विश्लेषणात्मक त्रिकोणमिति: सारांश और चुनौतियाँ

1. खंड 1 भाषा: सर्वसमिकाएँ और उनकी उपपत्ति

   • सर्वसमिका को ऐसी समिका के रूप में परिभाषित करना जो अपने पक्षों के पूरे उभयनिष्ठ प्रांत में सत्य हो, और उसे समीकरण से अलग पहचानना।
   • व्युत्क्रम, भागफल, पाइथागोरस, समता और पूरक कोण संबंधी सर्वसमिकाओं को एकत्र करना।
   • सिद्ध की जाने वाली बात से आरंभ किए बिना सर्वसमिकाएँ सिद्ध करना, और असत्य सर्वसमिकाओं को प्रत्युदाहरण से असत्य सिद्ध करना।
   • प्रतिस्थापनों द्वारा करणियों को रूपांतरित करना, और दीर्घवृत्त तथा अतिपरवलय को उनके त्रिकोणमितीय प्राचलीकरणों में पहचानना।

   1. सर्वसमिका और उसकी उपपत्ति. सर्वसमिका ऐसी समिका है जो अपने दोनों पक्षों के पूरे उभयनिष्ठ प्रांत में सत्य हो; उसे एक पक्ष को दूसरे में, या दोनों को एक ही व्यंजक में, रूपांतरित करके सिद्ध किया जाता है, उससे आरंभ किए बिना, और एक ही प्रत्युदाहरण से असत्य सिद्ध किया जाता है।

      सिद्ध किया गया: आधारभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ.

   2. आधारभूत सर्वसमिकाएँ. हर एक के उभयनिष्ठ प्रांत में व्युत्क्रम, भागफल और पाइथागोरस सर्वसमिकाएँ सत्य हैं; ज्या, स्पर्शज्या, कोछेदक और कोस्पर्शज्या विषम हैं, कोज्या और छेदक सम हैं, और $\frac{\pi}{2} - \theta$ का प्रत्येक फलन $\theta$ के अपने पूरक फलन के बराबर है।

      उपयोग करती है: 1. सर्वसमिका और उसकी उपपत्ति. आधार: A (मात्रक वृत्त). सिद्ध किया गया: आधारभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ.

   3. त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन. यदि $\theta = \arcsin x$, तो $\sqrt{1 - x^2} = \cos \theta$; यदि $\theta = \arctan x$, तो $\sqrt{1 + x^2} = \sec \theta$; और यदि $x \geq 1$ और $\theta = \arccos \frac{1}{x}$, तो $\sqrt{x^2 - 1} = \tan \theta$।

      उपयोग करती है: 2. आधारभूत सर्वसमिकाएँ. आधार: F (पाइथागोरस सर्वसमिका), B (प्रतिलोम फलन). सिद्ध किया गया: आधारभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ.

   4. प्राचलिक दीर्घवृत्त और अतिपरवलय. जब $t$ अंतराल $\ico{0}{2\pi}$ में चलता है, तो बिंदु $(a \cos t, b \sin t)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ को ठीक एक बार तय करता है; और बिंदु $(a \sec t, b \tan t)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की दाहिनी शाखा को ठीक एक बार तय करता है जब $t$ अंतराल $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ में चलता है, और बाईं शाखा को जब वह $\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}$ में चलता है।

      उपयोग करती है: 2. आधारभूत सर्वसमिकाएँ. आधार: A (मात्रक वृत्त), F (पाइथागोरस सर्वसमिका). सिद्ध किया गया: आधारभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ.

