आव्यूह और आव्यूहों पर संक्रियाएँ

आव्यूह

पाठ्यक्रम बीजगणित और ज्यामिति I के प्रथम घात के समीकरणों, असमिकाओं और रैखिक निकायों वाले पाठ में गाउस विलोपन प्रत्येक समीकरण के गुणांकों की सारणी पर किया गया था: अज्ञात परिकलन में भाग नहीं लेते थे, और सारा काम सारणी की संख्याओं से होता था। यह अवलोकन पुराना है: लगभग दो हज़ार वर्ष पहले संकलित चीनी ग्रंथ गणितीय कला पर नौ अध्याय में ही गुणांकों को स्तंभों में व्यवस्थित करके निकाय हल किए जाते थे। आव्यूह (matrix) शब्द जेम्स जोसेफ़ सिल्वेस्टर ने 1850 में प्रस्तुत किया, और आर्थर केली ने 1858 में आव्यूहों की संक्रियाओं का पहला सिद्धांत प्रकाशित किया, वही सिद्धांत जिसका अध्ययन यह पाठ करता है।

मान लीजिए $m$ और $n$ प्राकृत संख्याएँ हैं। आकार $m \times n$ का आव्यूह $mn$ संख्याओं की एक सारणी है जो $m$ पंक्तियों और $n$ स्तंभों में व्यवस्थित हैं। पंक्ति $i$ और स्तंभ $j$ में स्थित संख्या आव्यूह की $(i, j)$ प्रविष्टि कहलाती है। आव्यूहों को बड़े अक्षरों से दर्शाया जाता है, जैसे $A$, और उनकी प्रविष्टियों को संगत छोटे अक्षर और दो अनुलग्नों से, $a_{ij}$ के रूप में; पहला अनुलग्न सदा पंक्ति बताता है। इसे $A = (a_{ij})$ भी लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, $2 \times 3$ आव्यूह इस रूप का होता है:

जब तक अन्यथा न कहा जाए, प्रविष्टियाँ वास्तविक संख्याएँ हैं; आगे कही गई हर बात सम्मिश्र प्रविष्टियों वाले आव्यूहों के लिए भी ज्यों की त्यों सत्य है, क्योंकि प्रमाण केवल संख्याओं के योग और गुणन के उन गुणधर्मों का उपयोग करते हैं जो $\mathbb{C}$ और $\mathbb{R}$ दोनों में होते हैं। दो आव्यूह बराबर होते हैं जब उनका आकार समान हो और समान स्थानों पर उनकी प्रविष्टियाँ समान हों: $m \times n$ आव्यूहों के बीच एक समता संख्याओं के बीच $mn$ समताओं के तुल्य है।

आव्यूहों के प्रकार

कुछ रूप इतनी बार आते हैं कि उनके अपने नाम हैं।

• पंक्ति आव्यूह $1 \times n$ आव्यूह होता है, और स्तंभ आव्यूह $m \times 1$ आव्यूह। पाठ्यक्रम I के समतल में सदिश वाले पाठ के समतल सदिश $2 \times 1$ स्तंभ आव्यूहों के रूप में लिखे जा सकते हैं।
• दिए गए आकार के शून्य आव्यूह की सभी प्रविष्टियाँ $0$ के बराबर होती हैं; उसे भी $0$ से दर्शाया जाता है, और उसका आकार संदर्भ से स्पष्ट होता है।
• जिस आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान हो, वह वर्ग आव्यूह है; $n \times n$ आव्यूह को कोटि $n$ का वर्ग आव्यूह भी कहते हैं। उसकी प्रविष्टियाँ $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}$ मुख्य विकर्ण बनाती हैं।
• विकर्ण आव्यूह वह वर्ग आव्यूह है जिसकी मुख्य विकर्ण के बाहर की सभी प्रविष्टियाँ शून्य हों। कोटि $n$ का तत्समक आव्यूह, जिसे $I_n$ लिखा जाता है, या कोटि स्पष्ट हो तो $I$, वह विकर्ण आव्यूह है जिसकी सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ $1$ हैं।
• वर्ग आव्यूह उपरि त्रिभुजाकार होता है यदि मुख्य विकर्ण के नीचे की सभी प्रविष्टियाँ शून्य हों, अर्थात् $a_{ij} = 0$ हो जब भी $i > j$ हो; और निम्न त्रिभुजाकार होता है यदि उसके ऊपर की सभी प्रविष्टियाँ शून्य हों।
• वर्ग आव्यूह सममित होता है यदि सभी अनुलग्नों के लिए $a_{ij} = a_{ji}$ हो: मुख्य विकर्ण सारणी की सममिति-अक्ष है।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित चार आव्यूहों में पहला कोटि $3$ का तत्समक आव्यूह है, दूसरा विकर्ण, तीसरा उपरि त्रिभुजाकार और चौथा सममित।