Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Η πολική μορφή των μιγαδικών αριθμών

Περίληψη

Το μάθημα αυτό γράφει κάθε μη μηδενικό μιγαδικό αριθμό μέσω του μέτρου του και ενός ορίσματος, της πολικής γωνίας του σημείου που τον παριστάνει, και λαμβάνει έτσι την πολική ή τριγωνομετρική μορφή του, z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right). Περιγράφει όλα τα ορίσματα ενός μιγαδικού, ορίζει το πρωτεύον όρισμα και το υπολογίζει με την τοξεφαπτομένη διορθωμένη ανάλογα με το τεταρτημόριο, και αποδεικνύει πότε δύο πολικές μορφές παριστάνουν τον ίδιο αριθμό. Με τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς αποδεικνύει το κεντρικό θεώρημα: όταν πολλαπλασιάζονται δύο μιγαδικοί, τα μέτρα τους πολλαπλασιάζονται και τα ορίσματά τους προστίθενται, και όταν διαιρούνται, τα μέτρα διαιρούνται και τα ορίσματα αφαιρούνται· από αυτό συνάγονται το όρισμα του συζυγούς και το όρισμα του αντιστρόφου, και επισημαίνεται ότι το πρωτεύον όρισμα ενός γινομένου είναι το άθροισμα των πρωτευόντων ορισμάτων μόνο με απόκλιση μιας πλήρους στροφής. Τέλος, ερμηνεύει τον πολλαπλασιασμό με έναν μιγαδικό ως στροφή συντεθειμένη με διαστολή, που γενικεύει τη στροφή κατά ένα τέταρτο του κύκλου του πολλαπλασιασμού με το ii, και αποδεικνύει ότι τα τρίγωνα με κορυφές 00, 11, ww και 00, zz, zwzw είναι όμοια.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να γράφει έναν μη μηδενικό μιγαδικό σε πολική μορφή, να υπολογίζει το πρωτεύον όρισμά του ανάλογα με το τεταρτημόριο και να κρίνει πότε δύο πολικές μορφές παριστάνουν τον ίδιο αριθμό.
  2. Να αποδεικνύει με τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς ότι σε ένα γινόμενο τα μέτρα πολλαπλασιάζονται και τα ορίσματα προστίθενται, και να συνάγει τους κανόνες του πηλίκου, του συζυγούς και του αντιστρόφου.
  3. Να ερμηνεύει τον πολλαπλασιασμό με έναν μιγαδικό ως στροφή συντεθειμένη με διαστολή, και να αποδεικνύει την ομοιότητα των τριγώνων με κορυφές 00, 11, ww και 00, zz, zwzw.
  4. Να εφαρμόζει την πολική μορφή σε ακριβείς τιμές τριγωνομετρικών αριθμών, σε ταυτότητες μεταξύ τοξεφαπτομένων, σε εξισώσεις με το zz και τον συζυγή του και σε γεωμετρικούς τόπους που ορίζονται μέσω ορισμάτων.

Η πολική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού

Στο μάθημα του κύκλου μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I για τους μιγαδικούς αριθμούς κάθε μιγαδικός z=a+biz = a + bi παραστάθηκε ως το σημείο (a,b)(a, b) του επιπέδου, το μέτρο του ∣z∣\abs{z} ορίστηκε ως η απόσταση του σημείου αυτού από την αρχή και αποδείχθηκε ότι ο πολλαπλασιασμός με το ii στρέφει κάθε σημείο κατά ένα τέταρτο του κύκλου. Έμεινε εκκρεμής ο πολλαπλασιασμός με έναν οποιονδήποτε μιγαδικό, του οποίου η επίδραση δεν διαβάζεται στην αλγεβρική μορφή: το πραγματικό μέρος του (a+bi)(c+di)(a + bi)(c + di) είναι το ac−bdac - bd, έκφραση που δεν φανερώνει καμία γεωμετρία. Ωστόσο, ένα σημείο του επιπέδου μπορεί να προσδιοριστεί και από την απόστασή του από την αρχή και από τη διεύθυνση στην οποία φαίνεται από αυτήν, όπως στο μάθημα για τις πολικές συντεταγμένες. Αν αυτό ισχύει για τα σημεία, ισχύει και για τους μιγαδικούς· και σε αυτή τη δεύτερη περιγραφή, όπως θα αποδειχθεί, ο πολλαπλασιασμός γίνεται διαφανής.

