Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Ο τύπος του Ντε Μουάβρ και οι δυνάμεις μιγαδικών

Περίληψη

Το μάθημα αυτό αποδεικνύει τον τύπο του Ντε Μουάβρ, σύμφωνα με τον οποίο η δύναμη με ακέραιο εκθέτη nn ενός μιγαδικού με μέτρο 11 και όρισμα θ\theta έχει όρισμα nθn\theta, και τον εφαρμόζει σε πέντε κατευθύνσεις. Υπολογίζει δυνάμεις με μεγάλο εκθέτη χωρίς να αναπτύσσει γινόμενα και αποφαίνεται πότε μια δύναμη είναι πραγματική ή ισούται με 11· ανακτά τους τύπους των πολλαπλάσιων γωνιών συγκρίνοντας τον τύπο με το διωνυμικό θεώρημα· εκφράζει τις δυνάμεις του συνημιτόνου και του ημιτόνου ως αθροίσματα συνημιτόνων πολλαπλάσιων γωνιών, πράξη που λέγεται γραμμικοποίηση· υπολογίζει τα αθροίσματα ημιτόνων και συνημιτόνων σε αριθμητική πρόοδο ως ένα γεωμετρικό άθροισμα μιγαδικών· και λαμβάνει αθροίσματα διωνυμικών συντελεστών ως πραγματικό και φανταστικό μέρος των δυνάμεων του 1+i1 + i.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να αποδεικνύει τον τύπο του Ντε Μουάβρ για κάθε ακέραιο εκθέτη και να ερμηνεύει γεωμετρικά τις δυνάμεις ενός μιγαδικού.
  2. Να υπολογίζει δυνάμεις μιγαδικών μέσω της πολικής μορφής και να προσδιορίζει πότε είναι πραγματικές ή ίσες με 11.
  3. Να συνάγει τους τύπους των πολλαπλάσιων γωνιών και να γραμμικοποιεί τις δυνάμεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου.
  4. Να υπολογίζει τριγωνομετρικά αθροίσματα και αθροίσματα διωνυμικών συντελεστών ως πραγματικό και φανταστικό μέρος αθροισμάτων και δυνάμεων μιγαδικών.

Ο τύπος του Ντε Μουάβρ

Στο μάθημα για την πολική μορφή των μιγαδικών αριθμών γράφτηκε κάθε μη μηδενικός μιγαδικός ως z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right), όπου r=∣z∣r = \abs{z} είναι το μέτρο του και θ\theta ένα από τα ορίσματά του, και αποδείχθηκε, με τους τύπους του ημιτόνου και του συνημιτόνου αθροίσματος, ότι σε ένα γινόμενο τα μέτρα πολλαπλασιάζονται και τα ορίσματα προστίθενται. Για δύο μιγαδικούς με μέτρο 11, το θεώρημα αυτό του γινομένου γράφεται ως εξής:

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

Αν οι δύο παράγοντες είναι ίσοι, το γινόμενο είναι τετράγωνο, με όρισμα 2θ2\theta· αν πολλαπλασιαστεί ξανά με τον ίδιο παράγοντα, προκύπτει κύβος, με όρισμα 3θ3\theta. Καθώς το γινόμενο επαναλαμβάνεται, το όρισμα προστίθεται στον εαυτό του τόσες φορές όσοι είναι οι παράγοντες, ώστε η ύψωση σε δύναμη ανάγεται στον πολλαπλασιασμό μιας γωνίας με έναν ακέραιο. Το γεγονός αυτό, που ο Αβραάμ ντε Μουάβρ χρησιμοποίησε σε ισοδύναμη μορφή στις αρχές του 18ου αιώνα και που ο Όιλερ έγραψε στη σημερινή του μορφή το 1748, είναι το αντικείμενο του μαθήματος.

ΘεώρημαΤύπος του Ντε Μουάβρ

Για κάθε πραγματικό αριθμό θ\theta και κάθε ακέραιο nn ισχύει η ακόλουθη ισότητα.