2. खंड 2 अंतर की कोज्या का सूत्र और उसके परिणाम

   • मात्रक वृत्त की एक जीवा को दो प्रकार से परिकलित करके अंतर की कोज्या सिद्ध करना।
   • उससे योग और अंतर की कोज्या और ज्या, और योग की स्पर्शज्या निगमित करना।
   • द्विगुण कोण, घात-न्यूनीकरण, अर्ध कोण और त्रिगुण कोण के सूत्र प्राप्त करना।
   • ज्या और कोज्या को $t = \tan \frac{\theta}{2}$ के परिमेय भिन्नों के रूप में व्यक्त करना, वृत्त का परिमेय प्राचलीकरण करना और सभी पाइथागोरस त्रिक उत्पन्न करना।

   5. अंतर की कोज्या. सभी वास्तविक संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ के लिए $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$ सत्य है, क्योंकि $P(\alpha)$ को $P(\beta)$ से मिलाने वाली जीवा की लंबाई कार्तीय निर्देशांकों में और ध्रुवीय निर्देशांकों में परिकलित करने पर समान आती है।

      आधार: C (ध्रुवीय निर्देशांक), D (समतल की विश्लेषिक ज्यामिति), F (पाइथागोरस सर्वसमिका). सिद्ध किया गया: योग और अंतर, द्विगुण कोण और अर्ध कोण के सूत्र.

   6. योग के सूत्र. समता और पूरक कोण संबंधों से $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$, $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ और अंतर की ज्या प्राप्त होती हैं; और, यदि $\alpha$ और $\beta$ की स्पर्शज्याएँ परिभाषित हैं और $\tan \alpha \tan \beta \neq 1$, तो $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$।

      उपयोग करती है: 2. आधारभूत सर्वसमिकाएँ, 5. अंतर की कोज्या. सिद्ध किया गया: योग और अंतर, द्विगुण कोण और अर्ध कोण के सूत्र.

   7. द्विगुण कोण. $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$, $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta$ और, जहाँ परिभाषित हो, $\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ सत्य हैं।

      आधार: G (योग के सूत्र), F (पाइथागोरस सर्वसमिका). सिद्ध किया गया: योग और अंतर, द्विगुण कोण और अर्ध कोण के सूत्र.

   8. घात-न्यूनीकरण और अर्ध कोण. $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ और $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ सत्य हैं; इनसे, $\frac{\theta}{2}$ की ज्या और कोज्या, अपने चतुर्थांश के चिह्न के साथ, $\frac{1 - \cos \theta}{2}$ और $\frac{1 + \cos \theta}{2}$ के वर्गमूल हैं, और $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$ होता है, यदि $\cos \theta \neq -1$।

      उपयोग करती है: 7. द्विगुण कोण. आधार: F (पाइथागोरस सर्वसमिका). सिद्ध किया गया: योग और अंतर, द्विगुण कोण और अर्ध कोण के सूत्र.

   9. त्रिगुण कोण. प्रत्येक वास्तविक संख्या $\theta$ के लिए $\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$ और $\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ सत्य हैं।

      उपयोग करती है: 7. द्विगुण कोण. आधार: F (पाइथागोरस सर्वसमिका), G (योग के सूत्र). सिद्ध किया गया: योग और अंतर, द्विगुण कोण और अर्ध कोण के सूत्र.

   10. अर्ध कोण की स्पर्शज्या. यदि $\theta$, $\pi$ का विषम गुणज नहीं है और $t = \tan \frac{\theta}{2}$, तो $\sin \theta = \frac{2t}{1 + t^2}$ और $\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$।

       उपयोग करती है: 7. द्विगुण कोण. आधार: F (पाइथागोरस सर्वसमिका). सिद्ध किया गया: योग और अंतर, द्विगुण कोण और अर्ध कोण के सूत्र.

   11. परिमेय प्राचलीकरण. प्रवणता $t$ वाली और $(-1, 0)$ से गुजरने वाली रेखा मात्रक वृत्त को फिर से $\left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{2t}{1 + t^2} \right)$ पर काटती है; वृत्त का हर अन्य बिंदु इसी प्रकार एक अद्वितीय $t$ के लिए प्राप्त होता है, और वह परिमेय है यदि और केवल यदि $t$ परिमेय है।

       उपयोग करती है: 10. अर्ध कोण की स्पर्शज्या. आधार: E (पाठ्यक्रम I का बीजगणित और अंकगणित). सिद्ध किया गया: योग और अंतर, द्विगुण कोण और अर्ध कोण के सूत्र.

