योग और अंतर, द्विगुण कोण और अर्ध कोण के सूत्र

अंतर की कोज्या

त्रिकोणमितीय अनुपात और मात्रक वृत्त वाले पाठ में सिद्ध की गई सममितियाँ, जैसे $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ या $\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta$, एक कोण के अनुपातों को एक दूसरे कोण के अनुपातों से जोड़ती हैं, जो उसमें कोई चतुर्थांशीय कोण जोड़ने या उससे घटाने पर प्राप्त होता है। परंतु ये समताएँ एक व्यापक समस्या की विशेष स्थितियाँ हैं: $\alpha + \beta$ और $\alpha - \beta$ के अनुपात ज्ञात करना, $\alpha$ और $\beta$ के अनुपातों से, चाहे ये संख्याएँ कुछ भी हों। आरंभ से ही ध्यान देना उचित है कि अनुपात योग पर वितरित नहीं होते: $\sin\left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$, जबकि $\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$, जो $1$ से बड़ा है। सही सूत्र ज्याओं और कोज्याओं को मिलाता है, और उसे प्राप्त करने की कुंजी मात्रक वृत्त की एक जीवा है।

जैसे कोण और उनकी माप वाले पाठ के चाप-लंबाई के अनुसार गमन के अभिगृहीत में, $P(\theta)$ मात्रक वृत्त के उस बिंदु को सूचित करता है जिस पर $(1, 0)$ से चलकर लंबाई $\abs{\theta}$ का चाप तय करके पहुँचा जाता है, यदि $\theta > 0$ तो वामावर्त दिशा में और यदि $\theta < 0$ तो दक्षिणावर्त दिशा में; उल्लिखित पाठ की परिभाषा से, $P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right)$।

यह उपपत्ति $\alpha$ और $\beta$ पर कोई शर्त नहीं माँगती: ध्रुवीय निर्देशांकों में दूरी की प्रमेय किन्हीं भी कोणों के लिए सत्य है, और यदि $P(\alpha) = P(\beta)$ तो $d^2$ के दोनों व्यंजक शून्य हैं। इसमें चक्रीय उपपत्ति का दोष भी नहीं है: वह प्रमेय कोज्या नियम से सिद्ध की गई थी, जो स्वयं त्रिभुज को एक निर्देशांक पद्धति में रखकर प्राप्त हुआ था, कोणों के योग के सूत्रों का उपयोग किए बिना। यह मार्ग उलटी दिशा में भी तय किया जा सकता है: यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ $b$ और $c$ मूल बिंदु से झुकाव कोणों $\beta$ और $\alpha$ के साथ निकलती हैं, तो उनके सिरों के बीच की दूरी का वर्ग $b^2 + c^2 - 2bc \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)$ है, और जिसके पास अंतर की कोज्या का सूत्र है वह इससे त्रिभुजों का हल वाले पाठ का कोज्या नियम प्राप्त कर लेता है।