Scomposizione dei trinomi di secondo grado e di grado 2n

Riepilogo

Questa lezione deduce, completando il quadrato, la formula delle radici del trinomio di secondo grado, studia il discriminante e le relazioni tra radici e coefficienti, e ottiene la scomposizione $a(x - x_1)(x - x_2)$ . Estende poi il metodo ai trinomi di grado $2n$ , della forma $a x^{2n} + b x^n + c$ , mediante il cambio di variabile $u = x^n$ , e mostra che un trinomio di grado $4$ si può scomporre anche quando il discriminante è negativo.

Obiettivi di apprendimento

Dedurre la formula risolutiva completando il quadrato e applicarla per scomporre.
Interpretare il discriminante e usare le relazioni tra le radici e i coefficienti.
Scomporre trinomi di grado $2n$ mediante il cambio di variabile $u = x^n$ e i prodotti notevoli.
Riconoscere quando un trinomio di secondo grado è irriducibile nei reali e scomporre un trinomio di grado $4$ il cui discriminante è negativo.
Impostare problemi applicati che conducono a un’equazione di secondo grado, come il volo di una palla o il progetto di un orto, e interpretare nel contesto le sue radici e il suo discriminante.

Il trinomio di secondo grado

Un trinomio di secondo grado è un polinomio di grado $2$ ; con coefficienti reali $a$ , $b$ e $c$ , e $a \neq 0$ , si scrive così:

P(x) = ax^2 + bx + c

Scomporlo significa scriverlo come prodotto di due polinomi di grado $1$ . Per il teorema del fattore, studiato nella lezione sull’algebra dei polinomi, ogni radice reale $r$ fornisce un fattore $x - r$ ; pertanto, scomporre un trinomio di secondo grado equivale a trovarne le radici. Il metodo per trovarle è il completamento del quadrato.

TeoremaFormula risolutiva

Sia $ax^2 + bx + c$ un trinomio di secondo grado, con $a \neq 0$ . Per ogni reale $x$ vale l’uguaglianza seguente, detta forma completata; e se $b^2 - 4ac \geq 0$ , le radici del polinomio sono esattamente i numeri $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ .

ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]

L’idea è geometrica: $x^2 + \frac{b}{a}x$ è l’area di un quadrato di lato $x$ più un rettangolo di lati $x$ e $\frac{b}{a}$ . Se si divide il rettangolo in due metà e si collocano queste lungo due lati del quadrato, manca solo un angolo per completare un quadrato più grande, di lato $x + \frac{b}{2a}$ .

Dimostrazione

$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \dato{s}{\frac{b}{a}x} + \frac{c}{a}\right)$
Poiché $a \neq 0$ , raccogliamo $a$ a fattor comune.
$x^2 + \resaltar{\frac{b}{a}x} = \dato{c}{\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2} - \resaltar{\frac{b^2}{4a^2}}$
Il quadrato di $x + \frac{b}{2a}$ contiene $x^2$ , il termine $\frac{b}{a}x$ e l’angolo $\frac{b^2}{4a^2}$ ; sottraendo l’angolo si ottiene la somma cercata.
$ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \dato{d}{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\right]$
Sostituiamo nella parentesi e riuniamo i termini costanti in un’unica frazione, perché $\frac{c}{a} = \frac{4ac}{4a^2}$ .
$ax^2 + bx + c = 0 \leftrightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
Poiché $a \neq 0$ , il polinomio si annulla esattamente quando si annulla la parentesi quadra.
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \resaltar{\left(\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)^2} = 0 \leftrightarrow x + \frac{b}{2a} = \resaltar{\pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}$
Se $b^2 - 4ac \geq 0$ , il numero $w = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ soddisfa $w^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ , qualunque sia il segno di $a$ . Chiamando $u$ l’espressione $x + \frac{b}{2a}$ , per la differenza di quadrati l’equazione è $(u - w)(u + w) = 0$ ; e un prodotto di reali è zero solo se lo è qualche fattore, per il lemma del segno di un prodotto della lezione sulle funzioni algebriche. Ne segue che l’equazione equivale esattamente a $u = w$ o $u = -w$ : non si perde né si aggiunge alcuna radice.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Ricaviamo $x$ : è la formula risolutiva.