समष्टि में रेखाएँ और समतल

सारांश

यह पाठ समष्टि में एक बिंदु और एक दिशा सदिश द्वारा दी गई रेखा का अध्ययन करता है, और समतल का वर्णन सदिश और प्राचलिक रूप में, एक बिंदु और दो दिशा सदिशों द्वारा, तथा कार्तीय रूप में, एक समीकरण $ax + by + cz = d$ द्वारा करता है, जिसके गुणांक एक अभिलंब सदिश बनाते हैं। सदिश गुणनफल दोनों रूपों को जोड़ता है, और सिद्ध किया जाता है कि प्रत्येक समतल का एक कार्तीय समीकरण होता है, जो एक गुणक को छोड़कर अद्वितीय है। समतलों और रेखाओं की सापेक्ष स्थितियाँ रैखिक निकायों में बदल जाती हैं और रूशे-फ्रोबेनियस प्रमेय से वर्गीकृत होती हैं; अदिश त्रिक गुणनफल तय करता है कि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं या विषमतलीय हैं। पाठ समतलों के गुच्छ के साथ, और हवाई जहाज़ों के मार्गों, एक भूभाग के झुकाव और चतुष्फलकों पर प्रश्नों के साथ समाप्त होता है।

अधिगम उद्देश्य

समष्टि की एक रेखा को सदिश, प्राचलिक और सममित रूप में लिखना, तब भी जब दिशा सदिश का कोई घटक शून्य हो, और सिद्ध करना कि दो अलग बिंदुओं से होकर एक और केवल एक रेखा जाती है।
एक समतल को सदिश, प्राचलिक और कार्तीय रूप में लिखना, सदिश गुणनफल से एक रूप से दूसरे रूप में जाना, और तीन असंरेख बिंदुओं से होकर जाने वाला समतल बनाना।
सिद्ध करना कि प्रत्येक समतल का एक कार्तीय समीकरण होता है, जो एक शून्येतर गुणक को छोड़कर अद्वितीय है, और कि $x$ , $y$ और $z$ में प्रत्येक रैखिक समीकरण, जिसका कोई गुणांक शून्येतर हो, एक समतल का वर्णन करता है।
दो या तीन समतलों की, एक रेखा और एक समतल की, और दो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति एक रैखिक निकाय की जातियों और अदिश त्रिक गुणनफल द्वारा तय करना, तब भी जब आँकड़े किसी प्राचल पर निर्भर हों।
समतलों के गुच्छ से वह समतल बनाना जो एक रेखा को समाहित करता है और एक अन्य शर्त पूरी करता है, और रेखाओं तथा समतलों से हवाई नौवहन, निर्माण और डिज़ाइन की स्थितियों का प्रतिरूपण करना।

समष्टि में रेखा

पाठ्यक्रम बीजगणित और ज्यामिति I के समतल में सदिश वाले पाठ में समतल की रेखा का, जो रेखा का समीकरण वाले पाठ से प्रथम घात के एक समीकरण के आलेख के रूप में ज्ञात है, वर्णन $P_0 + t \vec{d}$ के रूप में किया गया था। समष्टि में कोई प्रवणता नहीं होती, और $x$ , $y$ और $z$ में प्रथम घात का एक समीकरण, जैसा कि आगे दिखेगा, एक समतल का वर्णन करता है। यदि ऐसा है, तो क्रम को उलटना उचित है: सदिश वर्णन परिभाषा होगा, और उससे अन्य रूप निगमित किए जाएँगे।

समष्टि के सदिशों और उनके अदिश गुणनफल का अध्ययन समष्टि में सदिश और अदिश गुणनफल वाले पाठ में किया गया था; सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल का, सदिश गुणनफल और अदिश त्रिक गुणनफल वाले पाठ में। समतल की तरह, $Q = P + \vec{v}$ का अर्थ $\vec{PQ} = \vec{v}$ है, और दो शून्येतर सदिश समांतर होते हैं जब एक दूसरे का गुणज हो। चित्रों में अक्ष $y$ दाईं ओर, अक्ष $z$ ऊपर की ओर और अक्ष $x$ दर्शक की ओर जाता है।

मान लीजिए $A$ एक बिंदु है और $\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right)$ एक शून्येतर सदिश। $A$ से होकर जाने वाली और दिशा सदिश $\vec{v}$ वाली रेखा उन बिंदुओं $P$ का समुच्चय है जिनके लिए कोई वास्तविक संख्या $t$ ऐसी हो कि $P = A + t \vec{v}$ ; संख्या $t$ को $P$ का प्राचल कहते हैं।

