आधारभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

सारांश

यह पाठ विश्लेषणात्मक त्रिकोणमिति का आरंभ करता है, जो त्रिकोणमितीय फलनों के बीच के बीजीय संबंधों का अध्ययन करती है। यह परिशुद्ध रूप से परिभाषित करता है कि सर्वसमिका क्या है, अर्थात् ऐसी समिका जो अपने दोनों पक्षों के पूरे उभयनिष्ठ प्रांत में सत्य हो, और आधारभूत सर्वसमिकाओं को एकत्र करता है: व्युत्क्रम, भागफल, पाइथागोरस, समता और पूरक कोण संबंधी सर्वसमिकाएँ, जिन्हें मात्रक वृत्त में रेखाखंडों की लंबाइयों के रूप में भी पढ़ा जा सकता है। यह सर्वसमिका सिद्ध करने की विधि सिखाता है, जिसमें एक पक्ष को दूसरे में, या दोनों को एक ही व्यंजक में रूपांतरित किया जाता है, और दिखाता है कि सर्वसमिका से ही आरंभ करके उसका वर्ग करना वैध क्यों नहीं है; एक अपवाद, अर्थात् एक प्रत्युदाहरण, किसी असत्य सर्वसमिका को असत्य सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है। यह प्रत्येक फलन को किसी दूसरे फलन के पदों में व्यक्त करता है, उस चिह्न के साथ जिसे चतुर्थांश निर्धारित करता है, प्रांत का ध्यान रखते हुए व्यंजकों को सरल करता है, प्रतिस्थापनों द्वारा बीजीय करणियों को त्रिकोणमितीय फलनों में बदलता है और, प्राचल का विलोपन करके, बिंदु $\left( a \cos t, b \sin t \right)$ में एक दीर्घवृत्त और बिंदु $\left( a \sec t, b \tan t \right)$ में एक अतिपरवलय पहचानता है।

अधिगम उद्देश्य

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका को परिशुद्ध रूप से परिभाषित करना, उसका उभयनिष्ठ प्रांत ज्ञात करना और उसे समीकरण से अलग पहचानना, तथा आधारभूत सर्वसमिकाओं को एकत्र करना और सिद्ध करना, रेखाखंडों के रूप में उनके ज्यामितीय पाठ सहित।
एक पक्ष को दूसरे में या दोनों को एक साझा व्यंजक में रूपांतरित करके सर्वसमिकाएँ सिद्ध करना, अवैध विचार-क्रमों को पहचानना और किसी असत्य सर्वसमिका को प्रत्युदाहरण द्वारा असत्य सिद्ध करना।
प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलन को किसी दूसरे के पदों में व्यक्त करना, चतुर्थांश के अनुरूप चिह्न के साथ, और व्यंजकों को उनका प्रांत बनाए रखते हुए सरल करना।
करणियों वाले व्यंजकों को रूपांतरित करने के लिए त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापनों का उपयोग करना, और दीर्घवृत्त तथा अतिपरवलय के त्रिकोणमितीय प्राचलीकरणों में प्राचल का विलोपन करना।

सर्वसमिका क्या है

त्रिकोणमितीय फलनों के बीच की कुछ समिकाएँ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए सत्य होती हैं, जैसे $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ , जो त्रिकोणमितीय अनुपात और मात्रक वृत्त विषयक पाठ में सिद्ध की गई; अन्य, जैसे $\sin \theta = -\frac{1}{2}$ , केवल कुछ मानों के लिए सत्य होती हैं, जिन्हें ज्ञात करना प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन विषयक पाठ में सीखा गया। यह अंतर स्वरूप का है: पहली सभी संख्याओं के बारे में कुछ कहती है, और दूसरी एक प्रश्न रखती है। किंतु “प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए” वाक्यांश को परिशुद्धि की आवश्यकता है, क्योंकि बहुत-से त्रिकोणमितीय व्यंजक सभी संख्याओं पर परिभाषित नहीं होते।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिका त्रिकोणमितीय फलनों से बने दो व्यंजकों के बीच की वह समिका है जो चर के उन सभी मानों के लिए सत्य होती है जिन पर दोनों पक्ष परिभाषित हैं। उन मानों का समुच्चय सर्वसमिका का उभयनिष्ठ प्रांत है। जो समिका उभयनिष्ठ प्रांत के केवल कुछ मानों के लिए सत्य हो, वह समीकरण है, और वे मान उसके हल हैं।

