フェルマー・ロル・ラグランジュ・コーシーの定理

証明

1. 1
   $$x \in A, \ \abs{x - a} < \delta_0 \rightarrow \dato{max}{f(x) \leq f(a)}, \qquad \resaltar{F'(a) = f'(a)}$$

   まず $f$ が $a$ で極大値をとるとし（ある $\delta_0 > 0$ について）、$r > 0$ を、区間 $I = \ioo{a - r}{a + r}$ が $A$ に含まれるようにとる。$F$ を $f$ の $I$ への制限とする。すべての $x$（$A$ の点で $\abs{x - a} < r$ を満たすもの）は $I$ に属する。微分法の公式の課の微分係数の局所性の補題により、$F$ は $a$ で微分可能であり、微分係数も同じである。

2. 2
   $$f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad \resaltar{f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a)}$$

   $f'(a) > 0$ ならば、変化率の課の一点での微分係数の符号の命題を、$F$ に開区間 $I$ で適用すると、ある $\delta > 0$ が得られ、$f(x) > f(a)$ がすべての $x$（$I$ の点で $a < x < a + \delta$ を満たすもの）について成り立つ。$\rho$ を数 $\delta$、$\delta_0$、$r$ のうち最小のものとする。点 $a + \frac{\rho}{2}$ は $I$ に属し、この条件を満たし、$a$ からの距離が $\delta_0$ より小さい。その点での関数の値は $f(a)$ より大きく、かつ大きくないことになる。したがって $f'(a) > 0$ はありえない。

3. 3
   $$f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) = 0}$$

   $f'(a) < 0$ ならば、同じ命題を、値どうしの不等号の向きを逆にして用いると、ある $\delta > 0$ が得られ、$f(x) > f(a)$ がすべての $x$（$I$ の点で $a - \delta < x < a$ を満たすもの）について成り立ち、点 $a - \frac{\rho}{2}$ が同じ矛盾を生む。微分係数は正でも負でもないので、零である。

4. 4
   $$(-f)'(a) = -f'(a) = 0 \rightarrow \resaltar{f'(a) = 0}$$

   $f$ が $a$ で極小値をとるならば、$-f$ はそこで極大値をとり、微分法の公式の課の一次結合の微分法の定理により、$a$ で微分可能で、その微分係数は $-f'(a)$ である。すでに示したことにより、この微分係数は零である。