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सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल

सारांश

यह पाठ समष्टि के दो सदिशों का सदिश गुणनफल उनके निर्देशांकों द्वारा, सदिशों i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} और k⃗\vec{k} वाले एक औपचारिक सारणिक के रूप में परिभाषित करता है, और सारणिकों के गुणों से सिद्ध करता है कि वह प्रतिक्रमविनिमेय और द्विरैखिक है, किंतु साहचर्य नियम का पालन नहीं करता। यह सिद्ध करता है कि सदिश गुणनफल अपने दोनों गुणनखंडों पर लंब है, लाग्रांज सर्वसमिका सिद्ध करता है और उससे यह कि उसका परिमाण गुणनखंडों द्वारा निर्धारित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है और वह ठीक तब शून्य होता है जब गुणनखंड समांतर हों। यह द्वि सदिश गुणनफल का सूत्र और जैकोबी सर्वसमिका स्थापित करता है, अदिश त्रिक गुणनफल को कोटि तीन के सारणिक के रूप में परिभाषित करता है, उसका चक्रीय गुण सिद्ध करता है और उसकी व्याख्या एक समांतर षट्फलक और एक चतुष्फलक के आयतन के रूप में करता है, साथ में समतलीयता की कसौटी और अदिश गुणनफलों द्वारा आयतन का व्यंजक देता है। यह सटीक रूप से बताता है कि दाहिने हाथ के नियम का कौन-सा अंश सिद्ध होता है और कौन-सा अंश परिपाटी है, दिखाता है कि सदिश गुणनफल दो शुद्ध चतुष्टयों के गुणनफल का सदिश भाग है, और उसे बल आघूर्ण, गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल, समष्टि में त्रिभुज के क्षेत्रफल और कंप्यूटर ग्राफ़िक्स के अभिलंबों पर लागू करता है।

अधिगम उद्देश्य

  1. निर्देशांकों से और सारणिकों द्वारा सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल परिकलित करना, और प्रतिक्रमविनिमेयता, द्विरैखिकता, चक्रीय गुण और द्वि सदिश गुणनफल के सूत्र का उपयोग करके उनके साथ संक्रियाएँ करना।
  2. सदिश गुणनफल की लंबता, लाग्रांज सर्वसमिका, समांतरता की कसौटी, द्वि सदिश गुणनफल का सूत्र और समतलीयता की कसौटी सिद्ध करना।
  3. समष्टि में समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल तथा समांतर षट्फलकों और चतुष्फलकों के आयतन परिकलित करना, और यह तय करना कि चार बिंदु समतलीय हैं या नहीं।
  4. दाहिने हाथ के नियम में जो सिद्ध होता है उसे उससे अलग पहचानना जो परिपाटी से तय होता है, और सदिश गुणनफल से बल आघूर्ण, चुंबकीय बल और कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में पृष्ठों के अभिविन्यास का प्रतिरूपण करना।

सदिश गुणनफल

समष्टि में सदिश और अदिश गुणनफल वाले पाठ में R3\mathbb{R}^3 के सदिश त्रिकों u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right) के रूप में लिखे गए, और अदिश गुणनफल u⃗⋅v⃗=u1v1+u2v2+u3v3\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 से लंबाइयाँ और कोण मापना, लंबता तय करना और एक सदिश का दूसरे पर प्रक्षेप करना संभव हुआ। दो सदिशों का अदिश गुणनफल एक संख्या है। किंतु समष्टि की बहुत-सी समस्याएँ एक सदिश माँगती हैं: किसी समतल पृष्ठ पर लंब दिशा, वह अक्ष जिसके परितः कोई बल किसी पिंड को घुमाता है, वह दिशा जिसमें चुंबकीय क्षेत्र किसी आवेश को विक्षेपित करता है। समतल में प्रत्येक दिशा पर एक ही लंब होता है; समष्टि में किसी दिशा पर लंब रेखाएँ एक पूरा समतल भर देती हैं, और एक उभयनिष्ठ लंब नियत करने के लिए दो असमांतर दिशाएँ चाहिए। यदि ऐसा है, तो स्वाभाविक प्रश्न यह है: दो सदिश u⃗\vec{u} और v⃗\vec{v} दिए होने पर, कौन-सा सदिश x⃗=(x1,x2,x3)\vec{x} = \left( x_1, x_2, x_3 \right), u⃗⋅x⃗=0\vec{u} \cdot \vec{x} = 0 और v⃗⋅x⃗=0\vec{v} \cdot \vec{x} = 0 को संतुष्ट करता है?

