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Topos Uranos
日本語

ロピタルの定理

要約

この課ではロピタルの定理を証明する。ff と gg が 00 に近づくか、または gg が無限大に発散し、それらの導関数の比が極限をもつならば、商 fg\frac{f}{g} は同じ極限をもつ。証明では、前の課のコーシーの平均値の定理を、一方の端点が固定され他方が動く区間に適用する。分母が無限大に発散する場合にはより精密な議論が必要になるが、その議論は分子に何も要求しない。この定理は点の片側でも、点そのものでも、無限遠でも成り立ち、何回か続けて適用できる。こうして f(x)−f(a)(x−a)n\frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^n} の極限が計算できる（ただし ff の最初のいくつかの導関数が aa で零になるとき）。不定形 0⋅∞0 \cdot \infty、∞−∞\infty - \infty、1∞1^\infty、000^0、∞0\infty^0 は商に帰着される。この課ではさらに、定理が使えない場合や定理では判定できない場合、導関数の計算に用いた極限にこの定理が使えない理由、そして同値な無限小との組み合わせ方を示す。

学習目標

  1. コーシーの平均値の定理から出発して、00\frac{0}{0} 型と ∞∞\frac{\infty}{\infty} 型の不定形に対するロピタルの定理を、点の片側、点そのもの、無限遠の場合に証明する。
  2. 不定形を商に帰着させて極限を計算し、定理を何回か適用して、適用のたびにその仮定を確かめる。
  3. 定理が使えない場合と定理では判定できない場合を見分ける。不定形でない極限、極限をもたない導関数の比、点の近くで零になる分母の導関数、そして導関数の計算が前提とする極限である。
  4. この定理を同値な無限小や極限の演算法則と組み合わせ、それぞれの場合に最短の道を選ぶ。

零分の零型の不定形

極限の演算法則の課の、商の極限の系は、分母の極限が零でないことを要求する。分子と分母がともに 00 に近づくとき、商はどんな数にも、無限大にも近づきうるし、極限をもたないこともある。3xx\frac{3x}{x} は 33 に近づき、x2x\frac{x^2}{x} は 00 に近づき、xsin⁡1xx\frac{x \sin \frac{1}{x}}{x} は 00 で極限をもたない。そのため 00\frac{0}{0} を不定形という。各項の極限は商の極限を決めないのである。同値な無限小の課では、各因数を表にある同値なもので置き換えて、こうした極限の多くを求めた。しかし x−sin⁡xx - \sin x のような差は表の因数の積ではなく、その項は置き換えられない。

導関数は別の道を示す。f(a)=g(a)=0f(a) = g(a) = 0 であり、ff と gg が aa で微分可能であり、g′(a)≠0g'(a) \neq 0 であるならば、分子と分母を x−ax - a で割ると商は平均変化率どうしの商になり、商の極限の系から以下が得られる：

f(x)g(x)=f(x)−f(a)x−ag(x)−g(a)x−a→f′(a)g′(a)\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}{\frac{g(x) - g(a)}{x - a}} \to \frac{f'(a)}{g'(a)}

しかし g′(a)g'(a) も零であることが多く、また ff と gg が aa で定義されていないこともある。ロピタルの定理は、aa での導関数の値を、aa の近くでのそれらの比の極限で置き換える。道具は、フェルマー・ロル・ラグランジュ・コーシーの定理の課のコーシーの平均値の定理である。ff と gg が [a,b]\icc{a}{b} で連続（a<ba < b）で、(a,b)\ioo{a}{b} の各点で微分可能であり、g′(x)≠0g'(x) \neq 0 がすべての xx（(a,b)\ioo{a}{b} の点）について成り立つならば、g(b)≠g(a)g(b) \neq g(a) であり、cc（(a,b)\ioo{a}{b} の点）が存在して f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(c)g′(c)\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} となる。ラグランジュの平均値の定理を二回適用すると二つの異なる点が得られるのに対し、コーシーの定理は分子と分母に同じ一つの点を与える。

定理零分の零型の不定形に対するロピタルの定理

a<ba < b とし、ff と gg を (a,b)\ioo{a}{b} の各点で微分可能な関数とし、g′(x)≠0g'(x) \neq 0 がすべての xx（(a,b)\ioo{a}{b} の点）について成り立つとする。f(x)f(x) と g(x)g(x) が 00 に近づき（x→a+x \to a^+ のとき）、さらに

lim⁡x→a+f′(x)g′(x)=L\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L

ここで LL は実数、∞\infty または −∞-\infty である。このとき g(x)≠0g(x) \neq 0 がすべての xx（(a,b)\ioo{a}{b} の点）について成り立ち、さらに

lim⁡x→a+f(x)g(x)=L\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = L

ff と gg を値 00 で補い（aa において）、コーシーの定理を [a,x]\icc{a}{x} で適用する。商 f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} は増分の比であり、aa と xx の間のある点での導関数の比に等しい。図は、f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x、g(x)=ex−1g(x) = e^x - 1、a=0a = 0 として、点 (g(t),f(t))\left(g(t), f(t)\right) を示している。商 f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} は原点と xx に対応する点とを結ぶ弦の傾きであり、cc での導関数の比は平行な接線の傾きである。