P = A + t \vec{v}, \quad t \in \mathbb{R}

प्रत्येक बिंदु का प्राचल अद्वितीय है: यदि $A + t \vec{v} = A + s \vec{v}$ , तो $\left( t - s \right) \vec{v} = \vec{0}$ , और चूँकि $\vec{v}$ शून्य नहीं है, $t = s$ । $A = (x_0, y_0, z_0)$ और $P = (x, y, z)$ के लिए, घटकों में लिखा गया सदिश समीकरण रेखा के प्राचलिक समीकरण देता है:

\begin{cases} x = x_0 + t v_1 \\ y = y_0 + t v_2 \\ z = z_0 + t v_3 \end{cases}

यदि प्राचल समय हो, तो ये समीकरण वेग $\vec{v}$ वाली एकसमान गति का वर्णन करते हैं, समतल की तरह। एक ही रेखा के अनेक आरंभ बिंदु और अनेक दिशा सदिश हो सकते हैं; नीचे की प्रमेय दिखाती है कि उसके दो बिंदु उसे निर्धारित करते हैं।

प्रमेयदो बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा

दो अलग बिंदुओं $A$ और $B$ से होकर एक और केवल एक रेखा जाती है, वह जिसका समीकरण $P = A + t \vec{AB}$ है। फलस्वरूप, समीकरण $P = A + t \vec{v}$ और $P = C + s \vec{w}$ एक ही रेखा का वर्णन करते हैं यदि और केवल यदि $C$ पहली रेखा पर हो और $\vec{w}$ , $\vec{v}$ के समांतर हो।

चित्र में $A = (2, 0, 1)$ और $B = (1, 2, 2)$ , जिससे $\vec{AB} = \left( -1, 2, 1 \right)$ , और दूसरी रेखा $C = (0, 4, 3)$ से होकर दिशा सदिश $\vec{v} = \left( 1, -2, -1 \right)$ के साथ जाती है।

प्रमाण

$A + \resaltar{0} \cdot \vec{AB} = A, \qquad A + \resaltar{1} \cdot \vec{AB} = B$
अस्तित्व: सदिश $\vec{AB}$ शून्य नहीं है, क्योंकि $A \neq B$ , और $A$ से होकर उस दिशा सदिश के साथ जाने वाली रेखा $A$ को, प्राचल $0$ के साथ, और $B$ को, प्राचल $1$ के साथ, समाहित करती है।
$\dato{ab}{A = C + t_1 \vec{v}, \qquad B = C + t_2 \vec{v}}$
अद्वितीयता: मान लीजिए $r$ कोई भी रेखा है, $P = C + t \vec{v}$ , जो $A$ और $B$ को समाहित करती है, और $t_1$ तथा $t_2$ उनके प्राचल हैं। चित्र में $t_1 = 2$ और $t_2 = 1$ ।
$\vec{AB} = t_2 \vec{v} - t_1 \vec{v} = \dato{d}{\resaltar{\left( t_2 - t_1 \right)} \vec{v}}$
शाल संबंध से, $\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA}$ । प्राचल अलग हैं, क्योंकि $A \neq B$ ; अतः $\vec{AB}$ , $\vec{v}$ के समांतर है। चित्र में $\vec{AB} = -\vec{v}$ ।
$C + t \vec{v} = A + \left( t - t_1 \right) \vec{v} = A + \resaltar{\frac{t - t_1}{t_2 - t_1}} \vec{AB}$
$r$ का प्रत्येक बिंदु रेखा $AB$ पर है: हम $A$ से आरंभ करते हैं, $C$ के स्थान पर, और $\vec{v}$ के स्थान पर $\vec{AB}$ के पदों में उसका व्यंजक रखते हैं। चित्र में $r$ का प्राचल $\frac{1}{2}$ वाला बिंदु रेखा $AB$ का प्राचल $\frac{3}{2}$ वाला बिंदु है।
$A + s \vec{AB} = A + s \left( t_2 - t_1 \right) \vec{v} = C + \resaltar{\left( t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) \right)} \vec{v}$
विलोमतः, प्राचल $s$ वाला बिंदु (रेखा $AB$ का) प्राचल $t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right)$ वाला बिंदु है (रेखा $r$ का): दोनों रेखाओं के बिंदु एक ही हैं। दूसरे कथन के लिए: यदि समीकरण एक ही रेखा का वर्णन करते हैं, तो $C$ और $C + \vec{w}$ उस पर हैं, और प्रमाण के तीसरे क़दम से $\vec{w}$ , $\vec{v}$ का गुणज है; यदि $C$ पहली रेखा पर है और $\vec{w} = k \vec{v}$ , तो पहली रेखा $C$ और $C + \vec{w}$ को समाहित करती है, और वह उनसे होकर जाने वाली रेखा है।

इससे यह निकलता है कि दो अलग रेखाओं में अधिक से अधिक एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है: यदि उनमें दो बिंदु उभयनिष्ठ होते, तो वे उनसे होकर जाने वाली एकमात्र रेखा होतीं। तीन बिंदु संरेख होते हैं जब कोई रेखा उन्हें समाहित करती हो। यदि $A \neq B$ , तो बिंदु $C$ उनके साथ संरेख है यदि और केवल यदि $C = A + t \vec{AB}$ , किसी $t$ के लिए, अर्थात् यदि और केवल यदि $\vec{AC}$ , $\vec{AB}$ का गुणज हो।