Έστω z=a+biz = a + bi ένας μη μηδενικός μιγαδικός. Όρισμα του zz είναι κάθε πραγματικός αριθμός θ\theta τέτοιος ώστε a=∣z∣cos⁡θa = \abs{z} \cos \theta και b=∣z∣sin⁡θb = \abs{z} \sin \theta. Αν r=∣z∣r = \abs{z} και θ\theta είναι ένα όρισμα του zz, η ακόλουθη έκφραση είναι μια πολική μορφή, ή τριγωνομετρική μορφή, του zz.
z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

Κάθε μη μηδενικός μιγαδικός έχει ορίσματα. Πράγματι, από το θεώρημα της μετάβασης από τις καρτεσιανές συντεταγμένες στις πολικές, που αποδείχθηκε στο μάθημα για τις πολικές συντεταγμένες, το σημείο (a,b)(a, b), διάφορο από τον πόλο, έχει μια πολική αναπαράσταση (r,θ)(r, \theta) με r>0r > 0, και η ακτίνα του είναι r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2}, δηλαδή το μέτρο του zz· οι ισότητες a=rcos⁡θa = r \cos \theta και b=rsin⁡θb = r \sin \theta λένε τότε ότι η πολική γωνία θ\theta είναι ένα όρισμα του zz. Ένα όρισμα του zz είναι, συνεπώς, η γωνία που σχηματίζει με τον θετικό πραγματικό ημιάξονα το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει την αρχή με το zz, μετρημένη σε ακτίνια. Το μηδέν, αντίθετα, δεν έχει όρισμα: η ισότητα 0=0(cos⁡θ+isin⁡θ)0 = 0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) ισχύει για κάθε θ\theta, και καμία γωνία δεν το ξεχωρίζει. Για να δηλωθεί οποιοδήποτε από τα ορίσματα του zz γράφεται arg⁡z\arg z, που διαβάζεται «όρισμα του zz».

Το θεώρημα που ακολουθεί λέει ότι το μέτρο και το όρισμα, σε αντίθεση με τις πολικές συντεταγμένες με αρνητική ακτίνα, καθορίζουν τον μιγαδικό χωρίς αμφισημία, με εξαίρεση τις πλήρεις στροφές. Από αυτό εξαρτάται κάθε υπολογισμός με πολικές μορφές: για να αποδειχθεί ότι δύο μιγαδικοί είναι ίσοι, θα αρκεί να συγκριθούν τα μέτρα και τα ορίσματά τους.

ΘεώρημαΙσότητα σε πολική μορφή

Έστω rr, r1r_1 και r2r_2 θετικοί πραγματικοί και θ\theta, θ1\theta_1 και θ2\theta_2 πραγματικοί αριθμοί. Ο μιγαδικός r(cos⁡θ+isin⁡θ)r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) έχει μέτρο rr και όρισμα θ\theta. Επιπλέον, οι μιγαδικοί r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) και r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) είναι ίσοι αν και μόνο αν r1=r2r_1 = r_2 και θ1−θ2=2kπ\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi για κάποιον ακέραιο kk. Χρησιμοποιούνται η βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, η περιοδικότητα του ημιτόνου και του συνημιτόνου και ο χαρακτηρισμός των γωνιών με κοινή τελική πλευρά από το μάθημα για τις γωνίες και τη μέτρησή τους: δύο γωνίες δίνουν το ίδιο σημείο του μοναδιαίου κύκλου ακριβώς όταν διαφέρουν κατά ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π2\pi.

Απόδειξη

  1. ∣z∣2=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2\abs{z}^2 = \resaltar{r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \resaltar{r^2}

    Έστω z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right), με r>0r > 0. Το πραγματικό μέρος του είναι rcos⁡θr \cos \theta και το φανταστικό μέρος του rsin⁡θr \sin \theta· από τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, το τετράγωνο του μέτρου του είναι r2r^2.

  2. ∣z∣=r,rcos⁡θ=∣z∣cos⁡θ,rsin⁡θ=∣z∣sin⁡θ\dato{m}{\resaltar{\abs{z} = r}}, \qquad r \cos \theta = \resaltar{\abs{z} \cos \theta}, \qquad r \sin \theta = \abs{z} \sin \theta

    Οι αριθμοί ∣z∣\abs{z} και rr είναι θετικοί και έχουν το ίδιο τετράγωνο· άρα είναι ίσοι, και τα μέρη του zz είναι αυτά που απαιτεί ο ορισμός: το θ\theta είναι ένα όρισμα του zz. Κάθε έκφραση αυτής της μορφής με r>0r > 0 είναι, συνεπώς, μια πολική μορφή.