証明

  1. F(a)=G(a)=0,F′(t)=f′(t),G′(t)=g′(t)≠0,a<t<xF(a) = G(a) = 0, \qquad F'(t) = f'(t), \quad G'(t) = g'(t) \neq 0, \qquad a < t < x

    FF と GG を、それぞれ ff と gg に等しく（(a,b)\ioo{a}{b} において）、00 に等しい（aa において）関数とする。xx を (a,b)\ioo{a}{b} の点とする。二つとも [a,x]\icc{a}{x} で連続である。aa では右側極限が 00 だからであり、その他の点では、極限としての導関数の課の、微分可能ならば連続という定理による。(a,x)\ioo{a}{x} の各点では微分可能で、導関数は ff と gg の導関数である。これは微分法の公式の課の、微分係数の局所性の補題による。

  2. f(x)g(x)=F(x)−F(a)G(x)−G(a)=f′(c)g′(c),a<c<x\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{F(x) - F(a)}{G(x) - G(a)} = \dato{c}{\frac{f'(c)}{g'(c)}}, \qquad a < c < x

    コーシーの平均値の定理（[a,x]\icc{a}{x} において）により G(x)≠G(a)G(x) \neq G(a)、すなわち g(x)≠0g(x) \neq 0 であり、cc（aa と xx の間）が存在して、増分の比は cc での導関数の比に等しい。

  3. a<x<a+δ→∣f(x)g(x)−L∣=∣f′(c)g′(c)−L∣<εa < x < a + \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x)}{g(x)} - L} = \abs{\frac{f'(c)}{g'(c)} - L} < \resaltar{\varepsilon}

    LL を実数とし、ε>0\varepsilon > 0 とする。片側極限の課の右側極限の定義により、δ>0\delta > 0（b−ab - a 以下にとれる）が存在して、∣f′(t)g′(t)−L∣<ε\abs{\frac{f'(t)}{g'(t)} - L} < \varepsilon（ただし a<t<a+δa < t < a + \delta）となる。a<x<a+δa < x < a + \delta ならば、上で得た点 cc は a<c<x<a+δa < c < x < a + \delta を満たす。L=∞L = \infty ならば、挑戦 NN について同じ議論から f(x)g(x)>N\frac{f(x)}{g(x)} > N が得られ、L=−∞L = -\infty ならば f(x)g(x)<N\frac{f(x)}{g(x)} < N が得られる。

cc が xx にどう依存するかも、一意であるかどうかも知る必要はない。aa と xx の間にあれば十分である。仮定 g′≠0g' \neq 0 は区間 (a,b)\ioo{a}{b} 全体で要求される。コーシーの定理はそれを各 [a,x]\icc{a}{x} で使うからである。極限は近くの値だけで決まるので、それが成り立つ区間 (a,b)\ioo{a}{b} を、どれほど小さくても一つ見つければ十分である。これに対し、分母の導関数が、点に集積する孤立点でだけ零になる場合や、変数が無限大に発散するとき有界でない孤立点でだけ零になる場合には、十分ではない。例題 5 がそれを示す。ff と gg がより大きな集合で定義されているときは、(a,b)\ioo{a}{b} への制限に定理を適用すればよい。それらは aa で同じ右側極限をもつ。

左側でも同様であり、区間 (b,a)\ioo{b}{a}（b<ab < a）と x→a−x \to a^- を用いる。片側極限の課の平行移動と対称移動の命題により、f(−t)f(-t) と g(−t)g(-t) に、−a-a の右側近くで定理を適用すればよい。合成関数の微分法は二つの導関数の符号を変えるが、その比は変えない。仮定が aa の両側、すなわち (a−r,a)\ioo{a - r}{a} と (a,a+r)\ioo{a}{a + r} で成り立てば、同じ課の極限と片側極限の定理により、x→ax \to a のときの極限が得られる（LL が無限大ならば、二つの半径の小さいほうについて同じ議論を行う）。関数は aa で定義されていてもいなくてもよく、そこでの値は関係しない。

例三回続けての適用

lim⁡x→0x−sin⁡xx3\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} を考える。分子と分母は 00 に近づき、分母の導関数 3x23x^2 は 00 以外では零にならない。導関数の比は 1−cos⁡x3x2\frac{1 - \cos x}{3x^2} で、これもまた 00\frac{0}{0} 型であり、その分母の導関数 6x6x も 00 以外では零にならない。新しい商 sin⁡x6x\frac{\sin x}{6x} は、三角関数の基本的な極限により 16\frac{1}{6} に近づく：

lim⁡x→0x−sin⁡xx3=lim⁡x→01−cos⁡x3x2=lim⁡x→0sin⁡x6x=16\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \frac{1}{6}

この等式の列は右から左へ読む。最後の極限が存在し、定理を二回適用することで、その値が後ろへ伝わる。二番目の極限が存在すると知る前に最初の等号を書くのは、計算を書き留める一つの方法にすぎず、計算を終えたときに正当化される。二番目の極限は、同値な無限小の表からも、1−cos⁡x∼x221 - \cos x \sim \frac{x^2}{2} を用いて得られる。最初の極限はそうはいかない。