सममित रूप

प्राचल को अलग करके और परिणामों को बराबर रखकर प्राचल-रहित समीकरण प्राप्त होते हैं, दिशा सदिश के शून्य घटकों का ध्यान रखते हुए।

साध्यरेखा का सममित रूप

मान लीजिए $r$ वह रेखा है जो $A = (x_0, y_0, z_0)$ से होकर दिशा सदिश $\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right)$ के साथ जाती है। यदि $\vec{v}$ के तीनों घटक शून्येतर हैं, तो एक बिंदु $(x, y, z)$ रेखा $r$ पर है यदि और केवल यदि नीचे दी गई समताएँ लागू होती हैं। यदि केवल $v_2$ शून्य है, तो शर्त $\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{z - z_0}{v_3}$ और $y = y_0$ है; यदि $v_2$ और $v_3$ शून्य हैं, तो शर्त $y = y_0$ और $z = z_0$ है। जिन स्थितियों में अन्य घटक शून्य होते हैं, वे निर्देशांकों की भूमिकाओं को परस्पर बदलकर प्राप्त होती हैं।

\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}

चित्र में $A = (1, 2, -1)$ और $\vec{v} = \left( 2, 0, 4 \right)$ , वह सदिश जो $A$ से $B = (3, 2, 3)$ तक जाता है।

प्रमाण

$\frac{x - x_0}{v_1} = \resaltar{t}, \quad \frac{y - y_0}{v_2} = \resaltar{t}, \quad \frac{z - z_0}{v_3} = \resaltar{t}$
यदि तीनों घटक शून्येतर हैं और $P = A + t \vec{v}$ , तो हम प्रत्येक प्राचलिक समीकरण से $t$ को अलग करते हैं: तीनों भागफल $t$ के बराबर हैं।
$x = x_0 + \resaltar{t} v_1, \quad y = y_0 + \resaltar{t} v_2, \quad z = z_0 + \resaltar{t} v_3$
विलोमतः, यदि तीनों भागफल बराबर हैं, तो हम उनके उभयनिष्ठ मान को $t$ कहते हैं; प्रत्येक समता को उसके हर से गुणा करने पर प्राचलिक समीकरण पुनः प्राप्त होते हैं, और $P = A + t \vec{v}$ रेखा $r$ पर है।
$\frac{x - 1}{2} = \frac{z + 1}{4}, \quad \resaltar{y = 2}$
यदि केवल $v_2$ शून्य है, तो दूसरा समीकरण $y = y_0$ है, प्रत्येक $t$ के लिए, और उसे अलग लिखा जाता है, क्योंकि $0$ से भाग देने का कोई अर्थ नहीं है। चित्र में रेखा समतल $y = 2$ में स्थित है।
$\resaltar{y = 2}, \quad \resaltar{z = -1}$
यदि $v_2$ और $v_3$ शून्य हैं, तो अंतिम दो समीकरण $y$ और $z$ को स्थिर करते हैं, और प्रत्येक $x$ के लिए प्राचल $t = \frac{x - x_0}{v_1}$ बिंदु देता है: रेखा अक्ष $x$ के समांतर वह रेखा है जो $A$ से होकर खींची गई है, और जो चित्र में पृष्ठभूमि में दिखती है।
$\frac{4 - 1}{2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}, \qquad \frac{2 - 1}{2} \neq \frac{2 + 1}{4}$
चित्र में जाँच: $C = (4, 2, 5)$ रेखा पर है, प्राचल $\frac{3}{2}$ के साथ, और $D = (2, 2, 2)$ नहीं है, यद्यपि वह $y = 2$ को संतुष्ट करता है।

सममित रूप की प्रत्येक समता प्रथम घात का एक समीकरण है: चित्र की रेखा $2x - z = 3$ और $y = 2$ के हलों का समुच्चय है। जब यह दिखेगा कि ऐसा प्रत्येक समीकरण एक समतल का वर्णन करता है, तो इसका अर्थ होगा कि रेखा दो समतलों का प्रतिच्छेद है, उसका अस्पष्ट रूप।

इस पाठ के शेष भाग में

समष्टि में समतल
सदिश समीकरण और प्राचलिक समीकरण
कार्तीय समीकरण और अभिलंब सदिश
समांतरता और लंबता
रैखिक निकायों के रूप में सापेक्ष स्थितियाँ
दो समतल
तीन समतल
एक रेखा और एक समतल
दो रेखाएँ
समतलों का गुच्छ
हल किए गए प्रश्न
एक रेखा को समाहित करने वाला और दूसरी के समांतर समतल
एक प्राचल पर निर्भर तीन समतल
निर्माण के लिए एक भूभाग का झुकाव
तीन हवाई जहाज़ों के मार्ग
एक चतुष्फलक की द्विमाध्यिकाएँ
अभ्यास प्रश्न
दो प्राचलों वाली एक रेखा और एक समतल
एक रेखा का एक समतल पर प्रक्षेप
अन्य दो रेखाओं को काटने वाली रेखा
एक घन में काटने वाला एक समतल
दो सम्मुख किनारों के समांतर एक चतुष्फलक के परिच्छेद

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