   12. पाइथागोरस त्रिक. आद्य पाइथागोरस त्रिक, जिनमें $b$ सम है, ठीक-ठीक $a = m^2 - n^2$, $b = 2mn$ और $c = m^2 + n^2$ हैं, जहाँ $m > n$, $\operatorname{HCF}(m, n) = 1$ और $m - n$ विषम है।

       उपयोग करती है: 11. परिमेय प्राचलीकरण. आधार: E (पाठ्यक्रम I का बीजगणित और अंकगणित). सिद्ध किया गया: योग और अंतर, द्विगुण कोण और अर्ध कोण के सूत्र.

3. खंड 3 रूपांतरण और हरात्मक रूप

   • योग और अंतर के सूत्रों को जोड़कर और घटाकर गुणनफलों को योगों में और योगों को गुणनफलों में बदलना।
   • प्रत्येक व्यंजक $a \sin x + b \cos x$ को एक ही तरंग $R \sin(x + \varphi)$ के रूप में लिखना और उसका परिसर प्राप्त करना।
   • समान आवृत्ति वाले दोलनों को मिलाना और विस्पंदों की व्याख्या करना।
   • एक दूरदर्शी योग द्वारा समांतर श्रेढ़ी में ज्याओं और कोज्याओं का योग करना।

   13. गुणनफल से योग. $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right)$ सत्य है, और इसी प्रकार $\cos \alpha \sin \beta$, $\cos \alpha \cos \beta$ और $\sin \alpha \sin \beta$, $\alpha + \beta$ और $\alpha - \beta$ की ज्याओं या कोज्याओं के अर्ध-योग या अर्ध-अंतर हैं।

       आधार: G (योग के सूत्र). सिद्ध किया गया: योगों का गुणनफलों में रूपांतरण और हरात्मक रूप.

   14. योग से गुणनफल. सभी वास्तविक संख्याओं $p$ और $q$ के लिए $\sin p + \sin q = 2 \sin \frac{p + q}{2} \cos \frac{p - q}{2}$ सत्य है, और $\sin p - \sin q$, $\cos p + \cos q$ तथा $\cos p - \cos q$ के लिए भी इसी तरह के सूत्र हैं; इससे $\sin(ax) + \sin(bx)$ के विस्पंद निकलते हैं।

       उपयोग करती है: 13. गुणनफल से योग. सिद्ध किया गया: योगों का गुणनफलों में रूपांतरण और हरात्मक रूप.

   15. हरात्मक रूप. यदि $a$ और $b$ दोनों शून्य नहीं हैं और $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, तो एक अद्वितीय $\varphi$ विद्यमान है, जो $\ico{0}{2\pi}$ में है, ऐसा कि $a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \varphi)$ होता है, प्रत्येक $x$ के लिए; यह रूप अद्वितीय है, और फलन का परिसर $\icc{-R}{R}$ है।

       आधार: A (मात्रक वृत्त), D (समतल की विश्लेषिक ज्यामिति), F (पाइथागोरस सर्वसमिका), G (योग के सूत्र). सिद्ध किया गया: योगों का गुणनफलों में रूपांतरण और हरात्मक रूप.

   16. दोलनों का अध्यारोपण. जब तक वे एक-दूसरे को निरस्त न करें, दोलन $A_1 \sin(\omega t + \varphi_1)$ और $A_2 \sin(\omega t + \varphi_2)$ मिलकर समान आवृत्ति का एक दोलन देते हैं, जिसका आयाम $A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2)$ को संतुष्ट करता है।

       उपयोग करती है: 5. अंतर की कोज्या, 15. हरात्मक रूप. आधार: F (पाइथागोरस सर्वसमिका), G (योग के सूत्र). सिद्ध किया गया: योगों का गुणनफलों में रूपांतरण और हरात्मक रूप.