प्रांत कोई गौण बात नहीं है। स्पर्शज्या वहाँ परिभाषित है जहाँ कोज्या शून्य नहीं होती, और कोस्पर्शज्या वहाँ जहाँ ज्या शून्य नहीं होती; अतः उनका गुणनफल ठीक तब परिभाषित है जब $x$ , $\frac{\pi}{2}$ का पूर्णांक गुणज न हो, और वहाँ उसका मान $1$ है:

\tan x \cot x = 1, \qquad x \neq \frac{k\pi}{2}

$\frac{\pi}{2}$ के गुणजों पर सर्वसमिका कुछ नहीं कहती, क्योंकि उसका बायाँ पक्ष किसी संख्या को निरूपित नहीं करता। इसी प्रकार, $\frac{\sin x}{\tan x} = \cos x$ अपने उभयनिष्ठ प्रांत में एक सर्वसमिका है, जो $\frac{\pi}{2}$ के गुणजों को बाहर रखता है; फिर भी फलन $f(x) = \frac{\sin x}{\tan x}$ और $g(x) = \cos x$ बराबर नहीं हैं, क्योंकि पाठ्यक्रम I के फलनों की संक्रियाओं विषयक पाठ के अनुसार दो बराबर फलनों का प्रांत एक ही होता है, और दूसरा फलन, उदाहरण के लिए, $x = 0$ पर परिभाषित है। अतः सर्वसमिका दो व्यंजकों की तुलना केवल वहीं करती है जहाँ दोनों का अर्थ हो।

आधारभूत सर्वसमिकाएँ

नीचे दी गई सर्वसमिकाएँ परिभाषाओं से और पूर्ववर्ती इकाई के प्रमेयों से सीधे प्राप्त होती हैं; अन्य सभी सर्वसमिकाएँ इन्हीं से निगमित होती हैं।

प्रमेयआधारभूत सर्वसमिकाएँ

प्रत्येक समिका के उभयनिष्ठ प्रांत में नीचे दी गई व्युत्क्रम, भागफल और पाइथागोरस सर्वसमिकाएँ सत्य हैं। इसके अतिरिक्त, ज्या, स्पर्शज्या, कोछेदक और कोस्पर्शज्या विषम फलन हैं, और कोज्या तथा छेदक सम फलन हैं; और प्रत्येक फलन का $\frac{\pi}{2} - \theta$ पर मान, $\theta$ पर उसके पूरक फलन के मान के बराबर है, जहाँ ज्या और कोज्या, स्पर्शज्या और कोस्पर्शज्या, छेदक और कोछेदक एक-दूसरे के पूरक फलन हैं।

\sin \theta \csc \theta = 1, \qquad \cos \theta \sec \theta = 1, \qquad \tan \theta \cot \theta = 1

\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \qquad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, \qquad 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta, \qquad 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta

\sec(-\theta) = \sec \theta, \qquad \csc(-\theta) = -\csc \theta, \qquad \cot(-\theta) = -\cot \theta

\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \csc \theta, \qquad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sec \theta, \qquad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \tan \theta

सब कुछ बिंदु $P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right)$ पर पढ़ा जा सकता है, जो त्रिकोणमितीय अनुपातों विषयक पाठ का बिंदु है: शेष चार फलन वहाँ उसके निर्देशांकों के भागफलों के रूप में परिभाषित किए गए थे, और उसी पाठ में सिद्ध की गई ज्या और कोज्या की सममितियों की प्रमेय $P(\theta)$ के $x$ -अक्ष के सापेक्ष और रेखा $y = x$ के सापेक्ष परावर्तन देती है। शेष सर्वसमिकाएँ भागफल और व्युत्क्रम लेकर प्राप्त होती हैं। चित्र में एक न्यून कोण लिया गया है।