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)

Η απόδειξη έχει τρία μέρη: τον εκθέτη 00, τους φυσικούς εκθέτες, με επαγωγή, και τους αρνητικούς εκθέτες, μέσω του αντιστρόφου. Χρησιμοποιείται η αρχή της μαθηματικής επαγωγής στη μορφή του μαθήματος του κύκλου μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I για τα αθροίσματα, τις προόδους και την επαγωγή, και οι δυνάμεις με ακέραιο εκθέτη του μαθήματος για τους μιγαδικούς αριθμούς, όπου z0=1z^0 = 1 και z−m=1zmz^{-m} = \frac{1}{z^m}. Το σχήμα παρακολουθεί την απόδειξη πάνω στον κύκλο ακτίνας 11, με μια μικρή γωνία θ\theta και n=3n = 3.

Απόδειξη

  1. (cos⁡θ+isin⁡θ)0=1=cos⁡0+isin⁡0\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^0 = \resaltar{1} = \resaltar{\cos 0 + i \sin 0}

    Για n=0n = 0, το πρώτο μέλος ισούται με 11 εξ ορισμού, και το δεύτερο επίσης, αφού cos⁡0=1\cos 0 = 1 και sin⁡0=0\sin 0 = 0.

  2. (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\dato{h}{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)}

    Για n=1n = 1, η ισότητα είναι προφανής. Επαγωγική υπόθεση: υποθέτουμε ότι ισχύει για έναν φυσικό nn.

  3. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡θ+isin⁡θ)n(cos⁡θ+isin⁡θ)=(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))(cos⁡θ+isin⁡θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) = \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)

    Η δύναμη με εκθέτη μεγαλύτερο κατά ένα είναι το γινόμενο της αρχικής δύναμης με τη βάση, και η αρχική δύναμη αντικαθίσταται μέσω της επαγωγικής υπόθεσης.

  4. (cos⁡θ+isin⁡θ)n+1=(cos⁡(nθ)cos⁡θ−sin⁡(nθ)sin⁡θ)+i(sin⁡(nθ)cos⁡θ+cos⁡(nθ)sin⁡θ)=cos⁡((n+1)θ)+isin⁡((n+1)θ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{n + 1} = \resaltar{\left( \cos(n\theta) \cos \theta - \sin(n\theta) \sin \theta \right)} + i \resaltar{\left( \sin(n\theta) \cos \theta + \cos(n\theta) \sin \theta \right)} = \dato{p}{\cos((n + 1)\theta) + i \sin((n + 1)\theta)}

    Όταν αναπτυχθεί το γινόμενο, το πραγματικό και το φανταστικό μέρος είναι τα δεύτερα μέλη των τύπων του συνημιτόνου και του ημιτόνου αθροίσματος, από το μάθημα για τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς: είναι το θεώρημα του γινομένου και του πηλίκου σε πολική μορφή. Προκύπτει ο τύπος για n+1n + 1, και από την αρχή της μαθηματικής επαγωγής ισχύει για κάθε φυσικό.

  5. (cos⁡θ+isin⁡θ)−1=cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)=cos⁡θ−isin⁡θ\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-1} = \dato{i}{\resaltar{\cos(-\theta) + i \sin(-\theta)}} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta}

    Από το θεώρημα του γινομένου, ο cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta πολλαπλασιασμένος με τον cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)\cos(-\theta) + i \sin(-\theta) δίνει cos⁡0+isin⁡0=1\cos 0 + i \sin 0 = 1: ο δεύτερος παράγοντας είναι συνεπώς ο αντίστροφος του πρώτου. Επειδή το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση και το ημίτονο περιττή, ο αντίστροφος είναι ο συζυγής.