ये तीन अज्ञातों वाले दो रैखिक समीकरण हैं। यदि पहले, u1x1+u2x2+u3x3=0u_1 x_1 + u_2 x_2 + u_3 x_3 = 0, को v1v_1 से और दूसरे को u1u_1 से गुणा करके घटाया जाए, तो x1x_1 लुप्त हो जाता है और (u2v1−u1v2)x2+(u3v1−u1v3)x3=0\left( u_2 v_1 - u_1 v_2 \right) x_2 + \left( u_3 v_1 - u_1 v_3 \right) x_3 = 0 बचता है, जो x2=u3v1−u1v3x_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3 और x3=u1v2−u2v1x_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1 से संतुष्ट होता है; अन्य अज्ञातों के साथ इसी प्रकार विचार करने पर x1=u2v3−u3v2x_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2 प्राप्त होता है। तीनों व्यंजक u⃗\vec{u} और v⃗\vec{v} के घटकों से बने कोटि दो के सारणिक हैं, सारणिक वाले पाठ के सारणिकों जैसे। यह खोज परिभाषा सुझाती है; सदिश गुणनफल की ज्यामिति वाला अनुभाग सिद्ध करता है कि इस प्रकार बना सदिश वास्तव में दोनों गुणनखंडों पर लंब है।

मान लीजिए u⃗=(u1,u2,u3)\vec{u} = \left( u_1, u_2, u_3 \right) और v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right), R3\mathbb{R}^3 के सदिश हैं। उनका सदिश गुणनफल, या क्रॉस गुणनफल, सदिश u⃗×v⃗=(u2v3−u3v2,u3v1−u1v3,u1v2−u2v1)\vec{u} \times \vec{v} = \left( u_2 v_3 - u_3 v_2, u_3 v_1 - u_1 v_3, u_1 v_2 - u_2 v_1 \right) है।

परिभाषा में एक नियमितता है जिसे याद रखना उपयोगी है। प्रत्येक घटक अपने से पहले वाले घटक से सूचकांकों को चक्रीय रूप से खिसकाकर, 1→2→3→11 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1, प्राप्त होता है: पहला घटक u2v3−u3v2u_2 v_3 - u_3 v_2 है; प्रत्येक सूचकांक में 11 जोड़ने पर, 3+13 + 1 को 11 मानते हुए, u3v1−u1v3u_3 v_1 - u_1 v_3 मिलता है, जो दूसरा घटक है, और इसे दोहराने पर तीसरा घटक मिलता है। इसे याद से लिखने के लिए मानक आधार के सदिशों i⃗=(1,0,0)\vec{i} = \left( 1, 0, 0 \right), j⃗=(0,1,0)\vec{j} = \left( 0, 1, 0 \right) और k⃗=(0,0,1)\vec{k} = \left( 0, 0, 1 \right) का उपयोग किया जाता है, जिनसे प्रत्येक सदिश u⃗=u1i⃗+u2j⃗+u3k⃗\vec{u} = u_1 \vec{i} + u_2 \vec{j} + u_3 \vec{k} लिखा जाता है, और एक औपचारिक सारणिक का: कोटि तीन की एक तालिका जिसकी पहली पंक्ति में सदिश i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} और k⃗\vec{k} हैं, और जिसका प्रसार सारणिक वाले पाठ की तरह उसी पंक्ति के अनुदिश किया जाता है।

u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗u1u2u3v1v2v3∣=∣u2u3v2v3∣i⃗−∣u1u3v1v3∣j⃗+∣u1u2v1v2∣k⃗\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \vec{k}

सारणिक औपचारिक है क्योंकि उसके सभी अवयव संख्याएँ नहीं हैं, और उस पर सारणिकों का कोई गुण लागू नहीं किया जाता: वह केवल पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार के सूत्र का सार है। दूसरे पद का ऋण चिह्न दूसरे घटक को पुनः उत्पन्न करता है, क्योंकि −(u1v3−u3v1)=u3v1−u1v3-\left( u_1 v_3 - u_3 v_1 \right) = u_3 v_1 - u_1 v_3। इसके विपरीत, प्रत्येक घटक वास्तव में कोटि दो का एक सारणिक है, जो उस आव्यूह के दो स्तंभों से बनता है जिसकी पंक्तियाँ u⃗\vec{u} और v⃗\vec{v} हैं; सदिश गुणनफल के बीजगणितीय गुण इसी अवलोकन पर टिके हैं।

