Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Θεωρήματα και αποδείξεις

Περίληψη

Αυτό το μάθημα διδάσκει πώς στοιχειοθετούμε προτάσεις και αποδείξεις ως δηλωμένα περιβάλλοντα και όχι ως έντονα γράμματα γραμμένα με το χέρι. Εξηγεί τι κερδίζουμε όταν τα δηλώνουμε (αρίθμηση, παραπομπές, συνέπεια και ένα στυλ που αλλάζει σε μία γραμμή)· παρουσιάζει το πακέτο amsthm και την εντολή του \newtheorem, με τη μορφή χωρίς αριθμό, τον κοινό μετρητή έναντι των χωριστών μετρητών και την αρίθμηση μέσα στην ενότητα ή στο κεφάλαιο, και συνάγει ποια αρίθμηση ταιριάζει σε ένα άρθρο και ποια σε ένα βιβλίο· διακρίνει τα τρία στυλ της \theoremstyle ανάλογα με τη λειτουργία της πρότασης· δείχνει το προαιρετικό όρισμα που δίνει όνομα ή προέλευση σε ένα αποτέλεσμα· μελετά το περιβάλλον proof, την επικεφαλίδα του στα ελληνικά, το τελικό του σύμβολο και το ελάττωμα που διορθώνει η \qedhere· διδάσκει πώς παραπέμπουμε στις προτάσεις με το cleveref και ελέγχει τι γράφει όταν δεν του δηλώνεται το όνομα, μαζί με μια συμπεριφορά του κοινού μετρητή που αξίζει να γνωρίζουμε· παρουσιάζει σύντομα την \newtheoremstyle και το thmtools· δείχνει τη χρήση αυτών των περιβαλλόντων έξω από τα μαθηματικά· και κλείνει με τα συνηθισμένα σφάλματα και τα αρχεία καταγραφής τους.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να δηλώνει θεωρήματα, λήμματα, ορισμούς και παρατηρήσεις με \newtheorem και \theoremstyle, επιλέγοντας το στυλ από τη λειτουργία της πρότασης.
  2. Να επιλέγει ανάμεσα σε κοινό μετρητή και χωριστούς μετρητές, και ανάμεσα σε συνεχή αρίθμηση και αρίθμηση ανά ενότητα, και να προβλέπει τους αριθμούς που προκύπτουν.
  3. Να γράφει αποδείξεις με το proof, να τους δίνει δική τους επικεφαλίδα και να τοποθετεί το τελικό σύμβολο στη θέση του με την \qedhere όταν τελειώνουν σε αυτοτελή τύπο ή σε λίστα.
  4. Να παραπέμπει στις προτάσεις με την \cref, να διατάσσει το προοίμιο ώστε το cleveref να τις ονομάζει σωστά και να διαγιγνώσκει τις παραπομπές που τυπώνουν «??» ή λάθος όνομα.
  5. Να ερμηνεύει τα αρχεία καταγραφής των συνηθισμένων σφαλμάτων στη δήλωση προτάσεων και να διορθώνει την αιτία τους.

Γιατί δηλώνουμε τις προτάσεις

Ένα αποδεικτικό κείμενο αρθρώνεται σε προτάσεις με διαφορετική λειτουργία: ένας ορισμός καθορίζει το νόημα ενός όρου, ένα θεώρημα βεβαιώνει κάτι που θα αποδειχθεί, ένα λήμμα προετοιμάζει ένα θεώρημα, ένα πόρισμα έπεται από αυτό, μια παρατήρηση σχολιάζει χωρίς να βεβαιώνει κάτι νέο. Η τυπογραφική παράδοση τις διακρίνει από την επικεφαλίδα τους, «Θεώρημα 3.», από τον αριθμό τους, που επιτρέπει να τις παραθέτουμε, και από την όψη τους. Τίποτα δεν εμποδίζει να μιμηθούμε όλα αυτά με το χέρι, με έντονα γράμματα και έναν αριθμό που γράφει ο συγγραφέας.

Κώδικας LaTeX
\textbf{Θεώρημα 2.} \emph{Κάθε πρώτος αριθμός μεγαλύτερος του 2 είναι περιττός.}​\textbf{Λήμμα 3.} \emph{Αν ο $n$ είναι άρτιος, ο $n^2$ είναι άρτιος.}

Το τυπωμένο αποτέλεσμα μπορεί να είναι ίδιο με εκείνο ενός δηλωμένου περιβάλλοντος· το ελάττωμα βρίσκεται στον πηγαίο κώδικα, και είναι το ίδιο που επισήμαναν σε άλλα αντικείμενα το μάθημα για τις διασταυρούμενες παραπομπές και εκείνο για τις μακροεντολές και το δικό μας προοίμιο. Αν αυτό ισχύει, έπονται τέσσερις απώλειες. Ο αριθμός, γραμμένος με το χέρι, παύει να είναι αληθής με την πρώτη πρόταση που παρεμβάλλεται. Δεν υπάρχει πού να τεθεί ετικέτα, οπότε η παραπομπή γίνεται πάλι αριθμός γραμμένος με το χέρι. Η όψη εξαρτάται από τη μνήμη του συγγραφέα, και αρκεί μια παράλειψη για να βγει ένα θεώρημα σε όρθια γράμματα. Και αν ένα περιοδικό ζητήσει τις προτάσεις με άλλα γράμματα, πρέπει να διορθωθεί η καθεμία. Η δήλωση ενός περιβάλλοντος thm ονομάζει τη λειτουργία, και ο ορισμός του, γραμμένος μία φορά στο προοίμιο, καθορίζει τον αριθμό, την επικεφαλίδα και την όψη.