प्रमाण

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \quad \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}, \quad \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}, \quad \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$
व्युत्क्रम और भागफल सर्वसमिकाएँ स्पर्शज्या, कोस्पर्शज्या, छेदक और कोछेदक की परिभाषाएँ ही हैं: प्रत्येक फलन वहाँ परिभाषित है जहाँ उसका हर शून्य न हो, और उस प्रांत में किसी फलन और उसके व्युत्क्रम का गुणनफल $1$ है। चित्र में ज्या और कोज्या $P(\theta)$ के निर्देशांक हैं।
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \rightarrow \frac{\resaltar{\sin^2 \theta}}{\cos^2 \theta} + 1 = \frac{1}{\resaltar{\cos^2 \theta}}, \quad 1 + \frac{\resaltar{\cos^2 \theta}}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\resaltar{\sin^2 \theta}}$
बिंदु $P(\theta)$ मूल बिंदु से $1$ की दूरी पर है: यही पहली पाइथागोरस सर्वसमिका है, जो त्रिकोणमितीय अनुपातों विषयक पाठ में सिद्ध की गई। जहाँ $\cos \theta \neq 0$ है, वहाँ उसके दोनों पक्षों को $\cos^2 \theta$ से भाग दिया जाता है, और जहाँ $\sin \theta \neq 0$ है, वहाँ $\sin^2 \theta$ से; ऊपर प्राप्त सर्वसमिकाओं से शेष दो प्राप्त होती हैं।
$\dato{i}{P(-\theta) = \left( \cos \theta, \resaltar{-\sin \theta} \right)}$
$P(\theta)$ का $x$ -अक्ष के सापेक्ष परावर्तन $P(-\theta)$ है: सममितियों की प्रमेय से, कोज्या सम है और ज्या विषम। विशेष रूप से, $-\theta$ प्रत्येक फलन के प्रांत में ठीक तब है जब $\theta$ उसमें है, क्योंकि ज्या और कोज्या के शून्यक सममित हैं।
$\sec(-\theta) = \frac{1}{\cos \theta} = \sec \theta, \quad \csc(-\theta) = \frac{1}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\csc \theta, \quad \cot(-\theta) = \frac{\cos \theta}{\resaltar{-\sin \theta}} = -\cot \theta$
व्युत्क्रम और भागफल लेने पर, उन फलनों में ऋण चिह्न आता है जिनके व्यंजक में ज्या ठीक एक बार आती है: छेदक सम है, और कोछेदक, स्पर्शज्या तथा कोस्पर्शज्या विषम हैं।
$\dato{c}{P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \left( \resaltar{\sin \theta}, \resaltar{\cos \theta} \right)}$
$P(\theta)$ का रेखा $y = x$ के सापेक्ष परावर्तन $P\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ है: सममितियों की प्रमेय से, यह परावर्तन ज्या और कोज्या को परस्पर बदल देता है।
$\sec\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\sin \theta}} = \csc \theta, \quad \csc\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\resaltar{\cos \theta}} = \sec \theta, \quad \cot\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{\resaltar{\sin \theta}}{\resaltar{\cos \theta}} = \tan \theta$
व्युत्क्रम और भागफल लेने पर छेदक और कोछेदक, तथा स्पर्शज्या और कोस्पर्शज्या भी परस्पर बदल जाते हैं। प्रांत एक-दूसरे के संगत हैं: $\frac{\pi}{2} - \theta$ छेदक के प्रांत में है यदि और केवल यदि $\theta$ कोछेदक के प्रांत में है, क्योंकि $\cos\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin \theta$ , और शेष फलनों के लिए भी ऐसा ही है।

छह फलन रेखाखंडों के रूप में

स्पर्शज्या और छेदक के नाम ज्यामिति से आए हैं: न्यून कोण के लिए वे मात्रक वृत्त की एक स्पर्श रेखा और एक छेदक रेखा पर स्थित रेखाखंडों की लंबाइयाँ हैं। यह शास्त्रीय चित्र एक ही आकृति में छह फलनों और तीन पाइथागोरस सर्वसमिकाओं को एकत्र करता है।

प्रमेयछह त्रिकोणमितीय अनुपात रेखाखंडों के रूप में

मान लीजिए $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ , $P$ मात्रक वृत्त का बिंदु $P(\theta)$ है, $Q$ उससे $x$ -अक्ष पर डाले गए लंब का पाद है, $A = (1, 0)$ और $B = (0, 1)$ । अंतिम भुजा को समाहित करने वाली रेखा $A$ पर ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा को एक बिंदु $T$ पर काटती है, और $B$ पर क्षैतिज स्पर्श रेखा को एक बिंदु $S$ पर। तब $\theta$ की कोज्या, ज्या, स्पर्शज्या, छेदक, कोस्पर्शज्या और कोछेदक क्रमशः $O$ से $Q$ तक, $Q$ से $P$ तक, $A$ से $T$ तक, $O$ से $T$ तक, $B$ से $S$ तक और $O$ से $S$ तक के रेखाखंडों की लंबाइयाँ हैं; और शीर्षों $O$ , $A$ और $T$ वाले त्रिभुज में तथा शीर्षों $O$ , $B$ और $S$ वाले त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय क्रमशः दूसरी और तीसरी पाइथागोरस सर्वसमिका है।

आकृति को एक-एक रेखाखंड करके देखा जाता है। साधन वही है जिसने त्रिकोणमितीय अनुपातों विषयक पाठ में स्पर्शज्या का अर्थ दिया था: अंतिम भुजा को समाहित करने वाली रेखा मूल बिंदु से होकर जाती है और उसकी प्रवणता $\tan \theta$ है, इसलिए उसका समीकरण $y = x \tan \theta$ है।

