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सम्मिश्र संख्याओं का ध्रुवीय रूप

सारांश

यह पाठ प्रत्येक शून्येतर सम्मिश्र संख्या को उसके मापांक और एक कोणांक के द्वारा लिखता है, जो उसे निरूपित करने वाले बिंदु का ध्रुवीय कोण है, और इस प्रकार उसका ध्रुवीय रूप, या त्रिकोणमितीय रूप, z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) प्राप्त करता है। यह किसी सम्मिश्र संख्या के सभी कोणांकों का वर्णन करता है, मुख्य कोणांक को परिभाषित करता है और उसे चतुर्थांश के अनुसार संशोधित प्रतिलोम स्पर्शज्या से परिकलित करता है, और सिद्ध करता है कि दो ध्रुवीय रूप कब एक ही संख्या को निरूपित करते हैं। योग और अंतर के सूत्रों से यह केंद्रीय प्रमेय सिद्ध करता है: दो सम्मिश्र संख्याओं को गुणा करने पर उनके मापांक गुणा होते हैं और उनके कोणांक जुड़ते हैं, और उन्हें भाग देने पर मापांक भाग होते हैं और कोणांक घटते हैं; इससे संयुग्मी का कोणांक और प्रतिलोम का कोणांक निगमित होते हैं, और यह ध्यान दिलाया जाता है कि किसी गुणनफल का मुख्य कोणांक मुख्य कोणांकों का योग केवल एक चक्कर के अंतर तक ही होता है। अंत में, यह किसी सम्मिश्र संख्या से गुणन की व्याख्या एक तनन के साथ संघटित घूर्णन के रूप में करता है, जो ii से गुणन के चौथाई चक्कर का व्यापकीकरण है, और सिद्ध करता है कि शीर्षों 00, 11, ww वाला त्रिभुज और शीर्षों 00, zz, zwzw वाला त्रिभुज समरूप हैं।

अधिगम उद्देश्य

  1. किसी शून्येतर सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में लिखना, चतुर्थांश के अनुसार उसका मुख्य कोणांक परिकलित करना और निर्णय करना कि दो ध्रुवीय रूप कब एक ही संख्या को निरूपित करते हैं।
  2. योग और अंतर के सूत्रों से सिद्ध करना कि किसी गुणनफल में मापांक गुणा होते हैं और कोणांक जुड़ते हैं, और भागफल, संयुग्मी तथा प्रतिलोम के नियम निगमित करना।
  3. किसी सम्मिश्र संख्या से गुणन की व्याख्या एक तनन के साथ संघटित घूर्णन के रूप में करना, और शीर्षों 00, 11, ww तथा 00, zz, zwzw वाले त्रिभुजों की समरूपता सिद्ध करना।
  4. ध्रुवीय रूप को त्रिकोणमितीय अनुपातों के यथार्थ मानों पर, प्रतिलोम स्पर्शज्याओं के बीच की सर्वसमिकाओं पर, zz और उसके संयुग्मी वाले समीकरणों पर तथा कोणांकों द्वारा परिभाषित बिंदुपथों पर लागू करना।

सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप

बीजगणित और ज्यामिति I पाठ्यक्रम के सम्मिश्र संख्याओं वाले पाठ में प्रत्येक सम्मिश्र संख्या z=a+biz = a + bi को समतल के बिंदु (a,b)(a, b) के रूप में निरूपित किया गया, उसके मापांक ∣z∣\abs{z} को उस बिंदु की मूल बिंदु से दूरी के रूप में परिभाषित किया गया और सिद्ध किया गया कि ii से गुणन प्रत्येक बिंदु को चौथाई चक्कर घुमाता है। किसी भी सम्मिश्र संख्या से गुणन का प्रश्न शेष रह गया, जिसका प्रभाव बीजीय रूप में पढ़ा नहीं जा सकता: (a+bi)(c+di)(a + bi)(c + di) का वास्तविक भाग ac−bdac - bd है, एक ऐसा व्यंजक जो कोई ज्यामिति प्रकट नहीं करता। अब, समतल के किसी बिंदु को उसकी मूल बिंदु से दूरी और उस दिशा से भी नामित किया जा सकता है जिसमें वह मूल बिंदु से दिखाई देता है, जैसा कि ध्रुवीय निर्देशांकों वाले पाठ में। यदि बिंदुओं के लिए ऐसा है, तो सम्मिश्र संख्याओं के लिए भी है; और उस दूसरे वर्णन में, जैसा कि सिद्ध किया जाएगा, गुणन पारदर्शी हो जाता है।