  3. r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)→r1=r2r_1 \left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right) = r_2 \left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right) \rightarrow \dato{r}{\resaltar{r_1 = r_2}}

    Αν οι μιγαδικοί με μέτρο r1r_1 και r2r_2 είναι ίσοι, έχουν το ίδιο μέτρο, και από όσα αποδείχθηκαν ακριβώς πιο πάνω τα μέτρα τους είναι r1r_1 και r2r_2.

  4. cos⁡θ1=cos⁡θ2∧sin⁡θ1=sin⁡θ2↔θ1−θ2=2kπ\resaltar{\cos \theta_1 = \cos \theta_2 \wedge \sin \theta_1 = \sin \theta_2} \leftrightarrow \resaltar{\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi}

    Εξισώνουμε τα πραγματικά μέρη και τα φανταστικά μέρη και διαιρούμε με r1=r2r_1 = r_2, που δεν είναι μηδέν: οι γωνίες θ1\theta_1 και θ2\theta_2 δίνουν το ίδιο σημείο του μοναδιαίου κύκλου, οπότε έχουν κοινή τελική πλευρά.

  5. cos⁡(θ2+2kπ)=cos⁡θ2,sin⁡(θ2+2kπ)=sin⁡θ2\cos(\resaltar{\theta_2 + 2k\pi}) = \resaltar{\cos \theta_2}, \qquad \sin(\theta_2 + 2k\pi) = \sin \theta_2

    Αντίστροφα, αν r1=r2r_1 = r_2 και θ1=θ2+2kπ\theta_1 = \theta_2 + 2k\pi, από την περιοδικότητα του ημιτόνου και του συνημιτόνου οι δύο εκφράσεις έχουν τα ίδια μέρη, και οι μιγαδικοί είναι ίσοι.

Από αυτό έπεται ότι, αν θ\theta είναι ένα όρισμα του zz, τα ορίσματα του zz είναι ακριβώς οι αριθμοί θ+2kπ\theta + 2k\pi, με kk ακέραιο: δύο ορίσματα του ίδιου μιγαδικού διαφέρουν πάντοτε κατά πλήρεις στροφές. Η ισότητα arg⁡z=θ\arg z = \theta σημαίνει, συνεπώς, ότι το θ\theta είναι ένα από τα ορίσματα του zz, και δεν καθορίζει τα υπόλοιπα. Αξίζει επιπλέον να σημειωθεί ότι το θεώρημα απαιτεί r>0r > 0: η έκφραση −2(cos⁡π3+isin⁡π3)-2\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) δεν είναι πολική μορφή, επειδή το −2-2 δεν είναι μέτρο· αφού −cos⁡θ=cos⁡(θ+π)-\cos \theta = \cos(\theta + \pi) και −sin⁡θ=sin⁡(θ+π)-\sin \theta = \sin(\theta + \pi), ο ίδιος αριθμός γράφεται σε πολική μορφή ως 2(cos⁡4π3+isin⁡4π3)2\left( \cos \frac{4\pi}{3} + i \sin \frac{4\pi}{3} \right).

Το πρωτεύον όρισμα

Ανάμεσα στα ορίσματα ενός μη μηδενικού μιγαδικού υπάρχει ακριβώς ένα στο διάστημα (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}, επειδή το διάστημα αυτό έχει μήκος 2π2\pi και περιέχει έναν μόνο αντιπρόσωπο από κάθε οικογένεια θ+2kπ\theta + 2k\pi. Το όρισμα αυτό λέγεται πρωτεύον όρισμα του zz, γράφεται Arg⁡z\operatorname{Arg} z και διαβάζεται «πρωτεύον όρισμα του zz». Από το θεώρημα του μαθήματος για τις πολικές συντεταγμένες, με τα aa και bb στον ρόλο των xx και yy, υπολογίζεται με την τοξεφαπτομένη του μαθήματος για τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, που βλέπει μόνο το πρώτο και το τέταρτο τεταρτημόριο και πρέπει να διορθωθεί στα άλλα δύο:

