Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Διανύσματα στο επίπεδο και παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας

Περίληψη

Το μάθημα αυτό εισάγει τα διανύσματα του επιπέδου, που παριστάνουν μετατοπίσεις, ως διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών, και ορίζει το άθροισμά τους, τον πολλαπλασιασμό τους με αριθμό, το μέτρο τους και το εσωτερικό γινόμενό τους, μαζί με τις ιδιότητές τους. Από το εσωτερικό γινόμενο προκύπτουν η συνθήκη καθετότητας, η ανισότητα Κωσί-Σβαρτς, η τριγωνική ανισότητα, η ορθογώνια προβολή και η ταξινόμηση των γωνιών σε οξείες, ορθές και αμβλείες. Με τα διανύσματα η ευθεία γράφεται σε διανυσματική και παραμετρική μορφή, βρίσκονται το κάθετο διάνυσμά της και ο τύπος της απόστασης σημείου από ευθεία, υπολογίζεται η τομή ευθειών που δίνονται με παραμέτρους, διαιρούνται ευθύγραμμα τμήματα σε δοσμένο λόγο και περιγράφεται η ομαλή κίνηση· τα προβλήματα εφαρμόζουν αυτά τα εργαλεία σε γεωμετρικές αποδείξεις, στην ανάκλαση σε καθρέφτη και στην προσέγγιση δύο κινητών.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να εκτελεί πράξεις με διανύσματα του επιπέδου, με συντεταγμένες και γεωμετρικά, και να εκφράζει ένα διάνυσμα ως γραμμικό συνδυασμό δύο άλλων.
  2. Να υπολογίζει μέτρα και εσωτερικά γινόμενα και να τα χρησιμοποιεί για να αναγνωρίζει κάθετα διανύσματα, να ταξινομεί γωνίες και να προβάλλει ένα διάνυσμα πάνω σε άλλο.
  3. Να γράφει μια ευθεία σε διανυσματική, παραμετρική και γενική μορφή, να περνά από τη μία μορφή στην άλλη και να υπολογίζει με διανύσματα τομές, αποστάσεις και σημεία που διαιρούν ένα ευθύγραμμο τμήμα.
  4. Να αποδεικνύει γεωμετρικές ιδιότητες με διανύσματα και να μοντελοποιεί την ομαλή κίνηση με παραμετρικές ευθείες.

Διανύσματα στο επίπεδο

Στο μάθημα για την εξίσωση της ευθείας κάθε σημείο του επιπέδου ταυτίστηκε με το ζεύγος των συντεταγμένων του. Πολλά μεγέθη, ωστόσο, δεν περιγράφονται με ένα σημείο αλλά με μια μετατόπιση: η μετακίνηση κατά τρεις μονάδες προς τα δεξιά και δύο προς τα πάνω είναι η ίδια οδηγία, όποιο κι αν είναι το σημείο αφετηρίας. Το ίδιο συμβαίνει με την ταχύτητα ή τη δύναμη, που έχουν ένταση, διεύθυνση και φορά, και που μελετώνται στον κύκλο μαθημάτων Βασικές αρχές της μηχανικής. Μια μετατόπιση σχεδιάζεται ως βέλος και καθορίζεται από δύο αριθμούς: την οριζόντια μετακίνηση και την κατακόρυφη μετακίνηση. Αν αυτό ισχύει, ο φυσικός ορισμός είναι ο ακόλουθος.