मान लीजिए z=a+biz = a + bi एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या है। zz का एक कोणांक ऐसी प्रत्येक वास्तविक संख्या θ\theta है जिसके लिए a=∣z∣cos⁡θa = \abs{z} \cos \theta और b=∣z∣sin⁡θb = \abs{z} \sin \theta हों। यदि r=∣z∣r = \abs{z} हो और θ\theta, zz का एक कोणांक हो, तो निम्नलिखित व्यंजक zz का एक ध्रुवीय रूप, या त्रिकोणमितीय रूप, है।
z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

प्रत्येक शून्येतर सम्मिश्र संख्या के कोणांक होते हैं। वास्तव में, “कार्तीय से ध्रुवीय निर्देशांकों तक” प्रमेय से, जो ध्रुवीय निर्देशांकों वाले पाठ में सिद्ध किया गया है, बिंदु (a,b)(a, b), जो ध्रुव से अलग है, का एक ध्रुवीय निरूपण (r,θ)(r, \theta) है जिसमें r>0r > 0, और उसकी त्रिज्या r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2} है, अर्थात् zz का मापांक; तब समताएँ a=rcos⁡θa = r \cos \theta और b=rsin⁡θb = r \sin \theta बताती हैं कि ध्रुवीय कोण θ\theta, zz का एक कोणांक है। अतः zz का एक कोणांक वह कोण है जो मूल बिंदु को zz से मिलाने वाला रेखाखंड धनात्मक वास्तविक अर्ध-अक्ष के साथ बनाता है, रेडियन में मापा गया। इसके विपरीत, शून्य का कोई कोणांक नहीं होता: समता 0=0(cos⁡θ+isin⁡θ)0 = 0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) प्रत्येक θ\theta के लिए सत्य है, और कोई भी कोण उसे अलग नहीं पहचानता। zz के कोणांकों में से किसी को भी दर्शाने के लिए arg⁡z\arg z लिखा जाता है, जिसे “zz का कोणांक” पढ़ा जाता है।

निम्नलिखित प्रमेय कहती है कि मापांक और कोणांक, ऋणात्मक त्रिज्या वाले ध्रुवीय निर्देशांकों के विपरीत, सम्मिश्र संख्या को बिना किसी संदिग्धता के, पूरे चक्करों को छोड़कर, निर्धारित करते हैं। ध्रुवीय रूपों के साथ प्रत्येक परिकलन इसी पर निर्भर है: यह सिद्ध करने के लिए कि दो सम्मिश्र संख्याएँ बराबर हैं, उनके मापांकों और कोणांकों की तुलना करना पर्याप्त होगा।

प्रमेयध्रुवीय रूप में समता

मान लीजिए rr, r1r_1 और r2r_2 धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, और θ\theta, θ1\theta_1 और θ2\theta_2 वास्तविक संख्याएँ हैं। सम्मिश्र संख्या r(cos⁡θ+isin⁡θ)r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) का मापांक rr और कोणांक θ\theta है। इसके अतिरिक्त, सम्मिश्र संख्याएँ r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) और r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) बराबर हैं यदि और केवल यदि r1=r2r_1 = r_2 हो और θ1−θ2=2kπ\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi हो, जहाँ kk कोई पूर्णांक है। पाइथागोरस सर्वसमिका, ज्या और कोज्या की आवर्तिता, और कोण और उनकी माप वाले पाठ में दिया गया सहांत कोणों का अभिलक्षणन प्रयुक्त होते हैं: दो कोण मात्रक वृत्त का एक ही बिंदु ठीक तब देते हैं जब उनका अंतर 2π2\pi का एक पूर्णांक गुणज हो।

प्रमाण

  1. ∣z∣2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2\abs{z}^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2}

    मान लीजिए z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right), जहाँ r>0r > 0। इसका वास्तविक भाग rcos⁡θr \cos \theta है और काल्पनिक भाग rsin⁡θr \sin \theta; पाइथागोरस सर्वसमिका से, इसके मापांक का वर्ग r2r^2 है।

  2. ∣z∣=r,rcos⁡θ=∣z∣cos⁡θ,rsin⁡θ=∣z∣sin⁡θ\dato{m}{\resaltar{\abs{z} = r}}, \qquad r \cos \theta = \resaltar{\abs{z} \cos \theta}, \qquad r \sin \theta = \abs{z} \sin \theta

