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Topos Uranos
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Funzioni algebriche di variabile reale

Riepilogo

Questa lezione presenta il concetto di funzione, con il suo dominio e il suo insieme immagine, e studia le funzioni algebriche di una variabile reale: quelle che si ottengono dalla variabile mediante somme, differenze, prodotti, quozienti, potenze e radici. Insegna a determinare il dominio di una funzione definita da una formula e a calcolare l’insieme immagine in casi semplici, studia i grafici delle potenze e delle radici, e classifica le funzioni in algebriche e trascendenti, e le algebriche in polinomiali, razionali e irrazionali.

Obiettivi di apprendimento

  1. Enunciare la definizione di funzione e distinguere, in ciascun caso, il suo dominio, il suo codominio e il suo insieme immagine.
  2. Determinare il dominio di una funzione algebrica definita da una formula.
  3. Calcolare l’insieme immagine di funzioni algebriche semplici ricavando la variabile.
  4. Tracciare i grafici delle potenze a esponente naturale e delle radici a partire dalla loro monotonia e dalla loro parità.
  5. Classificare una funzione come polinomiale, razionale, irrazionale o trascendente.

Variabili ed espressioni algebriche

Una variabile è un simbolo che rappresenta un posto in cui si può scrivere un numero. Per i numeri reali si usano tradizionalmente le lettere xx, yy e tt; la lettera zz è di solito riservata ai complessi. Quando servono molte variabili si usano gli indici: x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n.

Un’espressione algebrica è quella che si forma con variabili e numeri reali mediante un numero finito di somme, differenze, prodotti, quozienti, potenze a esponente intero e radici. Per esempio:

x3+5x+6x,2x+3x−13x^3 + 5x + \frac{6}{\sqrt{x}}, \qquad \frac{2x + 3}{\sqrt[3]{x - 1}}

Un’espressione algebrica non ha sempre senso per tutti i valori della variabile: la prima, per esempio, non ne ha se xx è negativo, perché la radice quadrata non esiste, né se xx è zero, perché si dividerebbe per zero. Precisare dove ha senso è il primo problema che pone lo studio delle funzioni.