Arg⁡z={arctan⁡baa>0arctan⁡ba+πa<0∧b≥0arctan⁡ba−πa<0∧b<0π2a=0∧b>0−π2a=0∧b<0\operatorname{Arg} z = \begin{cases} \arctan \frac{b}{a} & a > 0 \\ \arctan \frac{b}{a} + \pi & a < 0 \wedge b \geq 0 \\ \arctan \frac{b}{a} - \pi & a < 0 \wedge b < 0 \\ \frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b > 0 \\ -\frac{\pi}{2} & a = 0 \wedge b < 0 \end{cases}
ΠαράδειγμαΗ πολική μορφή ενός μιγαδικού του δεύτερου τεταρτημορίου

Γράφουμε σε πολική μορφή τον μιγαδικό z=−3+iz = -\sqrt{3} + i και περιγράφουμε όλα τα ορίσματά του. Το σχήμα παρακολουθεί τον υπολογισμό στο μιγαδικό επίπεδο.

Απόδειξη

  1. ∣z∣=(−3)2+12=4=2\abs{z} = \sqrt{\resaltar{\left( -\sqrt{3} \right)^2 + 1^2}} = \sqrt{4} = \dato{m}{\resaltar{2}}

    Το μέτρο είναι η απόσταση του σημείου (−3,1)\left( -\sqrt{3}, 1 \right) από την αρχή.

  2. arctan⁡1−3=arctan⁡(−33)=−π6\arctan \frac{1}{-\sqrt{3}} = \resaltar{\arctan\left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)} = \dato{a}{\resaltar{-\frac{\pi}{6}}}

    Η τοξεφαπτομένη του πηλίκου του φανταστικού μέρους προς το πραγματικό μέρος δίνει μια γωνία του τέταρτου τεταρτημορίου: είναι το όρισμα του αντίθετου σημείου, 3−i\sqrt{3} - i, και όχι του zz.

  3. Arg⁡z=−π6+π=5π6\operatorname{Arg} z = \resaltar{-\frac{\pi}{6} + \pi} = \dato{t}{\resaltar{\frac{5\pi}{6}}}

    Επειδή το πραγματικό μέρος είναι αρνητικό και το φανταστικό θετικό, το σημείο βρίσκεται στο δεύτερο τεταρτημόριο, και ο τύπος προσθέτει π\pi.

  4. z=2(cos⁡5π6+isin⁡5π6)=2(−32+12i)=−3+iz = 2\left( \resaltar{\cos \frac{5\pi}{6}} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 2\left( \resaltar{-\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{2} i \right) = -\sqrt{3} + i

    Ελέγχουμε την πολική μορφή με τις τιμές του συνημιτόνου και του ημιτόνου του 5π6\frac{5\pi}{6}, που προκύπτουν από εκείνες του π6\frac{\pi}{6} μέσω της συμμετρίας της παραπληρωματικής.

  5. arg⁡z=5π6+2kπ,k∈Z\arg z = \resaltar{\frac{5\pi}{6} + 2k\pi}, \qquad k \in \mathbb{Z}

    Τα υπόλοιπα ορίσματα διαφέρουν από το πρωτεύον κατά πλήρεις στροφές: για παράδειγμα, τα −7π6-\frac{7\pi}{6} και 17π6\frac{17\pi}{6} είναι επίσης ορίσματα του zz, αλλά δεν ανήκουν στο (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}.

Οι μιγαδικοί που βρίσκονται πάνω στους άξονες έχουν πολικές μορφές που αξίζει να αναγνωρίζονται αμέσως. Οι θετικοί πραγματικοί έχουν πρωτεύον όρισμα 00, και οι αρνητικοί π\pi· οι φανταστικοί αριθμοί bibi με b>0b > 0 έχουν πρωτεύον όρισμα π2\frac{\pi}{2}, και με b<0b < 0, −π2-\frac{\pi}{2}. Έτσι, για παράδειγμα:

−1=cos⁡π+isin⁡π,i=cos⁡π2+isin⁡π2,−2i=2(cos⁡(−π2)+isin⁡(−π2))-1 = \cos \pi + i \sin \pi, \qquad i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}, \qquad -2i = 2\left( \cos\left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

Το διάστημα (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi} είναι μια σύμβαση, η ίδια με εκείνη του μαθήματος για τις πολικές συντεταγμένες· άλλα κείμενα χρησιμοποιούν το [0,2π)\ico{0}{2\pi}. Εκείνο που δεν εξαρτάται από τη σύμβαση είναι το σύνολο όλων των ορισμάτων, και γι’ αυτό τα θεωρήματα αυτού του μαθήματος διατυπώνονται με οποιαδήποτε ορίσματα, εκτός αν ρητά λέγεται το αντίθετο.