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Topos Uranos
Français

Théorèmes et démonstrations

Résumé

Cette leçon enseigne à composer énoncés et démonstrations comme des environnements déclarés, et non comme des caractères gras écrits à la main. Elle explique ce que l’on gagne à les déclarer (numérotation, renvoi, cohérence et un style qui se change en une ligne) ; elle présente l’extension amsthm et sa commande \newtheorem, avec la forme non numérotée, le compteur partagé opposé aux compteurs séparés et la numérotation à l’intérieur de la section ou du chapitre, et elle en déduit quelle numérotation convient à un article et laquelle à un livre ; elle distingue les trois styles de \theoremstyle selon la fonction de l’énoncé ; elle montre l’argument optionnel qui donne un nom ou une attribution à un résultat ; elle étudie l’environnement proof, son en-tête en français, son symbole final et le défaut que \qedhere corrige ; elle enseigne à renvoyer aux énoncés avec cleveref et vérifie ce que celui-ci écrit quand on ne lui déclare pas le nom, y compris un comportement du compteur partagé qu’il vaut mieux connaître ; elle présente brièvement \newtheoremstyle et thmtools ; elle montre l’usage de ces environnements hors des mathématiques ; et elle se termine par les erreurs typiques et leurs journaux.

Objectifs d’apprentissage

  1. Déclarer théorèmes, lemmes, définitions et remarques avec \newtheorem et \theoremstyle, en choisissant le style d’après la fonction de l’énoncé.
  2. Choisir entre compteur partagé et compteurs séparés, et entre numérotation continue ou par section, et prévoir les numéros qui en résultent.
  3. Écrire des démonstrations avec proof, leur donner un en-tête propre et placer le symbole final à sa place avec \qedhere quand elles se terminent par une formule centrée ou une liste.
  4. Renvoyer aux énoncés avec \cref, ordonner le préambule pour que cleveref les nomme correctement et diagnostiquer les renvois qui impriment « ?? » ou un nom erroné.
  5. Interpréter les journaux des erreurs typiques dans la déclaration des énoncés et en corriger la cause.

Pourquoi déclarer les énoncés

Un texte démonstratif s’articule en énoncés de fonctions diverses : une définition fixe le sens d’un terme, un théorème affirme une chose que l’on démontrera, un lemme prépare un théorème, un corollaire en découle, une remarque commente sans rien affirmer de nouveau. La tradition typographique les distingue par leur en-tête, « Théorème 3. », par leur numéro, qui permet de les citer, et par leur aspect. Rien n’empêche d’imiter tout cela à la main, avec du gras et un numéro écrit par l’auteur.

Code LaTeX
\textbf{Théorème 2.} \emph{Tout nombre premier supérieur à 2 est impair.}​\textbf{Lemme 3.} \emph{Si $n$ est pair, $n^2$ est pair.}

Le résultat imprimé peut être identique à celui d’un environnement déclaré ; le défaut est dans la source, et c’est le même que la leçon sur les renvois et celle sur les macros et le préambule personnel ont signalé pour d’autres objets. S’il en est ainsi, il s’ensuit quatre pertes. Le numéro, écrit à la main, cesse d’être vrai au premier énoncé que l’on insère. Il n’y a rien à quoi attacher une étiquette, de sorte que le renvoi redevient un numéro écrit à la main. L’aspect dépend de la mémoire de l’auteur, et il suffit d’un oubli pour qu’un théorème sorte en romain. Et si une revue demande les énoncés dans une autre police, il faut les corriger un à un. Déclarer un environnement theoreme nomme la fonction, et sa définition, écrite une seule fois dans le préambule, fixe le numéro, l’en-tête et l’aspect.