   17. समांतर श्रेढ़ी में योग. यदि $x$, $2\pi$ का पूर्णांक गुणज नहीं है, तो $\sum_{k=1}^{n} \sin(kx) = \frac{\sin \frac{nx}{2} \sin \frac{(n + 1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}$ सत्य है, और कोज्याओं का योग $\cos \frac{(n + 1)x}{2}$ को $\sin \frac{(n + 1)x}{2}$ के स्थान पर रखकर प्राप्त होता है।

       उपयोग करती है: 13. गुणनफल से योग, 14. योग से गुणनफल. आधार: E (पाठ्यक्रम I का बीजगणित और अंकगणित). सिद्ध किया गया: योगों का गुणनफलों में रूपांतरण और हरात्मक रूप.

4. खंड 4 समीकरण और असमीकरण

   • प्रतिलोम फलनों और आवर्तिता से $\sin x = c$, $\cos x = c$ और $\tan x = c$ के व्यापक हल प्राप्त करना।
   • बाकी समीकरणों को सर्वसमिकाओं, गुणनखंडन, दो ज्याओं या दो कोज्याओं की बराबरी और हरात्मक रूप द्वारा प्रारंभिक समीकरणों में समानीत करना।
   • भाग देते समय हल न खोना और वर्ग करते समय हल न जोड़ना।
   • असमीकरणों को एक चक्कर में, मात्रक वृत्त या चिह्न-सारणियों के साथ, हल करना और उन्हें आवर्ती रूप से विस्तारित करना।

   18. व्यापक हल. यदि $\abs{c} \leq 1$, तो $\sin x = c$ के हल $\arcsin c + 2k\pi$ और $\pi - \arcsin c + 2k\pi$ हैं, और $\cos x = c$ के, $\arccos c + 2k\pi$ और $-\arccos c + 2k\pi$; प्रत्येक वास्तविक संख्या $c$ के लिए, $\tan x = c$ के हल $\arctan c + k\pi$ हैं, जहाँ $k$ पूर्णांक है।

       उपयोग करती है: 2. आधारभूत सर्वसमिकाएँ. आधार: A (मात्रक वृत्त), B (प्रतिलोम फलन). सिद्ध किया गया: त्रिकोणमितीय समीकरण और असमीकरण.

   19. ज्याओं और कोज्याओं की बराबरी. $\sin A = \sin B$ सत्य है यदि और केवल यदि $A = B + 2k\pi$ या $A = \pi - B + 2k\pi$, और $\cos A = \cos B$ यदि और केवल यदि $A = B + 2k\pi$ या $A = -B + 2k\pi$, किसी पूर्णांक $k$ के लिए; दो परिभाषित स्पर्शज्याएँ बराबर हैं यदि और केवल यदि $A = B + k\pi$।

       उपयोग करती है: 14. योग से गुणनफल. आधार: A (मात्रक वृत्त), G (योग के सूत्र). सिद्ध किया गया: त्रिकोणमितीय समीकरण और असमीकरण.

   20. बहुपद और समघात समीकरण. समीकरण $P(\sin x) = 0$ समीकरणों $\sin x = r$ के तुल्य है, जहाँ $r$, $P$ के वास्तविक मूल हैं; $\sin x$ और $\cos x$ में एक समघात समीकरण, कोज्या के शून्यकों की अलग से जाँच करके, $\tan x$ में एक बहुपद समीकरण में समानीत होता है; और वर्ग करने पर प्राप्त हर हल की जाँच करनी चाहिए।

       उपयोग करती है: 18. व्यापक हल. आधार: E (पाठ्यक्रम I का बीजगणित और अंकगणित). सिद्ध किया गया: त्रिकोणमितीय समीकरण और असमीकरण.

   21. ज्या और कोज्या में रैखिक समीकरण. समीकरण $a \sin x + b \cos x = c$ का हल है यदि और केवल यदि $c^2 \leq a^2 + b^2$, और तब उसके हल $-\varphi + \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi$ और $\pi - \varphi - \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi$ हैं, जहाँ $R$ और $\varphi$ हरात्मक रूप वाले हैं।

       उपयोग करती है: 15. हरात्मक रूप, 18. व्यापक हल. सिद्ध किया गया: त्रिकोणमितीय समीकरण और असमीकरण.