  6. (cos⁡θ+isin⁡θ)−m=(cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ))m=cos⁡(−mθ)+isin⁡(−mθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^{-m} = \resaltar{\left( \cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \right)^m} = \resaltar{\cos(-m\theta) + i \sin(-m\theta)}

    Αν n=−mn = -m, με mm φυσικό, η δύναμη με εκθέτη −m-m είναι η δύναμη τάξης mm του αντιστρόφου, από τις ιδιότητες των δυνάμεων. Εφαρμόζεται η περίπτωση των φυσικών εκθετών στη γωνία −θ-\theta.

Ο τύπος επεκτείνεται σε όλους τους μη μηδενικούς μιγαδικούς, επειδή η δύναμη ενός γινομένου είναι το γινόμενο των δυνάμεων, και για αρνητικούς εκθέτες: ο αντίστροφος ενός γινομένου είναι το γινόμενο των αντιστρόφων.

ΘεώρημαΔυνάμεις σε πολική μορφή

Αν ο z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) είναι μη μηδενικός μιγαδικός, τότε για κάθε ακέραιο nn ισχύει zn=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right): το μέτρο του znz^n είναι rnr^n, και το nθn\theta είναι ένα όρισμα του znz^n. Χωρίζεται ο πραγματικός παράγοντας από τον παράγοντα με μέτρο 11 και εφαρμόζεται στον δεύτερο ο τύπος του Ντε Μουάβρ. Το σχήμα παρακολουθεί την απόδειξη με έναν μιγαδικό με μέτρο λίγο μεγαλύτερο από 11 και n=3n = 3, και τελειώνει με z=3+i=2(cos⁡π6+isin⁡π6)z = \sqrt{3} + i = 2\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) και τις τρεις πρώτες δυνάμεις του.

Απόδειξη

  1. zn=(r(cos⁡θ+isin⁡θ))n=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)nz^n = \left( r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) \right)^n = \dato{p}{\resaltar{r^n} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n}

    Η δύναμη ενός γινομένου είναι το γινόμενο των δυνάμεων: για φυσικούς εκθέτες, λόγω της αντιμεταθετικής και της προσεταιριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού, και για αρνητικούς εκθέτες επειδή ο αντίστροφος ενός γινομένου είναι το γινόμενο των αντιστρόφων.

  2. zn=rn(cos⁡θ+isin⁡θ)n=rn(cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ))z^n = r^n \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \dato{f}{r^n \resaltar{\left( \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \right)}}

    Στον δεύτερο παράγοντα εφαρμόζεται ο τύπος του Ντε Μουάβρ, που ισχύει για κάθε ακέραιο nn.

  3. rn>0→∣zn∣=rn,arg⁡zn=nθ\resaltar{r^n > 0} \rightarrow \abs{z^n} = \resaltar{r^n}, \qquad \arg z^n = \resaltar{n\theta}

    Επειδή r>0r > 0, η δύναμη rnr^n είναι θετικός πραγματικός, και για nn αρνητικό. Από το θεώρημα της ισότητας σε πολική μορφή, η έκφραση που προέκυψε είναι μια πολική μορφή του znz^n: το μέτρο του είναι rnr^n, και το nθn\theta είναι ένα από τα ορίσματά του.

  4. (3+i)3=23(cos⁡π2+isin⁡π2)=8i\left( \sqrt{3} + i \right)^3 = \resaltar{2^3} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{8i}

    Με z=3+iz = \sqrt{3} + i, οι δυνάμεις έχουν μέτρα 22, 44 και 88 και ορίσματα π6\frac{\pi}{6}, π3\frac{\pi}{3} και π2\frac{\pi}{2}: ο κύβος είναι φανταστικός αριθμός.