उदाहरणएक सदिश गुणनफल और मानक आधार के गुणनफल

u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} परिकलित कीजिए, जहाँ u⃗=(2,1,0)\vec{u} = \left( 2, 1, 0 \right) और v⃗=(0,2,1)\vec{v} = \left( 0, 2, 1 \right) हैं, और मानक आधार के सदिशों के परस्पर गुणनफल भी परिकलित कीजिए।

प्रमाण

  1. ∣u2u3v2v3∣=∣1021∣=1⋅1−0⋅2=1\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{1 \cdot 1 - 0 \cdot 2} = \dato{c1}{1}

    पहला घटक: पहले घटकों का स्तंभ हटाकर बचे हुए कोटि दो के सारणिक का परिकलन करते हैं।

  2. −∣u1u3v1v3∣=−∣2001∣=−(2−0)=−2-\begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = \resaltar{-\left( 2 - 0 \right)} = \dato{c2}{-2}

    दूसरा घटक: बीच का स्तंभ हटाकर सारणिक का चिह्न बदलते हैं।

  3. ∣u1u2v1v2∣=∣2102∣=4−0=4\begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = \resaltar{4 - 0} = \dato{c3}{4}

    तीसरा घटक: अंतिम स्तंभ हटाते हैं।

  4. u⃗×v⃗=(1,−2,4)\vec{u} \times \vec{v} = \resaltar{\left( 1, -2, 4 \right)}

    तीनों घटकों को एक साथ रखते हैं। आकृति तीनों सदिशों को एक उभयनिष्ठ प्रारंभिक बिंदु से खींचती है; u⃗\vec{u} क्षैतिज समतल में है, और u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v} ऊपर की ओर इंगित करता है।

  5. i⃗×j⃗=k⃗,j⃗×k⃗=i⃗,k⃗×i⃗=j⃗,j⃗×i⃗=−k⃗\vec{i} \times \vec{j} = \resaltar{\vec{k}}, \quad \vec{j} \times \vec{k} = \resaltar{\vec{i}}, \quad \vec{k} \times \vec{i} = \resaltar{\vec{j}}, \qquad \vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}

    परिभाषा से i⃗×j⃗=(0⋅0−0⋅1,0⋅0−1⋅0,1⋅1−0⋅0)=(0,0,1)\vec{i} \times \vec{j} = \left( 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0, 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \right) = \left( 0, 0, 1 \right) है, और अन्य युग्मों के लिए भी इसी प्रकार। मानक आधार का प्रत्येक सदिश, चक्रीय क्रम i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j}, k⃗\vec{k} में अपने बाद वाले सदिश से गुणा करने पर, तीसरा सदिश देता है; उलटे क्रम में, उसका विपरीत।

बीजगणितीय गुण

सदिश गुणनफल के गुण उसके घटकों में पढ़े जा सकते हैं। मान लीजिए D1D_1, D2D_2 और D3D_3 कोटि दो के वे तीन सारणिक हैं जो उन्हें बनाते हैं, स्तंभ चक्रीय क्रम में: D1D_1 उस आव्यूह के दूसरे और तीसरे स्तंभ लेता है जिसकी पंक्तियाँ u⃗\vec{u} और v⃗\vec{v} हैं; D2D_2 तीसरा और पहला, इसी क्रम में; और D3D_3 पहला और दूसरा।

u⃗×v⃗=(∣u2u3v2v3∣,∣u3u1v3v1∣,∣u1u2v1v2∣)\vec{u} \times \vec{v} = \left( \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_3 & u_1 \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix} \right)
प्रमेयसदिश गुणनफल के बीजगणितीय गुण

प्रत्येक सदिश u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} और w⃗\vec{w} के लिए जो R3\mathbb{R}^3 में हैं, और प्रत्येक वास्तविक संख्या ss और tt के लिए: सदिश गुणनफल प्रतिक्रमविनिमेय है, v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}; द्विरैखिक है, अर्थात् प्रत्येक गुणनखंड में रैखिक, (su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v} और v⃗×(su⃗+tw⃗)=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}; और u⃗×u⃗=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}।