   22. असमीकरण. यदि $-1 < c < 1$ और $\beta = \arccos c$, तो $\cos x > c$ सत्य है यदि और केवल यदि $-\beta + 2k\pi < x < \beta + 2k\pi$, किसी पूर्णांक $k$ के लिए, और ज्या के लिए भी इसी तरह का कथन सत्य है; त्रिकोणमितीय गुणनखंडों के गुणनफलों और भागफलों को एक चक्कर में चिह्न-सारणी से हल किया जाता है।

       उपयोग करती है: 18. व्यापक हल. आधार: A (मात्रक वृत्त), B (प्रतिलोम फलन), E (पाठ्यक्रम I का बीजगणित और अंकगणित). सिद्ध किया गया: त्रिकोणमितीय समीकरण और असमीकरण.

5. खंड 5 वैश्लेषिक ज्यामिति: रेखाएँ और शांकव

   • दो रेखाओं के बीच के कोण को अंतर की स्पर्शज्या से और अदिश गुणनफल से मापना।
   • दो रेखाओं के कोण समद्विभाजक और किसी त्रिभुज का अंतःकेंद्र प्राप्त करना।
   • दुर्गम ऊँचाइयों, सरल आवर्त गति, किसी प्रक्षेप्य के परास और प्रकाश के परावर्तन का मॉडल बनाना।
   • घूर्णन सूत्र निगमित करना, $xy$ वाले पद का विलोपन करना और द्वितीय घात के प्रत्येक समीकरण का विविक्तकर के चिह्न द्वारा वर्गीकरण करना।

   23. रेखाओं के बीच का कोण. किसी ऐसी रेखा की प्रवणता, जो ऊर्ध्वाधर नहीं है, उसके झुकाव कोण की स्पर्शज्या है; प्रवणताओं $m_1$ और $m_2$ वाली दो रेखाएँ लंबवत हैं यदि और केवल यदि $1 + m_1 m_2 = 0$, और यदि वे लंबवत नहीं हैं, तो उनके बीच का कोण $\theta$, $\tan \theta = \abs{\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}}$ को संतुष्ट करता है, जो उनके दिशा सदिशों के अदिश गुणनफल वाले सूत्र से मेल खाता है।

       उपयोग करती है: 5. अंतर की कोज्या, 6. योग के सूत्र. आधार: B (प्रतिलोम फलन), D (समतल की विश्लेषिक ज्यामिति), F (पाइथागोरस सर्वसमिका), H (यूक्लिडीय ज्यामिति). सिद्ध किया गया: दो रेखाओं के बीच का कोण और त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग.

   24. कोण समद्विभाजक और अंतःकेंद्र. दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से समदूरस्थ बिंदु दो परस्पर लंबवत रेखाएँ बनाते हैं, कोण समद्विभाजक, जिनमें से प्रत्येक शीर्षाभिमुख कोणों के एक अलग युग्म को समद्विभाजित करती है; और किसी त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोण समद्विभाजक, जिनमें से प्रत्येक सम्मुख भुजा को काटता है, एक आंतरिक बिंदु पर मिलते हैं, अंतःकेंद्र, जो अंतःवृत्त का केंद्र है।

       उपयोग करती है: 8. घात-न्यूनीकरण और अर्ध कोण. आधार: D (समतल की विश्लेषिक ज्यामिति), H (यूक्लिडीय ज्यामिति). सिद्ध किया गया: दो रेखाओं के बीच का कोण और त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग.

