とは、ベクトル u⃗×v⃗=(u2v3−u3v2,u3v1−u1v3,u1v2−u2v1)\vec{u} \times \vec{v} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1 \right) のことである。

この定義には覚えておくとよい規則性がある。各成分は、その手前の成分から添字を巡回的にずらして得られる。1→2→3→11 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1 である。第 1 成分は u2v3−u3v2u_2 v_3 - u_3 v_2 であり、各添字に 11 を加え、3+13 + 1 を 11 とみなすと u3v1−u1v3u_3 v_1 - u_1 v_3 が得られ、これが第 2 成分である。もう一度くり返すと第 3 成分が得られる。暗記して書くには、標準基底のベクトル i⃗=(1,0,0)\vec{i} = \left( 1, 0, 0 \right)、j⃗=(0,1,0)\vec{j} = \left( 0, 1, 0 \right)、k⃗=(0,0,1)\vec{k} = \left( 0, 0, 1 \right) を用いる。これらによってどのベクトルも u⃗=u1i⃗+u2j⃗+u3k⃗\vec{u} = u_1 \vec{i} + u_2 \vec{j} + u_3 \vec{k} と書ける。そして形式的な行列式を用いる。これは三次の表で、第 1 行にベクトル i⃗\vec{i}、j⃗\vec{j}、k⃗\vec{k} を含み、行列式の課と同じようにこの行に沿って展開するものである。

u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗u1u2u3v1v2v3∣=∣u2u3v2v3∣i⃗−∣u1u3v1v3∣j⃗+∣u1u2v1v2∣k⃗\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \vec{k}

この行列式が形式的であるのは、その成分がすべて数であるわけではないからであり、行列式の性質はどれもこれに適用しない。これは第 1 行に沿った展開の公式をまとめて書いたものにすぎない。第 2 項の負号が第 2 成分を再現するのは、−(u1v3−u3v1)=u3v1−u1v3-\left( u_1 v_3 - u_3 v_1 \right) = u_3 v_1 - u_1 v_3 だからである。これに対して、各成分は本物の二次の行列式であり、行列（行は u⃗\vec{u} と v⃗\vec{v}）の二つの列からつくられる。外積の代数的性質はこの観察に基づいている。

例外積の計算と標準基底どうしの積

u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} を求めよ。ただし u⃗=(2,1,0)\vec{u} = \left( 2, 1, 0 \right)、v⃗=(0,2,1)\vec{v} = \left( 0, 2, 1 \right) とする。また、標準基底のベクトルどうしの積を求めよ。

証明

  1. ∣u2u3v2v3∣=∣1021∣=1⋅1−0⋅2=1\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{1 \cdot 1 - 0 \cdot 2} = \dato{c1}{1}

    第 1 成分：第 1 成分の列を取り除き、残った二次の行列式を計算する。

  2. −∣u1u3v1v3∣=−∣2001∣=−(2−0)=−2-\begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-\left( 2 - 0 \right)} = \dato{c2}{-2}

    第 2 成分：中央の列を取り除き、行列式の符号を変える。

  3. ∣u1u2v1v2∣=∣2102∣=4−0=4\begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{4 - 0} = \dato{c3}{4}

    第 3 成分：最後の列を取り除く。

  4. u⃗×v⃗=(1,−2,4)\vec{u} \times \vec{v} = \resaltar{\left( 1, -2, 4 \right)}

    三つの成分をまとめる。図は三つのベクトルを共通の始点から描いている。u⃗\vec{u} は水平面内にあり、u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} は上を向いている。

  5. i⃗×j⃗=k⃗,j⃗×k⃗=i⃗,k⃗×i⃗=j⃗,j⃗×i⃗=−k⃗\vec{i} \times \vec{j} = \resaltar{\vec{k}}, \quad \vec{j} \times \vec{k} = \resaltar{\vec{i}}, \quad \vec{k} \times \vec{i} = \resaltar{\vec{j}}, \qquad \vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}

    定義により i⃗×j⃗=(0⋅0−0⋅1,0⋅0−1⋅0,1⋅1−0⋅0)=(0,0,1)\vec{i} \times \vec{j} = \left( 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \right) = \left( 0, 0, 1 \right) であり、ほかの組についても同様である。基底の各ベクトルに、巡回順序 i⃗\vec{i}、j⃗\vec{j}、k⃗\vec{k} でそのあとに続くベクトルを掛けると、残りの一つが得られる。逆の順序では、その逆ベクトルが得られる。

代数的性質

外積の性質はその成分から読みとれる。成分をつくる三つの二次の行列式を D1D_1、D2D_2、D3D_3 と名づけ、列は巡回順序に並べる。D1D_1 は行列（行は u⃗\vec{u} と v⃗\vec{v}）の第 2 列と第 3 列を用い、D2D_2 は第 3 列と第 1 列をこの順に用い、D3D_3 は第 1 列と第 2 列を用いる。

u⃗×v⃗=(∣u2u3v2v3∣,∣u3u1v3v1∣,∣u1u2v1v2∣)\vec{u} \times \vec{v} = \left( \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_3 & u_1 \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \right)
定理外積の代数的性質

すべてのベクトル u⃗\vec{u}、v⃗\vec{v}、w⃗\vec{w}（R3\mathbb{R}^3 の元）とすべての実数 ss、tt について、外積は反交換的であり v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}、双線形、すなわち各因子について線形であって (su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v}、v⃗×(su⃗+tw⃗)=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}、さらに u⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0} である。