Ένα διάνυσμα του επιπέδου είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών, u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right)· οι αριθμοί u1u_1 και u2u_2 είναι οι συντεταγμένες του. Το διάνυσμα από το σημείο P=(x1,y1)P = (x_1, y_1) στο σημείο Q=(x2,y2)Q = (x_2, y_2) είναι το ζεύγος των διαφορών των συντεταγμένων τους και γράφεται PQ⃗\vec{PQ}· το βέλος με αρχή PP και πέρας QQ το παριστάνει.
PQ⃗=(x2−x1,y2−y1)\vec{PQ} = \left( x_2 - x_1, y_2 - y_1 \right)

Ένα διάνυσμα έχει άπειρες παραστάσεις: δύο βέλη παριστάνουν το ίδιο διάνυσμα όταν προκαλούν την ίδια οριζόντια και την ίδια κατακόρυφη μετακίνηση, δηλαδή όταν το ένα προκύπτει από το άλλο με μια παράλληλη μεταφορά. Ανάμεσά τους υπάρχει μόνο ένα που ξεκινά από την αρχή OO, το βέλος που καταλήγει στο σημείο (u1,u2)(u_1, u_2). Επομένως το OP⃗\vec{OP}, που ονομάζεται διάνυσμα θέσης του PP, έχει ως συντεταγμένες τις συντεταγμένες του PP. Στη συνέχεια γράφουμε P+u⃗P + \vec{u} για το σημείο στο οποίο φτάνουμε από το PP με τη μετατόπιση u⃗\vec{u}, δηλαδή το πέρας του βέλους που παριστάνει το u⃗\vec{u} με αρχή το PP. Το μηδενικό διάνυσμα 0⃗=(0,0)\vec{0} = \left( 0, 0 \right) αντιστοιχεί στο να μη μετακινηθούμε, και το αντίθετο του u⃗\vec{u} είναι το −u⃗=(−u1,−u2)-\vec{u} = \left( -u_1, -u_2 \right), η αντίθετη μετατόπιση· έτσι, QP⃗=−PQ⃗\vec{QP} = -\vec{PQ}.

ΛήμμαΊσα διανύσματα και παραλληλόγραμμα

Έστω PP, QQ, RR και SS σημεία του επιπέδου. Οι ισότητες PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} και PR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS} είναι ισοδύναμες, και οι δύο ισοδυναμούν με το ότι τα ευθύγραμμα τμήματα PSPS και QRQR έχουν το ίδιο μέσο. Αν τα τέσσερα σημεία δεν είναι συνευθειακά, ισχύει PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS} αν και μόνο αν το τετράπλευρο με κορυφές PP, QQ, SS και RR, με αυτή τη σειρά, είναι παραλληλόγραμμο.

Οι τρεις ισοδυναμίες ανάγονται στη μεταφορά όρων σε μια ισότητα μεταξύ αριθμών, συντεταγμένη προς συντεταγμένη· η τελευταία στηρίζεται στο θεώρημα της τομής δύο ευθειών του μαθήματος για την ευθεία. Ονομάζουμε p1p_1, q1q_1, r1r_1 και s1s_1 τις τετμημένες των τεσσάρων σημείων.

Απόδειξη

  1. q1−p1=s1−r1↔r1−p1=s1−q1\dato{a}{q_1 - p_1 = s_1 - r_1} \leftrightarrow \resaltar{r_1 - p_1 = s_1 - q_1}

    Η ισότητα των πρώτων συντεταγμένων του PQ⃗\vec{PQ} και του RS⃗\vec{RS} ισοδυναμεί, αν προσθέσουμε r1−q1r_1 - q_1 και στα δύο μέλη, με την ισότητα των πρώτων συντεταγμένων του PR⃗\vec{PR} και του QS⃗\vec{QS}. Στο σχήμα, P=(1,0)P = (1, 0), Q=(5,1)Q = (5, 1), R=(2,3)R = (2, 3) και S=(6,4)S = (6, 4).

  2. q1−p1=s1−r1↔p1+s12=q1+r12q_1 - p_1 = s_1 - r_1 \leftrightarrow \resaltar{\frac{p_1 + s_1}{2} = \frac{q_1 + r_1}{2}}

    Η ίδια ισότητα ισοδυναμεί, αν προσθέσουμε p1p_1 και r1r_1 και στα δύο μέλη και διαιρέσουμε με 22, με το ότι τα μέσα των PSPS και QRQR έχουν την ίδια τετμημένη. Με τις τεταγμένες ο συλλογισμός είναι ίδιος· επομένως, οι τρεις προτάσεις είναι ισοδύναμες.

