लोपिताल नियम

शून्य बटा शून्य रूप

सीमाओं के बीजगणित वाले पाठ का उपप्रमेय “भागफल की सीमा” माँगता है कि हर की सीमा शून्य से अलग हो। यदि अंश और हर दोनों $0$ की ओर अग्रसर हों, तो भागफल किसी भी संख्या की ओर, या अनंत की ओर अग्रसर हो सकता है, या उसकी सीमा न भी हो: $\frac{3x}{x}$, $3$ की ओर अग्रसर होता है, $\frac{x^2}{x}$, $0$ की ओर, और $\frac{x \sin \frac{1}{x}}{x}$ की $0$ पर कोई सीमा नहीं है। इसीलिए कहा जाता है कि $\frac{0}{0}$ एक अनिर्धार्य रूप है: प्रत्येक पद की सीमा भागफल की सीमा निर्धारित नहीं करती। तुल्य अनंतसूक्ष्मों वाले पाठ ने इनमें से बहुत-सी सीमाएँ निकालीं, प्रत्येक गुणनखंड को उसकी सारणी के किसी तुल्य गुणनखंड से प्रतिस्थापित करके; परंतु $x - \sin x$ जैसा अंतर सारणी के गुणनखंडों का गुणनफल नहीं है, और उसके पदों को प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता।

अवकलज एक और रास्ता सुझाता है। यदि $f(a) = g(a) = 0$, यदि $f$ और $g$, $a$ पर अवकलनीय हों और यदि $g'(a) \neq 0$, तो अंश और हर को $x - a$ से विभाजित करने पर भागफल अंतर-भागफलों का भागफल बन जाता है, और उपप्रमेय “भागफल की सीमा” देता है:

परंतु प्रायः $g'(a)$ भी शून्य होता है, या $f$ और $g$, $a$ पर परिभाषित नहीं होते। लोपिताल नियम $a$ पर अवकलजों के मानों के स्थान पर $a$ के निकट उनके भागफल की सीमा रखता है। साधन फ़र्मा, रोल, लाग्रांज और कॉशी के प्रमेय वाले पाठ की कॉशी की माध्यमान प्रमेय है: यदि $f$ और $g$, $\icc{a}{b}$ पर संतत हों, जहाँ $a < b$, और $\ioo{a}{b}$ के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय हों, और यदि $g'(x) \neq 0$ प्रत्येक $x$ के लिए जो $\ioo{a}{b}$ में है, तो $g(b) \neq g(a)$ और कोई $c$ विद्यमान है, जो $\ioo{a}{b}$ में है, जिसके लिए $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$। लाग्रांज की प्रमेय के दो अनुप्रयोग दो अलग बिंदु देते, परंतु कॉशी की प्रमेय अंश और हर के लिए एक ही बिंदु देती है।

यह जानना आवश्यक नहीं कि $c$, $x$ पर कैसे निर्भर करता है, न यह कि वह अद्वितीय है: इतना पर्याप्त है कि वह $a$ और $x$ के बीच हो। परिकल्पना $g' \neq 0$ पूरे अंतराल $\ioo{a}{b}$ पर माँगी जाती है, क्योंकि कॉशी की प्रमेय उसे प्रत्येक $\icc{a}{x}$ पर प्रयोग करती है; चूँकि सीमा केवल निकट के मानों पर निर्भर करती है, ऐसा कोई अंतराल $\ioo{a}{b}$ ढूँढ़ना पर्याप्त है जहाँ वह सत्य हो, चाहे वह कितना भी छोटा हो। इसके विपरीत, यह पर्याप्त नहीं कि हर का अवकलज केवल ऐसे पृथक बिंदुओं पर शून्य हो जो उस बिंदु पर संचित होते हैं, या जो चर के अनंत की ओर अग्रसर होने पर परिबद्ध नहीं हैं, जैसा हल किया गया प्रश्न 5 दिखाता है। यदि $f$ और $g$ किसी बड़े समुच्चय पर परिभाषित हों, तो प्रमेय $\ioo{a}{b}$ पर उनके प्रतिबंधों पर लगाई जाती है, जिनकी $a$ पर वही दाएँ पक्ष की सीमा है।

बाएँ पक्ष में भी यही लागू होता है, अंतराल $\ioo{b}{a}$, $b < a$, और $x \to a^-$ के साथ: एकपक्षीय सीमाओं वाले पाठ के साध्य “स्थानांतरण और परावर्तन” से प्रमेय को $f(-t)$ और $g(-t)$ पर $-a$ के निकट दाएँ पक्ष में लगाना पर्याप्त है; शृंखला नियम दोनों अवकलजों का चिह्न बदल देता है और उनके भागफल को नहीं बदलता। यदि परिकल्पनाएँ $a$ के दोनों पक्षों में सत्य हों, $\ioo{a - r}{a}$ पर और $\ioo{a}{a + r}$ पर, तो उसी पाठ की प्रमेय “सीमा और एकपक्षीय सीमाएँ” $x \to a$ होने पर सीमा देती है (यदि $L$ अनंत हो, तो दोनों त्रिज्याओं में से छोटी के साथ वही युक्ति)। फलन $a$ पर परिभाषित हो सकता है या नहीं; वहाँ उसका मान कोई भूमिका नहीं निभाता।