Συνεπώς οι δυνάμεις z,z2,z3,…z, z^2, z^3, \ldots έχουν μέτρα σε γεωμετρική πρόοδο με λόγο rr και ορίσματα σε αριθμητική πρόοδο με διαφορά θ\theta, με την έννοια του μαθήματος του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τα αθροίσματα και τις προόδους. Αν r=1r = 1, όλες βρίσκονται στον κύκλο ακτίνας 11, καθεμία στραμμένη κατά γωνία θ\theta σε σχέση με τη δύναμη που έχει εκθέτη μικρότερο κατά ένα· αν r>1r > 1, στρέφονται και απομακρύνονται από την αρχή· αν r<1r < 1, στρέφονται και πλησιάζουν προς αυτήν. Επιπλέον, επειδή zk+1=z⋅zkz^{k + 1} = z \cdot z^k και ο πολλαπλασιασμός με τον zz είναι μια στροφή κατά γωνία θ\theta σε σύνθεση με μια ομοιοθεσία λόγου rr, όλα τα τρίγωνα με κορυφές 00, zkz^k και zk+1z^{k + 1} είναι όμοια με εκείνο που έχει κορυφές 00, 11 και zz, όπως αποδείχθηκε στο μάθημα για την πολική μορφή.

ΠαράδειγμαΗ σπείρα των δυνάμεων

Έστω zz ο μιγαδικός με μέτρο 1110\frac{11}{10}, λίγο μεγαλύτερο από 11, και όρισμα π4\frac{\pi}{4}. Υπολογίζουμε μερικές από τις δυνάμεις του έως την όγδοη και περιγράφουμε την καμπύλη πάνω στην οποία βρίσκονται.

Απόδειξη

  1. z=1110(cos⁡π4+isin⁡π4)=11220(1+i)\dato{z}{z = \frac{11}{10} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{11\sqrt{2}}{20} (1 + i)

    Σε πολική και σε αλγεβρική μορφή, ο αριθμός είναι ο εξής.

  2. z2=(1110)2(cos⁡π2+isin⁡π2)=121100iz^2 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^2} \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) = \resaltar{\frac{121}{100} i}

    Από το θεώρημα των δυνάμεων σε πολική μορφή, το τετράγωνο έχει όρισμα π2\frac{\pi}{2}: είναι φανταστικός αριθμός.

  3. z4=(1110)4(cos⁡π+isin⁡π)=−1464110000z^4 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^4} \left( \cos \pi + i \sin \pi \right) = \resaltar{-\frac{14641}{10000}}

    Η τέταρτη δύναμη έχει όρισμα π\pi: είναι αρνητικός πραγματικός.

  4. z8=(1110)8(cos⁡2π+isin⁡2π)=214358881100000000z^8 = \resaltar{\left( \frac{11}{10} \right)^8} \left( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right) = \resaltar{\frac{214358881}{100000000}}

    Η όγδοη δύναμη έχει όρισμα 2π2\pi: μετά από μια πλήρη στροφή επιστρέφει στον θετικό πραγματικό ημιάξονα, σε απόσταση από την αρχή λίγο μεγαλύτερη από 22.

  5. ∣zk+1−zk∣=∣zk(z−1)∣=∣z∣k∣z−1∣\abs{z^{k + 1} - z^k} = \resaltar{\abs{z^k \left( z - 1 \right)}} = \resaltar{\abs{z}^k \abs{z - 1}}

    Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δυνάμεων αυξάνεται επίσης σε γεωμετρική πρόοδο με λόγο 1110\frac{11}{10}, από το θεώρημα του μέτρου του γινομένου. Τα σημεία βρίσκονται στην καμπύλη που σε πολικές συντεταγμένες, οι οποίες μελετήθηκαν στο μάθημα για τις πολικές συντεταγμένες και τις πολικές καμπύλες, έχει εξίσωση r=(1110)4θπr = \left( \frac{11}{10} \right)^{\frac{4\theta}{\pi}}: μια σπείρα, που λέγεται λογαριθμική και που, όπως αποδεικνύεται με τον διαφορικό λογισμό, τέμνει κάθε ευθεία που διέρχεται από την αρχή πάντα με την ίδια γωνία.