  3. q2−p2q1−p1=s2−r2s1−r1\dato{p}{\frac{q_2 - p_2}{q_1 - p_1} = \frac{s_2 - r_2}{s_1 - r_1}}

    Ας υποθέσουμε τώρα ότι τα τέσσερα σημεία δεν είναι συνευθειακά και ότι PQ⃗=RS⃗\vec{PQ} = \vec{RS}. Οι ευθείες PQPQ και RSRS έχουν την ίδια διεύθυνση: την ίδια κλίση, το πηλίκο των συντεταγμένων αυτού του διανύσματος, ή είναι και οι δύο κατακόρυφες αν η πρώτη του συντεταγμένη είναι μηδέν. Είναι διαφορετικές, γιατί αν συνέπιπταν τα τέσσερα σημεία θα ήταν συνευθειακά· άρα είναι παράλληλες: αν δεν είναι κατακόρυφες, από το θεώρημα της τομής δύο μη κατακόρυφων ευθειών, και αν είναι, επειδή δύο διαφορετικές κατακόρυφες ευθείες δεν τέμνονται.

  4. PR⃗=QS⃗→r2−p2r1−p1=s2−q2s1−q1\vec{PR} = \vec{QS} \rightarrow \resaltar{\frac{r_2 - p_2}{r_1 - p_1} = \frac{s_2 - q_2}{s_1 - q_1}}

    Από τον πρώτο ισχυρισμό ισχύει επίσης PR⃗=QS⃗\vec{PR} = \vec{QS}, και το ίδιο επιχείρημα δείχνει ότι οι πλευρές PRPR και QSQS είναι παράλληλες. Οι απέναντι πλευρές του τετραπλεύρου PQSRPQSR είναι ανά δύο παράλληλες: είναι παραλληλόγραμμο.

  5. RS1⃗=PQ⃗,QS1⃗=PR⃗\vec{RS_1} = \vec{PQ}, \quad \vec{QS_1} = \vec{PR}

    Αντίστροφα, έστω PQSRPQSR παραλληλόγραμμο και έστω S1=R+PQ⃗S_1 = R + \vec{PQ}. Από όσα ήδη αποδείχθηκαν, εφαρμοσμένα στα σημεία PP, QQ, RR και S1S_1, το σημείο S1S_1 βρίσκεται στην παράλληλη προς την PQPQ που άγεται από το RR και στην παράλληλη προς την PRPR που άγεται από το QQ.

  6. S1=S→RS⃗=PQ⃗S_1 = S \rightarrow \resaltar{\vec{RS} = \vec{PQ}}

    Αυτές οι δύο παράλληλες δεν είναι παράλληλες μεταξύ τους, γιατί τα PP, QQ και RR δεν είναι συνευθειακά, και τέμνονται σε ένα μόνο σημείο. Αφού η κορυφή SS του παραλληλογράμμου βρίσκεται επίσης και στις δύο, συμπίπτει με το S1S_1.

ΠαράδειγμαΤο διάνυσμα από ένα σημείο σε άλλο

Να υπολογιστεί το διάνυσμα από το P=(1,1)P = (1, 1) στο Q=(4,3)Q = (4, 3), να μεταφερθεί στο σημείο R=(−2,2)R = (-2, 2) και στην αρχή των αξόνων, και να συγκριθεί με το διάνυσμα από το QQ στο PP.

Απόδειξη

  1. PQ⃗=(4−1,3−1)=(3,2)\vec{PQ} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{3 - 1} \right) = \dato{v}{\left( 3, 2 \right)}

    Αφαιρούμε τις συντεταγμένες της αρχής του βέλους από τις συντεταγμένες του πέρατός του: η μετατόπιση είναι 33 μονάδες προς τα δεξιά και 22 προς τα πάνω.