    संख्याएँ ∣z∣\abs{z} और rr धनात्मक हैं और उनका वर्ग एक ही है; अतः वे बराबर हैं, और zz के भाग वही हैं जो परिभाषा माँगती है: θ\theta, zz का एक कोणांक है। इसलिए इस रूप का प्रत्येक व्यंजक, जिसमें r>0r > 0 हो, एक ध्रुवीय रूप है।

  3. r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)→r1=r2r_1 \left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) = r_2 \left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) \rightarrow \dato{r}{\resaltar{r_1 = r_2}}

    यदि मापांक r1r_1 और r2r_2 वाली सम्मिश्र संख्याएँ बराबर हैं, तो उनका मापांक एक ही है, और अभी सिद्ध किए गए से उनके मापांक r1r_1 और r2r_2 हैं।

  4. cos⁡θ1=cos⁡θ2∧sin⁡θ1=sin⁡θ2↔θ1−θ2=2kπ\resaltar{\cos \theta_1 = \cos \theta_2 \wedge \sin \theta_1 = \sin \theta_2} \leftrightarrow \resaltar{\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi}

    हम वास्तविक भागों और काल्पनिक भागों को बराबर करते हैं और r1=r2r_1 = r_2 से भाग देते हैं, जो शून्य नहीं है: कोण θ1\theta_1 और θ2\theta_2 मात्रक वृत्त का एक ही बिंदु देते हैं, इसलिए वे सहांत हैं।

  5. cos⁡(θ2+2kπ)=cos⁡θ2,sin⁡(θ2+2kπ)=sin⁡θ2\cos(\resaltar{\theta_2 + 2k\pi}) = \resaltar{\cos \theta_2}, \qquad \sin(\theta_2 + 2k\pi) = \sin \theta_2

    विलोमतः, यदि r1=r2r_1 = r_2 और θ1=θ2+2kπ\theta_1 = \theta_2 + 2k\pi, तो ज्या और कोज्या की आवर्तिता से दोनों व्यंजकों के भाग एक ही हैं, और सम्मिश्र संख्याएँ बराबर हैं।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि, यदि θ\theta, zz का एक कोणांक है, तो zz के कोणांक ठीक-ठीक संख्याएँ θ+2kπ\theta + 2k\pi हैं, जहाँ kk पूर्णांक है: एक ही सम्मिश्र संख्या के दो कोणांकों का अंतर सदा पूरे चक्करों का होता है। अतः समता arg⁡z=θ\arg z = \theta का अर्थ है कि θ\theta, zz के कोणांकों में से एक है, और वह शेष कोणांकों को निर्धारित नहीं करती। इसके अतिरिक्त यह ध्यान देना उचित है कि प्रमेय r>0r > 0 की माँग करती है: व्यंजक −2(cos⁡π3+isin⁡π3)-2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) ध्रुवीय रूप नहीं है, क्योंकि −2-2 कोई मापांक नहीं है; चूँकि −cos⁡θ=cos⁡(θ+π)-\cos \theta = \cos(\theta + \pi) और −sin⁡θ=sin⁡(θ+π)-\sin \theta = \sin(\theta + \pi), वही संख्या ध्रुवीय रूप में 2(cos⁡4π3+isin⁡4π3)2\left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right) लिखी जाती है।

मुख्य कोणांक

किसी शून्येतर सम्मिश्र संख्या के कोणांकों में से ठीक एक अंतराल (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} में होता है, क्योंकि उस अंतराल की लंबाई 2π2\pi है और उसमें प्रत्येक कुल θ+2kπ\theta + 2k\pi का एक ही प्रतिनिधि होता है। उस कोणांक को zz का मुख्य कोणांक कहा जाता है, उसे Arg⁡z\operatorname{Arg} z लिखा जाता है और “zz का मुख्य कोणांक” पढ़ा जाता है। ध्रुवीय निर्देशांकों वाले पाठ की प्रमेय से, जहाँ aa और bb क्रमशः xx और yy की भूमिका निभाते हैं, इसे प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन वाले पाठ की प्रतिलोम स्पर्शज्या से परिकलित किया जाता है, जो केवल प्रथम और चतुर्थ चतुर्थांश देखती है और अन्य दो में संशोधित की जानी चाहिए:

