Formalizzazione del linguaggio naturale

Dall’enunciato alla formula

La lezione sul linguaggio della logica proposizionale ha costruito un linguaggio senza significato: stringhe di cerchi e dischi, una regola di formazione e alcune abbreviazioni. La lezione sull’induzione sulle formule ha dimostrato che ogni formula si legge in un solo modo. Ora, quel linguaggio è stato costruito per uno scopo: rappresentare la forma degli enunciati con cui ragioniamo nella vita quotidiana, nelle scienze, nel diritto e nella matematica, in modo che la correttezza di un ragionamento possa essere studiata nella forma stessa, indipendentemente dal suo argomento. Questa lezione getta il ponte tra i due mondi. Non è un ponte meccanico: la lingua naturale è ricca, ambigua e dipendente dal contesto, e il linguaggio formale è povero, preciso e rigido. Ne segue che formalizzare è interpretare, e che ogni formalizzazione deve essere giustificata.

Un enunciato, nel senso di questa lezione, è una proposizione dichiarativa che, nel suo contesto, è vera o falsa: «L’acqua bolle a cento gradi al livello del mare», «Anna è arrivata in ritardo», «$7$ è primo». Le domande, gli ordini e i desideri («Anna è arrivata?», «Chiudi la porta», «Magari piovesse») non sono enunciati. Un enunciato è composto quando contiene altri enunciati uniti da particelle come «non», «e», «o», «se… allora»; è atomico quando non si scompone così. La logica proposizionale non analizza l’interno degli enunciati atomici: per essa, «Anna è arrivata in ritardo» è un pezzo indivisibile, che può essere solo vero o falso.

La convenzione delle lettere

Le formule della lingua di base sono stringhe di cerchi e dischi; la $n$-esima variabile è $v_n = \sigO^{n}\sigI$, cioè $n$ cerchi seguiti da un disco. Scrivere stringhe così è tanto sicuro quanto faticoso, e per formalizzare conviene disporre di nomi brevi. Adottiamo la convenzione seguente, che vale in questa lezione e nel resto del corso salvo avviso esplicito:

Se è così, le lettere latine $p$, $q$, $r$, $s$ e $t$ sono nomi di cinque variabili determinate, allo stesso modo in cui $7$ è il nome di un numero determinato: $p$ non varia, ma designa sempre la stringa $\sigO\sigI$. Le lettere greche $\varphi$, $\psi$, $\chi$ e $\theta$, invece, restano metavariabili, come nella lezione sul linguaggio: designano formule qualsiasi, e un enunciato scritto con esse, come $(\varphi \downarrow \psi)$, è uno schema che abbraccia infinite formule. Ne segue una differenza che conta: $(p \downarrow q)$ è una sola formula, la stringa $\sigI\sigO\sigI\sigO\sigO\sigI$; $(\varphi \downarrow \psi)$ è una forma di formule, di cui $(p \downarrow q)$, $(p \downarrow p)$ e $(q \downarrow (p \downarrow r))$ sono casi. Alcuni testi usano $p$ e $q$ come metavariabili; qui no, perché nel formalizzare abbiamo bisogno che due lettere distinte designino con sicurezza variabili distinte, e una metavariabile non offre questa garanzia: nulla impedisce che $\varphi$ e $\psi$ designino la stessa formula.

Il dizionario di una formalizzazione

Formalizzare un enunciato consiste in tre operazioni: individuare i suoi enunciati atomici, assegnare a ciascuno una variabile e ricostruire l’enunciato composto con i connettivi. L’assegnazione della seconda operazione si chiama dizionario della formalizzazione, e deve essere dichiarata sempre, perché senza di essa la formula non dice nulla. Il dizionario obbedisce a due regole: lo stesso enunciato atomico riceve sempre la stessa variabile, ed enunciati atomici distinti ricevono variabili distinte. La prima garantisce che la formula registri le ripetizioni del testo; la seconda, che non inventi identità che il testo non afferma.