  2. S=R+PQ⃗=(−2+3,2+2)=(1,4)S = R + \vec{PQ} = \left( -2 + \resaltar{3}, 2 + \resaltar{2} \right) = \left( 1, 4 \right)

    Με αρχή το RR, η ίδια μετατόπιση οδηγεί στο σημείο SS.

  3. PR⃗=(−2−1,2−1)=(−3,1)=QS⃗\vec{PR} = \left( \resaltar{-2 - 1}, \resaltar{2 - 1} \right) = \left( -3, 1 \right) = \vec{QS}

    Από το λήμμα, είναι ίσα και τα PR⃗\vec{PR} και QS⃗\vec{QS}, και τα σημεία PP, QQ, SS και RR είναι οι κορυφές ενός παραλληλογράμμου.

  4. OA⃗=(3,2),A=(3,2)\vec{OA} = \resaltar{\left( 3, 2 \right)}, \quad A = \left( 3, 2 \right)

    Με αρχή το OO, το βέλος καταλήγει στο σημείο AA, του οποίου οι συντεταγμένες είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος: το PQ⃗\vec{PQ} είναι το διάνυσμα θέσης του AA.

  5. QP⃗=(1−4,1−3)=(−3,−2)=−PQ⃗\vec{QP} = \left( \resaltar{1 - 4}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( -3, -2 \right) = -\vec{PQ}

    Το βέλος από το QQ στο PP διατρέχει το ίδιο ευθύγραμμο τμήμα με αντίθετη φορά: παριστάνει το αντίθετο διάνυσμα.

Το άθροισμα διανυσμάτων και ο πολλαπλασιασμός με αριθμό

Το άθροισμα των διανυσμάτων u⃗=(u1,u2)\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) και v⃗=(v1,v2)\vec{v} = \left( v_1, v_2 \right) είναι το u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)\vec{u} + \vec{v} = \left( u_1 + v_1, u_2 + v_2 \right), και το γινόμενο του πραγματικού αριθμού tt με το u⃗\vec{u} είναι το tu⃗=(tu1,tu2)t \vec{u} = \left( t u_1, t u_2 \right). Η διαφορά των u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v} είναι το u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + \left( -\vec{v} \right).

Το άθροισμα αντιστοιχεί στη διαδοχή μετατοπίσεων: αν διανύσουμε το u⃗\vec{u} και αμέσως μετά το v⃗\vec{v}, η συνολική οριζόντια μετακίνηση είναι u1+v1u_1 + v_1 και η κατακόρυφη u2+v2u_2 + v_2. Με όρους σημείων, για οποιαδήποτε τρία σημεία AA, BB και CC ισχύει η σχέση του Σαλ, γιατί οι διαφορές των συντεταγμένων προστίθενται διαδοχικά: (b1−a1)+(c1−b1)=c1−a1(b_1 - a_1) + (c_1 - b_1) = c_1 - a_1, και το ίδιο με τις τεταγμένες.

AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}

Από αυτό προκύπτουν δύο κατασκευές του αθροίσματος: ο κανόνας του τριγώνου, που τοποθετεί την αρχή του v⃗\vec{v} στο πέρας του u⃗\vec{u}, και ο κανόνας του παραλληλογράμμου, που σχεδιάζει και τα δύο διανύσματα με κοινή αρχή και παίρνει τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου που ορίζουν. Ειδικότερα, PQ⃗=OQ⃗−OP⃗\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}: κάθε διάνυσμα μεταξύ δύο σημείων είναι η διαφορά των διανυσμάτων θέσης τους. Το γινόμενο tu⃗t \vec{u}, από την πλευρά του, πολλαπλασιάζει και τις δύο μετακινήσεις με tt: αν t>0t > 0, διατηρεί τη διεύθυνση και τη φορά του u⃗\vec{u}· αν t<0t < 0, διατηρεί τη διεύθυνση και αντιστρέφει τη φορά· και, όπως θα φανεί με το μέτρο, πολλαπλασιάζει το μήκος με ∣t∣\abs{t}.