   25. प्रक्षेप्य का परास. भौतिकी से गति के समीकरणों को स्वीकार करके, जो एकसमान क्षैतिज प्रगति को एकसमान त्वरित पतन के साथ जोड़ते हैं, चाल $v$ और उन्नयन $\theta$ के साथ प्रक्षिप्त प्रक्षेप्य का परास $\frac{v^2 \sin 2\theta}{g}$ है; यह $\theta = \frac{\pi}{4}$ के लिए अधिकतम है, और प्रत्येक कम परास ठीक दो कोणों से प्राप्त होता है, जो पूरक हैं।

       उपयोग करती है: 18. व्यापक हल, 7. द्विगुण कोण. सिद्ध किया गया: दो रेखाओं के बीच का कोण और त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग.

   26. घूर्णन सूत्र. यदि अक्ष कोण $\theta$ से घूमते हैं, तो नए निर्देशांक $X = x \cos \theta + y \sin \theta$ और $Y = -x \sin \theta + y \cos \theta$ हैं, और दो बिंदुओं के बीच की दूरी नहीं बदलती।

       आधार: A (मात्रक वृत्त), C (ध्रुवीय निर्देशांक), F (पाइथागोरस सर्वसमिका), G (योग के सूत्र). सिद्ध किया गया: अक्षों का घूर्णन और द्वितीय घात का व्यापक समीकरण.

   27. घूर्णन के बाद के गुणांक. अक्षों को घुमाने पर समीकरण $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ अपना अचर पद बनाए रखता है, और $XY$ का उसका नया गुणांक $B_1 = B \cos 2\theta - (A - C) \sin 2\theta$ है।

       उपयोग करती है: 26. घूर्णन सूत्र, 7. द्विगुण कोण. सिद्ध किया गया: अक्षों का घूर्णन और द्वितीय घात का व्यापक समीकरण.

   28. xy वाले पद का विलोपन. यदि $B \neq 0$, तो एक अद्वितीय कोण $\theta$ है, जो $\ioo{0}{\frac{\pi}{2}}$ में है और जिसका घूर्णन $B_1$ को शून्य कर देता है: वह जो $\cot 2\theta = \frac{A - C}{B}$ को संतुष्ट करता है।

       उपयोग करती है: 27. घूर्णन के बाद के गुणांक. आधार: B (प्रतिलोम फलन). सिद्ध किया गया: अक्षों का घूर्णन और द्वितीय घात का व्यापक समीकरण.

   29. घूर्णन के निश्चर. घूर्णन के प्रत्येक कोण के लिए $A_1 + C_1 = A + C$ और $B_1^2 - 4A_1C_1 = B^2 - 4AC$ सत्य हैं।

       उपयोग करती है: 27. घूर्णन के बाद के गुणांक, 7. द्विगुण कोण. आधार: F (पाइथागोरस सर्वसमिका). सिद्ध किया गया: अक्षों का घूर्णन और द्वितीय घात का व्यापक समीकरण.

   30. विविक्तकर द्वारा वर्गीकरण. यदि $A$, $B$ और $C$ सभी शून्य नहीं हैं और $\Delta = B^2 - 4AC$, तो समीकरण एक दीर्घवृत्त, एक बिंदु या कोई बिंदु नहीं निरूपित करता है यदि $\Delta < 0$; एक परवलय, दो समांतर रेखाएँ, एक रेखा या कोई बिंदु नहीं यदि $\Delta = 0$; और एक अतिपरवलय या दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ यदि $\Delta > 0$।

       उपयोग करती है: 26. घूर्णन सूत्र, 28. xy वाले पद का विलोपन, 29. घूर्णन के निश्चर. आधार: D (समतल की विश्लेषिक ज्यामिति). सिद्ध किया गया: अक्षों का घूर्णन और द्वितीय घात का व्यापक समीकरण.

ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं की ओर. $\cos \alpha + i \sin \alpha$ को $\cos \beta + i \sin \beta$ से गुणा करने पर $\alpha + \beta$ की कोज्या और ज्या प्रकट होती हैं: योग के सूत्र सम्मिश्र संख्याओं के गुणन का नियम हैं, और बाद वाली इकाई उन्हें एक ही सूत्र में, डी मॉयवर सूत्र में, एकत्र करती है।