三つの性質は、三つの成分のそれぞれに二次の行列式の性質を適用することに帰着する。用いるのは、行列式の課ですべての次数について証明した、二つの行の入れ替えの補題と、各行に関する線形性の補題である。図は例「外積の計算と標準基底どうしの積」を引き継ぐ。

証明

  1. (u⃗×v⃗)1=∣u2u3v2v3∣,(u⃗×v⃗)2=∣u3u1v3v1∣,(u⃗×v⃗)3=∣u1u2v1v2∣\left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_2 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_3} & \resaltar{u_1} \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_3 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_1} & \resaltar{u_2} \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}

    各成分 DmD_m は二次の行列の行列式であり、その第 1 行は u⃗\vec{u} から、第 2 行は v⃗\vec{v} からとったもので、二つの列は共通である。

  2. (v⃗×u⃗)1=∣v2v3u2u3∣=−∣u2u3v2v3∣→v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\left( \vec{v} \times \vec{u} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{v_2} & \resaltar{v_3} \\ \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{a}{\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}}

    u⃗\vec{u} と v⃗\vec{v} を入れ替えると、各行列式の二つの行が入れ替わり、入れ替えの補題により各成分の符号が変わる。図では、v⃗×u⃗=(−1,2,−4)\vec{v} \times \vec{u} = \left( -1, 2, -4 \right) は下を向いている。

  3. ∣su2+tw2su3+tw3v2v3∣=s∣u2u3v2v3∣+t∣w2w3v2v3∣→(su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\begin{vmatrix} \resaltar{s u_2 + t w_2} & \resaltar{s u_3 + t w_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = s \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} + t \begin{vmatrix} w_2 & w_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{l}{\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v}}

    第 1 因子が su⃗+tw⃗s \vec{u} + t \vec{w} であれば、各行列式の第 1 行は、ss に u⃗\vec{u} からとった行を掛けたものと、tt に w⃗\vec{w} からとった行を掛けたものとの和である。線形性の補題により、各成分も同じように分解される。

  4. v⃗×(su⃗+tw⃗)=−(su⃗+tw⃗)×v⃗=−s u⃗×v⃗−t w⃗×v⃗=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = \resaltar{-\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v}} = -s \, \vec{u} \times \vec{v} - t \, \vec{w} \times \vec{v} = \resaltar{s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}}

    第 2 因子についての線形性は、すでに示した二つの性質から導かれる。順序を入れ替え、第 1 因子についての線形性を適用し、ふたたび順序を入れ替えればよい。

  5. u⃗×u⃗=(u2u3−u3u2,u3u1−u1u3,u1u2−u2u1)=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \left( \resaltar{u_2 u_3 - u_3 u_2}, \resaltar{u_3 u_1 - u_1 u_3}, \resaltar{u_1 u_2 - u_2 u_1} \right) = \vec{0}

    二つの因子が一致すれば、各行列式は等しい二つの行をもつので零である。とくに i⃗×i⃗=j⃗×j⃗=k⃗×k⃗=0⃗\vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0} である。

双線形性により、外積は和の積のように分配して計算することもでき、そのとき標準基底どうしの積を用いる。たとえば (i⃗+2j⃗)×(3k⃗)=3 i⃗×k⃗+6 j⃗×k⃗=−3j⃗+6i⃗\left( \vec{i} + 2 \vec{j} \right) \times \left( 3 \vec{k} \right) = 3 \, \vec{i} \times \vec{k} + 6 \, \vec{j} \times \vec{k} = -3 \vec{j} + 6 \vec{i} である。反交換性は、行列の積と同様に因子の順序が重要であることを示しているが、その仕方はきわめて特殊で、順序を逆にしても符号が変わるだけである。

例外積は結合的ではない

(i⃗×i⃗)×j⃗\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} と i⃗×(i⃗×j⃗)\vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right) を比べよ。

証明

  1. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗×j⃗=0⃗\left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{i}} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \times \vec{j} = \dato{p}{\vec{0}}

    定理により、ベクトルとそれ自身との積は零であり、双線形性により、零ベクトルとほかのどんなベクトルとの積も零である。

  2. i⃗×(i⃗×j⃗)=i⃗×k⃗\vec{i} \times \left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{j}} \right) = \vec{i} \times \resaltar{\vec{k}}

    もう一方のかっこのつけ方では、かっこの中の積は標準基底の例により k⃗\vec{k} である。

  3. i⃗×k⃗=−k⃗×i⃗=−j⃗\vec{i} \times \vec{k} = \resaltar{-\vec{k} \times \vec{i}} = \dato{q}{-\vec{j}}

    反交換性により、i⃗×k⃗\vec{i} \times \vec{k} は k⃗×i⃗=j⃗\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j} の逆ベクトルである。

  4. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗≠−j⃗=i⃗×(i⃗×j⃗)\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \neq \resaltar{-\vec{j}} = \vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right)

    二つの結果は異なる。外積は結合的ではなく、u⃗×v⃗×w⃗\vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w} のようにかっこのない式には意味がない。

単位元も存在しない。どのベクトル e⃗\vec{e} も、e⃗×u⃗=u⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{u} をすべての u⃗\vec{u} について満たすことはない。なぜなら e⃗×e⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{e} = \vec{0} から e⃗=0⃗\vec{e} = \vec{0} が導かれ、そうすると e⃗×u⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{0} がすべての u⃗\vec{u} について成り立つからである。したがって外積は、分配法則を除けば、数の積の性質を一つももたない。ベクトル三重積についての節で、結合法則に代わる正確な規則が得られる。