ΠαράδειγμαΤο άθροισμα, η διαφορά και ο κανόνας του παραλληλογράμμου

Έστω u⃗=(4,1)\vec{u} = \left( 4, 1 \right) και v⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right). Να κατασκευαστεί το u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} με τον κανόνα του τριγώνου και με τον κανόνα του παραλληλογράμμου, και να κατασκευαστεί το u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v}.

Απόδειξη

  1. u⃗=(4,1),v⃗=(1,3)\dato{u}{\vec{u} = \left( 4, 1 \right)}, \quad \dato{v}{\vec{v} = \left( 1, 3 \right)}

    Σχεδιάζουμε και τα δύο διανύσματα με αρχή το OO.

  2. u⃗+v⃗=(4+1,1+3)=(5,4)\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{4 + 1}, \resaltar{1 + 3} \right) = \dato{s}{\left( 5, 4 \right)}

    Κανόνας του τριγώνου: με αρχή το πέρας του u⃗\vec{u}, το v⃗\vec{v} οδηγεί στο σημείο (5,4)(5, 4)· το άθροισμα υπολογίζεται συντεταγμένη προς συντεταγμένη.

  3. v⃗+u⃗=(5,4)=u⃗+v⃗\vec{v} + \vec{u} = \resaltar{\left( 5, 4 \right)} = \vec{u} + \vec{v}

    Κανόνας του παραλληλογράμμου: αν διανύσουμε πρώτα το v⃗\vec{v} και έπειτα το u⃗\vec{u}, φτάνουμε στο ίδιο σημείο. Το άθροισμα είναι η διαγώνιος του παραλληλογράμμου με πλευρές u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v} που ξεκινά από το OO.

  4. −v⃗=(−1,−3)=(−1)v⃗-\vec{v} = \left( \resaltar{-1}, \resaltar{-3} \right) = \left( -1 \right) \vec{v}

    Το αντίθετο του v⃗\vec{v} είναι το γινόμενό του με −1-1: έχει το ίδιο μήκος και την αντίθετη φορά.

  5. u⃗−v⃗=(4−1,1−3)=(3,−2)\vec{u} - \vec{v} = \left( \resaltar{4 - 1}, \resaltar{1 - 3} \right) = \left( 3, -2 \right)

    Η διαφορά είναι το άθροισμα των u⃗\vec{u} και −v⃗-\vec{v}. Μεταφερμένη, είναι το βέλος από το πέρας του v⃗\vec{v} στο πέρας του u⃗\vec{u}: η άλλη διαγώνιος του παραλληλογράμμου.

Οι δύο πράξεις κληρονομούν από τους πραγματικούς αριθμούς τις ιδιότητες που ακολουθούν, οι οποίες ισχύουν για όλα τα διανύσματα u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} και w⃗\vec{w} και όλους τους πραγματικούς ss και tt:

  1. Αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης: u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}.
  2. Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης: (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)\left( \vec{u} + \vec{v} \right) + \vec{w} = \vec{u} + \left( \vec{v} + \vec{w} \right).
  3. Ουδέτερο στοιχείο: u⃗+0⃗=u⃗\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}.
  4. Αντίθετο στοιχείο: u⃗+(−u⃗)=0⃗\vec{u} + \left( -\vec{u} \right) = \vec{0}.
  5. Προσεταιριστική ιδιότητα του γινομένου: s(tu⃗)=(st)u⃗s \left( t \vec{u} \right) = \left( s t \right) \vec{u}.
  6. Μονάδα: 1u⃗=u⃗1 \vec{u} = \vec{u}.
  7. Επιμεριστική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση διανυσμάτων: t(u⃗+v⃗)=tu⃗+tv⃗t \left( \vec{u} + \vec{v} \right) = t \vec{u} + t \vec{v}.
  8. Επιμεριστική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση αριθμών: (s+t)u⃗=su⃗+tu⃗\left( s + t \right) \vec{u} = s \vec{u} + t \vec{u}.
ΘεώρημαΙδιότητες των πράξεων με διανύσματα

Για όλα τα διανύσματα u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} και w⃗\vec{w} του επιπέδου και όλους τους πραγματικούς ss και tt ισχύουν οι οκτώ ιδιότητες του προηγούμενου καταλόγου.

