Vai al contenuto
Topos Uranos
Italiano

Teoremi e dimostrazioni

Riepilogo

Questa lezione insegna a comporre enunciati e dimostrazioni come ambienti dichiarati, non come grassetti scritti a mano. Spiega che cosa si guadagna dichiarandoli (numerazione, rimandi, coerenza e uno stile che si cambia in una riga); presenta il pacchetto amsthm e il suo comando \newtheorem, con la forma senza numero, il contatore condiviso contrapposto ai contatori separati e la numerazione all’interno della sezione o del capitolo, e ne deduce quale numerazione convenga a un articolo e quale a un libro; distingue i tre stili di \theoremstyle secondo la funzione dell’enunciato; mostra l’argomento facoltativo che dà un nome o un’attribuzione a un risultato; studia l’ambiente proof, la sua intestazione in italiano, il suo simbolo finale e il difetto che \qedhere corregge; insegna a rimandare agli enunciati con cleveref e verifica che cosa scrive quando non gli si dichiara il nome, compreso un comportamento del contatore condiviso che conviene conoscere; presenta brevemente \newtheoremstyle e thmtools; mostra l’uso di questi ambienti fuori dalla matematica; e termina con gli errori tipici e i loro log.

Obiettivi di apprendimento

  1. Dichiarare teoremi, lemmi, definizioni e osservazioni con \newtheorem e \theoremstyle, scegliendo lo stile secondo la funzione dell’enunciato.
  2. Scegliere tra contatore condiviso e contatori separati, e tra numerazione continua o per sezione, e prevedere i numeri che ne risultano.
  3. Scrivere dimostrazioni con proof, dar loro un’intestazione propria e collocare il simbolo finale al suo posto con \qedhere quando terminano con una formula in display o con un elenco.
  4. Rimandare agli enunciati con \cref, ordinare il preambolo perché cleveref li nomini correttamente e diagnosticare i rimandi che stampano «??» o un nome sbagliato.
  5. Interpretare i log degli errori tipici nel dichiarare enunciati e correggerne la causa.

Perché dichiarare gli enunciati

Un testo dimostrativo si articola in enunciati di funzione diversa: una definizione fissa il senso di un termine, un teorema afferma qualcosa che sarà dimostrato, un lemma prepara un teorema, un corollario ne discende, un’osservazione commenta senza affermare nulla di nuovo. La tradizione tipografica li distingue per l’intestazione, «Teorema 3.», per il numero, che permette di citarli, e per l’aspetto. Nulla impedisce di imitare tutto ciò a mano, con un grassetto e un numero scritto dall’autore.

Codice LaTeX
\textbf{Teorema 2.} \emph{Ogni numero primo maggiore di 2 è dispari.}​\textbf{Lemma 3.} \emph{Se $n$ è pari, $n^2$ è pari.}

Il risultato stampato può essere identico a quello di un ambiente dichiarato; il difetto sta nel sorgente, ed è lo stesso che la lezione sui riferimenti incrociati e quella su macro e preambolo personale hanno segnalato per altri oggetti. Se è così, ne seguono quattro perdite. Il numero, scritto a mano, smette di essere vero al primo enunciato che si inserisce. Non c’è nulla a cui attaccare un’etichetta, sicché il rimando torna a essere un numero scritto a mano. L’aspetto dipende dalla memoria dell’autore, e basta una dimenticanza perché un teorema esca in tondo. E se una rivista chiede gli enunciati in un altro carattere, bisogna correggerli uno per uno. Dichiarare un ambiente teorema nomina la funzione, e la sua definizione, scritta una volta nel preambolo, fissa il numero, l’intestazione e l’aspetto.