तीनों गुण कोटि दो के सारणिकों के गुणों पर आ जाते हैं, जो तीनों घटकों में से प्रत्येक पर लागू किए जाते हैं: “दो पंक्तियों का परस्पर विनिमय” प्रमेयिका और “प्रत्येक पंक्ति में रैखिकता” प्रमेयिका, जो सारणिक वाले पाठ में प्रत्येक कोटि के लिए सिद्ध की गई थीं। आकृति “एक सदिश गुणनफल और मानक आधार के गुणनफल” उदाहरण को आगे बढ़ाती है।

प्रमाण

  1. (u⃗×v⃗)1=∣u2u3v2v3∣,(u⃗×v⃗)2=∣u3u1v3v1∣,(u⃗×v⃗)3=∣u1u2v1v2∣\left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_2 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_3} & \resaltar{u_1} \\ v_3 & v_1 \end{vmatrix}, \quad \left( \vec{u} \times \vec{v} \right)_3 = \begin{vmatrix} \resaltar{u_1} & \resaltar{u_2} \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}

    प्रत्येक घटक DmD_m कोटि दो के एक आव्यूह का सारणिक है जिसकी पहली पंक्ति u⃗\vec{u} से आती है और दूसरी पंक्ति v⃗\vec{v} से, वही दो स्तंभ लेकर।

  2. (v⃗×u⃗)1=∣v2v3u2u3∣=−∣u2u3v2v3∣→v⃗×u⃗=−u⃗×v⃗\left( \vec{v} \times \vec{u} \right)_1 = \begin{vmatrix} \resaltar{v_2} & \resaltar{v_3} \\ \resaltar{u_2} & \resaltar{u_3} \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{a}{\vec{v} \times \vec{u} = -\vec{u} \times \vec{v}}

    यदि u⃗\vec{u} और v⃗\vec{v} को परस्पर बदला जाए, तो प्रत्येक सारणिक की दोनों पंक्तियाँ परस्पर बदल जाती हैं, और विनिमय वाली प्रमेयिका से प्रत्येक घटक का चिह्न बदल जाता है। आकृति में v⃗×u⃗=(−1,2,−4)\vec{v} \times \vec{u} = \left( -1, 2, -4 \right) नीचे की ओर इंगित करता है।

  3. ∣su2+tw2su3+tw3v2v3∣=s∣u2u3v2v3∣+t∣w2w3v2v3∣→(su⃗+tw⃗)×v⃗=s u⃗×v⃗+t w⃗×v⃗\begin{vmatrix} \resaltar{s u_2 + t w_2} & \resaltar{s u_3 + t w_3} \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} = s \begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} + t \begin{vmatrix} w_2 & w_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} \rightarrow \dato{l}{\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v} = s \, \vec{u} \times \vec{v} + t \, \vec{w} \times \vec{v}}

    यदि पहला गुणनखंड su⃗+tw⃗s \vec{u} + t \vec{w} हो, तो प्रत्येक सारणिक की पहली पंक्ति ss गुना u⃗\vec{u} से ली गई पंक्ति और tt गुना w⃗\vec{w} से ली गई पंक्ति का योग है। रैखिकता वाली प्रमेयिका से प्रत्येक घटक इसी प्रकार विघटित होता है।

  4. v⃗×(su⃗+tw⃗)=−(su⃗+tw⃗)×v⃗=−s u⃗×v⃗−t w⃗×v⃗=s v⃗×u⃗+t v⃗×w⃗\vec{v} \times \left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) = \resaltar{-\left( s \vec{u} + t \vec{w} \right) \times \vec{v}} = -s \, \vec{u} \times \vec{v} - t \, \vec{w} \times \vec{v} = \resaltar{s \, \vec{v} \times \vec{u} + t \, \vec{v} \times \vec{w}}

    दूसरे गुणनखंड में रैखिकता ऊपर के दोनों गुणों से निकलती है: क्रम बदला जाता है, पहले गुणनखंड में रैखिकता लागू की जाती है और क्रम फिर से बदला जाता है।