Arg⁡z={arctan⁡baa>0arctan⁡ba+πa<0∧b≥0arctan⁡ba−πa<0∧b<0π2a=0∧b>0−π2a=0∧b<0\operatorname{Arg} z = \begin{cases} \arctan \frac{b}{a} & a > 0 \\ \arctan \frac{b}{a} + \pi & a < 0 \wedge b \geq 0 \\ \arctan \frac{b}{a} - \pi & a < 0 \wedge b < 0 \\ \frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b < 0 \end{cases}
उदाहरणद्वितीय चतुर्थांश की एक सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप

हम सम्मिश्र संख्या z=−3+iz = -\sqrt{3} + i को ध्रुवीय रूप में लिखते हैं और उसके सभी कोणांकों का वर्णन करते हैं। आकृति सम्मिश्र तल में परिकलन का अनुसरण करती है।

प्रमाण

  1. ∣z∣=(−3)2+12=4=2\abs{z} = \sqrt{\resaltar{\left( -\sqrt{3} \right)^2 + 1^2}} = \sqrt{4} = \dato{m}{\resaltar{2}}

    मापांक बिंदु (−3,1)\left( -\sqrt{3}, 1 \right) की मूल बिंदु से दूरी है।

  2. arctan⁡1−3=arctan⁡(−33)=−π6\arctan \frac{1}{-\sqrt{3}} = \resaltar{\arctan\left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} = \dato{a}{\resaltar{-\frac{\pi}{6}}}

    काल्पनिक भाग और वास्तविक भाग के भागफल की प्रतिलोम स्पर्शज्या चतुर्थ चतुर्थांश का एक कोण देती है: यह विपरीत बिंदु 3−i\sqrt{3} - i का कोणांक है, zz का नहीं।

  3. Arg⁡z=−π6+π=5π6\operatorname{Arg} z = \resaltar{-\frac{\pi}{6} + \pi} = \dato{t}{\resaltar{\frac{5\pi}{6}}}

    चूँकि वास्तविक भाग ऋणात्मक है और काल्पनिक भाग धनात्मक, बिंदु द्वितीय चतुर्थांश में है, और सूत्र π\pi जोड़ता है।

  4. z=2(cos⁡5π6+isin⁡5π6)=2(−32+12i)=−3+iz = 2\left( \resaltar{\cos \frac{5\pi}{6}} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 2\left( \resaltar{-\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{2} i \right) = -\sqrt{3} + i

    हम ध्रुवीय रूप की जाँच 5π6\frac{5\pi}{6} की कोज्या और ज्या के मानों से करते हैं, जो संपूरक कोण की सममिति द्वारा π6\frac{\pi}{6} के मानों से प्राप्त होते हैं।

  5. arg⁡z=5π6+2kπ,k∈Z\arg z = \resaltar{\frac{5\pi}{6} + 2k\pi}, \qquad k \in \mathbb{Z}

    शेष कोणांक मुख्य कोणांक से पूरे चक्करों के अंतर पर हैं: उदाहरण के लिए, −7π6-\frac{7\pi}{6} और 17π6\frac{17\pi}{6} भी zz के कोणांक हैं, परंतु वे (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} में नहीं हैं।

अक्षों पर स्थित सम्मिश्र संख्याओं के ध्रुवीय रूप तुरंत पहचानने योग्य हैं। धनात्मक वास्तविक संख्याओं का मुख्य कोणांक 00 है, और ऋणात्मक संख्याओं का π\pi; विशुद्ध काल्पनिक संख्याओं bibi का मुख्य कोणांक, b>0b > 0 होने पर, π2\frac{\pi}{2} है, और b<0b < 0 होने पर −π2-\frac{\pi}{2}। इस प्रकार, उदाहरण के लिए:

−1=cos⁡π+isin⁡π,i=cos⁡π2+isin⁡π2,−2i=2(cos⁡(−π2)+isin⁡(−π2))-1 = \cos \pi + i \sin \pi, \qquad i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}, \qquad -2i = 2\left( \cos\left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

अंतराल (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} एक परिपाटी है, वही जो ध्रुवीय निर्देशांकों वाले पाठ में है; अन्य ग्रंथ [0,2π)\ico{0}{2\pi} का प्रयोग करते हैं। जो परिपाटी पर निर्भर नहीं करता वह सभी कोणांकों का समुच्चय है, और इसीलिए इस पाठ की प्रमेयें किन्हीं भी कोणांकों के साथ कही जाती हैं, सिवाय वहाँ जहाँ स्पष्ट रूप से इसके विपरीत कहा जाए।