Οι δύο πράξεις δρουν συντεταγμένη προς συντεταγμένη, οπότε κάθε ιδιότητα ανάγεται στην αντίστοιχη ιδιότητα των πραγματικών αριθμών, εφαρμοσμένη σε κάθε συντεταγμένη. Αρκεί να γράψουμε την πρώτη συντεταγμένη, γιατί η δεύτερη είναι ίδια με δείκτη 22.

Απόδειξη

  1. u1+v1=v1+u1,(u1+v1)+w1=u1+(v1+w1)\resaltar{u_1 + v_1} = \resaltar{v_1 + u_1}, \qquad \resaltar{\left( u_1 + v_1 \right) + w_1} = \resaltar{u_1 + \left( v_1 + w_1 \right)}

    Αντιμεταθετική και προσεταιριστική ιδιότητα: κληρονομούνται από εκείνες της πρόσθεσης πραγματικών αριθμών.

  2. u1+0=u1,u1+(−u1)=0\resaltar{u_1 + 0} = \resaltar{u_1}, \qquad \resaltar{u_1 + \left( -u_1 \right)} = \resaltar{0}

    Ουδέτερο και αντίθετο: το 00 είναι ουδέτερο της πρόσθεσης και το −u1-u_1 είναι το αντίθετο του u1u_1.

  3. s(tu1)=(st)u1,1⋅u1=u1\resaltar{s \left( t u_1 \right)} = \resaltar{\left( s t \right) u_1}, \qquad \resaltar{1 \cdot u_1} = \resaltar{u_1}

    Προσεταιριστική ιδιότητα του γινομένου και μονάδα: το γινόμενο πραγματικών είναι προσεταιριστικό και έχει ουδέτερο το 11.

  4. t(u1+v1)=tu1+tv1,(s+t)u1=su1+tu1\resaltar{t \left( u_1 + v_1 \right)} = \resaltar{t u_1 + t v_1}, \qquad \resaltar{\left( s + t \right) u_1} = \resaltar{s u_1 + t u_1}

    Οι δύο επιμεριστικές ιδιότητες: το γινόμενο πραγματικών είναι επιμεριστικό ως προς την πρόσθεση.

  5. u⃗+v⃗=(u1+v1,u2+v2)=(v1+u1,v2+u2)=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \left( \resaltar{u_1 + v_1}, \resaltar{u_2 + v_2} \right) = \left( \resaltar{v_1 + u_1}, \resaltar{v_2 + u_2} \right) = \vec{v} + \vec{u}

    Δύο διανύσματα είναι ίσα αν και μόνο αν είναι ίσες οι δύο συντεταγμένες τους· επομένως, οι οκτώ ισότητες ισχύουν μεταξύ διανυσμάτων. Για παράδειγμα, η πρώτη.

Αυτές οι οκτώ ιδιότητες είναι τα αξιώματα διανυσματικού χώρου: κάθε σύνολο του οποίου τα στοιχεία προστίθενται μεταξύ τους και πολλαπλασιάζονται με πραγματικούς αριθμούς τηρώντας αυτούς τους οκτώ κανόνες ονομάζεται διανυσματικός χώρος, και ό,τι συνάγεται από αυτούς χωρίς χρήση συντεταγμένων θα ισχύει σε οποιονδήποτε τέτοιο χώρο. Τα πολυώνυμα του μαθήματος για την άλγεβρα των πολυωνύμων, με την πρόσθεσή τους και τον πολλαπλασιασμό τους με αριθμό, σχηματίζουν έναν ακόμη διανυσματικό χώρο.