  5. u⃗×u⃗=(u2u3−u3u2,u3u1−u1u3,u1u2−u2u1)=0⃗\vec{u} \times \vec{u} = \left( \resaltar{u_2 u_3 - u_3 u_2}, \resaltar{u_3 u_1 - u_1 u_3}, \resaltar{u_1 u_2 - u_2 u_1} \right) = \vec{0}

    यदि दोनों गुणनखंड समान हों, तो प्रत्येक सारणिक की दो पंक्तियाँ समान होती हैं और वह शून्य है। विशेष रूप से, i⃗×i⃗=j⃗×j⃗=k⃗×k⃗=0⃗\vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0}।

द्विरैखिकता से सदिश गुणनफल को योगों के गुणनफल की तरह वितरित करके और मानक आधार के गुणनफलों का उपयोग करके भी परिकलित किया जाता है। उदाहरण के लिए, (i⃗+2j⃗)×(3k⃗)=3 i⃗×k⃗+6 j⃗×k⃗=−3j⃗+6i⃗\left( \vec{i} + 2 \vec{j} \right) \times \left( 3 \vec{k} \right) = 3 \, \vec{i} \times \vec{k} + 6 \, \vec{j} \times \vec{k} = -3 \vec{j} + 6 \vec{i}। प्रतिक्रमविनिमेयता कहती है कि गुणनखंडों का क्रम मायने रखता है, जैसे आव्यूहों के गुणनफल में, यद्यपि एक बहुत विशेष ढंग से: उसे उलटने से केवल चिह्न बदलता है।

उदाहरणसदिश गुणनफल साहचर्य नियम का पालन नहीं करता

(i⃗×i⃗)×j⃗\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} की तुलना i⃗×(i⃗×j⃗)\vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right) से कीजिए।

प्रमाण

  1. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗×j⃗=0⃗\left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{i}} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \times \vec{j} = \dato{p}{\vec{0}}

    प्रमेय से, किसी सदिश का स्वयं से गुणनफल शून्य सदिश है, और द्विरैखिकता से शून्य सदिश का किसी भी अन्य सदिश से गुणनफल भी।

  2. i⃗×(i⃗×j⃗)=i⃗×k⃗\vec{i} \times \left( \resaltar{\vec{i} \times \vec{j}} \right) = \vec{i} \times \resaltar{\vec{k}}

    दूसरे समूहन में, कोष्ठक के भीतर का गुणनफल मानक आधार वाले उदाहरण से k⃗\vec{k} है।

  3. i⃗×k⃗=−k⃗×i⃗=−j⃗\vec{i} \times \vec{k} = \resaltar{-\vec{k} \times \vec{i}} = \dato{q}{-\vec{j}}

    प्रतिक्रमविनिमेयता से i⃗×k⃗\vec{i} \times \vec{k}, k⃗×i⃗=j⃗\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j} का विपरीत है।

  4. (i⃗×i⃗)×j⃗=0⃗≠−j⃗=i⃗×(i⃗×j⃗)\left( \vec{i} \times \vec{i} \right) \times \vec{j} = \resaltar{\vec{0}} \neq \resaltar{-\vec{j}} = \vec{i} \times \left( \vec{i} \times \vec{j} \right)

    दोनों परिणाम अलग हैं: सदिश गुणनफल साहचर्य नियम का पालन नहीं करता, और u⃗×v⃗×w⃗\vec{u} \times \vec{v} \times \vec{w} जैसे व्यंजक का, बिना कोष्ठकों के, कोई अर्थ नहीं है।

तत्समक अवयव भी नहीं है: कोई भी सदिश e⃗\vec{e}, e⃗×u⃗=u⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{u} को प्रत्येक u⃗\vec{u} के लिए संतुष्ट नहीं करता, क्योंकि e⃗×e⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{e} = \vec{0} से e⃗=0⃗\vec{e} = \vec{0} निकलता, और तब e⃗×u⃗=0⃗\vec{e} \times \vec{u} = \vec{0} प्रत्येक u⃗\vec{u} के लिए लागू होता। अतः सदिश गुणनफल में, वितरणशीलता को छोड़कर, संख्याओं के गुणनफल का कोई भी गुण नहीं है। द्वि सदिश गुणनफल वाला अनुभाग वह सटीक नियम देगा जो साहचर्यता का स्थान लेता है।