प्रमाण

$P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right), \quad Q = \left( \cos \theta, 0 \right)$
परिभाषा से, $P$ के निर्देशांक कोज्या और ज्या हैं; $O$ से $Q$ तक के क्षैतिज रेखाखंड की लंबाई भुज है, और $Q$ से $P$ तक के ऊर्ध्वाधर रेखाखंड की लंबाई कोटि, और दोनों प्रथम चतुर्थांश में धनात्मक हैं।
$\dato{t}{T = \left( 1, \tan \theta \right)}$
$A$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा, रेखा $x = 1$ है। अंतिम भुजा के समीकरण में $x = 1$ रखने पर $T$ प्राप्त होता है: $A$ से $T$ तक का रेखाखंड, जो स्पर्श रेखा पर है, $\tan \theta$ लंबा है।
$T = \resaltar{\sec \theta} \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)$
बिंदु $T$ , बिंदु $P(\theta)$ को $\sec \theta$ से गुणा करने पर मिलता है, क्योंकि $\sec \theta \cos \theta = 1$ । चूँकि $P(\theta)$ मूल बिंदु से $1$ की दूरी पर है, इसलिए $T$ , $\sec \theta$ की दूरी पर है: $O$ से $T$ तक का रेखाखंड, जो छेदक रेखा पर है, छेदक जितना लंबा है।
$\resaltar{1^2} + \resaltar{\tan^2 \theta} = \resaltar{\sec^2 \theta}$
शीर्षों $O$ , $A$ और $T$ वाला त्रिभुज $A$ पर समकोण है, जिसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ $1$ और $\tan \theta$ हैं और कर्ण $\sec \theta$ है। उसमें पाइथागोरस प्रमेय दूसरी पाइथागोरस सर्वसमिका है।
$\dato{s}{S = \left( \cot \theta, 1 \right) = \csc \theta \cdot \left( \cos \theta, \sin \theta \right)}$
$B$ पर स्पर्श रेखा, रेखा $y = 1$ है। $y = 1$ को $y = x \tan \theta$ में रखने पर $x = \cot \theta$ प्राप्त होता है; और चूँकि $\csc \theta \sin \theta = 1$ , बिंदु $S$ , $P(\theta)$ को $\csc \theta$ से गुणा करने पर मिलता है। अतः $B$ से $S$ तक के रेखाखंड की लंबाई कोस्पर्शज्या है, और $O$ से $S$ तक के रेखाखंड की लंबाई कोछेदक।
$\resaltar{1^2} + \resaltar{\cot^2 \theta} = \resaltar{\csc^2 \theta}$
शीर्षों $O$ , $B$ और $S$ वाला त्रिभुज $B$ पर समकोण है, जिसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ $1$ और $\cot \theta$ हैं और कर्ण $\csc \theta$ है: उससे तीसरी पाइथागोरस सर्वसमिका निकलती है। $O$ पर उसके कोण की माप $\frac{\pi}{2} - \theta$ है, और उस कोण के लिए $\theta$ की कोस्पर्शज्या सम्मुख भुजा है: यह पूरक कोण की स्पर्शज्या है।

आकृति में यह भी पढ़ा जा सकता है कि न्यून कोण का छेदक और कोछेदक $1$ से बड़े हैं, क्योंकि वे ऐसे त्रिभुजों के कर्ण हैं जिनकी एक समकोण बनाने वाली भुजा की लंबाई $1$ है, और यह कि स्पर्शज्या छेदक से छोटी है। इसी प्रकार, पहली पाइथागोरस सर्वसमिका शीर्षों $O$ , $Q$ और $P$ वाले त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय है।

इस पाठ के शेष भाग में

सर्वसमिकाओं की उपपत्ति
एक अवैध विचार-क्रम
एक फलन दूसरे के पदों में
व्यंजकों का सरलीकरण
त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन
प्राचल का विलोपन
हल किए गए प्रश्न
अलग-अलग प्रांतों वाली एक सर्वसमिका
एक स्थानांतरित दीर्घवृत्त
एक असत्य सर्वसमिका और उसका संशोधन
ज्या और कोज्या का योग
छठी घातों का योग
अभ्यास प्रश्न
छेदक घटा स्पर्शज्या
एक सर्वसमिका जिसमें एक को बदलना पड़ता है
फिसलती सीढ़ी
एक छिपा हुआ अतिपरवलय
एक प्रतिबंध जो स्पर्शज्या को निश्चित करता है

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