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Topos Uranos
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प्रारंभिक फलनों का सांतत्य और महत्वपूर्ण सीमाएँ

सारांश

यह पाठ सिद्ध करता है कि जो प्रारंभिक फलन शेष थे, अर्थात् चरघातांकी फलन, लघुगणक, वास्तविक घातांक वाली घातें, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन और अतिपरवलयिक फलन, वे संतत हैं, और यह एक ही युक्ति से: ऐसा एकदिष्ट फलन जिसके मान एक अंतराल को भर देते हैं, कूद नहीं सकता। इस सांतत्य और चरघातांकी की आधारभूत असमिका से चरघातांकी और लघुगणक की महत्वपूर्ण सीमाएँ सिद्ध की जाती हैं, और संख्या ee, (1+x)1x(1 + x)^{\frac{1}{x}} की सीमा के रूप में प्राप्त होती है। यह पाठ अनिर्धार्य रूप 1∞1^\infty को भी हल करता है और अनंत पर चरघातांकी, घातों और लघुगणक की तुलना करता है।

अधिगम उद्देश्य

  1. सिद्ध करना कि ऐसा एकदिष्ट फलन जिसका प्रतिबिंब एक अंतराल है, संतत होता है, और इससे प्रतिलोम का सांतत्य और प्रारंभिक फलनों का सांतत्य निगमित करना।
  2. चरघातांकी, लघुगणक और घातों की महत्वपूर्ण सीमाएँ सिद्ध करना।
  3. संख्या ee को सीमा के रूप में प्राप्त करना और अनिर्धार्य रूप 1∞1^\infty को हल करना।
  4. अनंत पर और शून्य के निकट चरघातांकी, घातों और लघुगणक की तुलना करना।

बिना कूद के एकदिष्ट फलन

सीमा और सांतत्य वाले पाठ ने सिद्ध किया कि बहुपद, मूल, निरपेक्ष मान और त्रिकोणमितीय फलन संतत हैं, और चरघातांकी, लघुगणक तथा प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को बाद के लिए छोड़ दिया। इनके लिए ∣sin⁡x−sin⁡a∣≤∣x−a∣\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a} जितना सरल कोई परिबंध नहीं है। इसके बदले एक साझा युक्ति है: ये सभी एकदिष्ट हैं, और इनके मान बिना रिक्तियाँ छोड़े एक अंतराल को भर देते हैं। एकदिष्ट फलन केवल एक कूद के द्वारा असंतत हो सकता है, और कूद मानों के बीच एक रिक्ति छोड़ देती है।

प्रमेयएकदिष्ट फलन जिनका प्रतिबिंब एक अंतराल है

मान लीजिए ff एक फलन है जो अंतराल II में परिभाषित है और उसमें एकदिष्ट है, और मान लीजिए कि उसका प्रतिबिंब f(I)={f(x):x∈I}f(I) = \left\{ f(x) : x \in I \right\} एक अंतराल है। तब ff, II पर संतत है। एकपक्षीय सीमाएँ वाले पाठ के अनुसार, किसी बिंदु के प्रत्येक ओर एकदिष्ट फलन की सीमा होती है; यदि वह सीमा फलन का मान न होती, तो प्रतिबिंब में एक रिक्ति रह जाती। आकृति कूद वाला एक वर्धमान फलन और उसके द्वारा छोड़ी गई रिक्ति दिखाती है।

प्रमाण

  1. lim⁡x→a−f(x)=L≤f(a),f(c)≤L\lim_{x \to a^-} f(x) = \dato{l}{L \leq f(a)}, \qquad f(c) \leq L

    वर्धमान स्थिति पर्याप्त है: यदि ff ह्रासमान है, तो −f-f वर्धमान है और उसका प्रतिबिंब भी एक अंतराल है। मान लीजिए aa, II का एक बिंदु है जो उसके बाएँ अंत्य बिंदु से अलग है, और मान लीजिए c<ac < a, जहाँ दोनों बिंदु II में हैं। (c,a)\ioo{c}{a} में फलन वर्धमान है और f(a)f(a) से ऊपर से परिबद्ध है; एकदिष्ट फलन की सीमा की प्रमेय के अनुसार बाएँ से सीमा विद्यमान है और वह इन मानों का सुप्रीमम है।

  2. x<a→f(x)≤L<y,x≥a→f(x)≥f(a)>yx < a \rightarrow f(x) \leq L < y, \qquad x \geq a \rightarrow f(x) \geq f(a) > y

    मान लीजिए कि L<f(a)L < f(a)। मध्य बिंदु yy, जो LL और f(a)f(a) के बीच है, मानों f(c)f(c) और f(a)f(a) के बीच स्थित है, इसलिए वह प्रतिबिंब में है, जो एक अंतराल है। परंतु कोई भी xx, जो II में हो, उस तक नहीं पहुँचता: यदि x<ax < a, तो मान LL से अधिक नहीं होता, और यदि x≥ax \geq a, तो वह f(a)f(a) से कम नहीं होता। यह एक अंतर्विरोध है।

  3. lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = \resaltar{f(a)}

    अतः L=f(a)L = f(a)। इसी प्रकार, इन्फिमम और उसी पाठ के बाएँ अंत्य बिंदु वाले उपप्रमेय से, दाएँ से सीमा f(a)f(a) के बराबर है, प्रत्येक aa पर जो II का है और उसके दाएँ अंत्य बिंदु से अलग है। दोनों एकपक्षीय सीमाएँ मान के साथ संपाती हैं, और ff, aa पर संतत है; II के किसी अंत्य बिंदु पर वह अकेला पक्ष पर्याप्त है जो विद्यमान है।

प्रतिबिंब पर परिकल्पना आवश्यक है: पूर्णांक भाग एकदिष्ट है और प्रत्येक पूर्णांक पर असंतत है, और उसका प्रतिबिंब, अर्थात् पूर्णांक, एक अंतराल नहीं है। प्रमेय से प्रतिलोम फलनों का सांतत्य तुरंत प्राप्त होता है।

उपसिद्धांतप्रतिलोम का सांतत्य

मान लीजिए ff एक फलन है जो अंतराल II में परिभाषित है और उसमें दृढ़तः एकदिष्ट है, और मान लीजिए कि उसका प्रतिबिंब J=f(I)J = f(I) एक अंतराल है। तब प्रतिलोम f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I, JJ पर संतत है। प्रतिलोम उसी दिशा में एकदिष्ट है, और उसका प्रतिबिंब अंतराल II है।

प्रमाण

  1. f−1(y)≥f−1(y′)→y≥y′,f−1(J)=If^{-1}(y) \geq f^{-1}(y') \rightarrow y \geq y', \qquad f^{-1}(J) = \resaltar{I}

    यदि ff वर्धमान है और y<y′y < y', जहाँ दोनों बिंदु JJ में हैं, तो प्रतिलोम क्रम को उलट नहीं सकता: यदि f−1(y)≥f−1(y′)f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y') होता, तो ff लागू करने पर y≥y′y \geq y' प्राप्त होता। अतः f−1f^{-1} वर्धमान है, और उसका प्रतिबिंब II है; प्रमेय सांतत्य देती है। ह्रासमान स्थिति समान है।