Γραμμικοί συνδυασμοί και συγγραμμικά διανύσματα

Ένας γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v} είναι ένα διάνυσμα της μορφής su⃗+tv⃗s \vec{u} + t \vec{v}, με ss και tt πραγματικούς. Τα διανύσματα e⃗1=(1,0)\vec{e}_1 = \left( 1, 0 \right) και e⃗2=(0,1)\vec{e}_2 = \left( 0, 1 \right), που μετακινούν κατά μία μονάδα στη διεύθυνση κάθε άξονα, επιτρέπουν να γραφτεί κάθε διάνυσμα ως συνδυασμός τους, και με έναν μόνο τρόπο, γιατί το ae⃗1+be⃗2=(a,b)a \vec{e}_1 + b \vec{e}_2 = \left( a, b \right) είναι ίσο με το u⃗\vec{u} μόνο αν a=u1a = u_1 και b=u2b = u_2. Γι' αυτό ονομάζονται κανονική βάση του επιπέδου:

u⃗=(u1,u2)=u1e⃗1+u2e⃗2\vec{u} = \left( u_1, u_2 \right) = u_1 \vec{e}_1 + u_2 \vec{e}_2

Δύο μη μηδενικά διανύσματα u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v} είναι συγγραμμικά όταν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου, δηλαδή όταν v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u} για κάποιον πραγματικό tt, που δεν μπορεί να είναι μηδέν· έχουν την ίδια φορά αν t>0t > 0 και αντίθετες φορές αν t<0t < 0. Τα βέλη που τα παριστάνουν με κοινή αρχή βρίσκονται τότε πάνω στην ίδια ευθεία.

ΛήμμαΚριτήριο συγγραμμικότητας

Δύο μη μηδενικά διανύσματα u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v} είναι συγγραμμικά αν και μόνο αν u1v2−u2v1=0u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0.

Η μία συνεπαγωγή είναι ένας υπολογισμός· για την άλλη πρέπει να κατασκευάσουμε τον αριθμό tt με v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}, διαιρώντας με μια μη μηδενική συντεταγμένη του u⃗\vec{u}.

Απόδειξη

  1. u1(tu2)−u2(tu1)=0u_1 \resaltar{\left( t u_2 \right)} - u_2 \resaltar{\left( t u_1 \right)} = 0

    Αν v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}, οι συντεταγμένες του v⃗\vec{v} είναι tu1t u_1 και tu2t u_2, και η παράσταση μηδενίζεται. Στο σχήμα, u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right) και v⃗=(6,3)=3u⃗\vec{v} = \left( 6, 3 \right) = 3 \vec{u}.

  2. u1v2=u2v1,t=v1u1→v1=tu1\dato{h}{u_1 v_2 = u_2 v_1}, \quad t = \frac{v_1}{u_1} \rightarrow \resaltar{v_1 = t u_1}

    Αντίστροφα, ας υποθέσουμε ότι η παράσταση μηδενίζεται, και ας υποθέσουμε πρώτα u1≠0u_1 \neq 0. Ορίζουμε το tt ως το πηλίκο των πρώτων συντεταγμένων, έτσι ώστε η πρώτη συντεταγμένη του v⃗\vec{v} να είναι tu1t u_1. Στο σχήμα, t=62=3t = \frac{6}{2} = 3.

  3. v2=u2v1u1=u2tu1u1=tu2v_2 = \frac{u_2 \resaltar{v_1}}{u_1} = \frac{u_2 \resaltar{t u_1}}{u_1} = t u_2

    Λύνουμε την παραδοχή ως προς v2v_2: και η δεύτερη συντεταγμένη είναι tu2t u_2, και επομένως v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}. Στο σχήμα, 3=3⋅13 = 3 \cdot 1.

  4. u1=0→v1=0,t=v2u2u_1 = 0 \rightarrow \resaltar{v_1 = 0}, \quad t = \frac{v_2}{u_2}

    Αν u1=0u_1 = 0, τότε u2≠0u_2 \neq 0, γιατί το u⃗\vec{u} δεν είναι μηδενικό· η παραδοχή δίνει u2v1=0u_2 v_1 = 0, από όπου v1=0v_1 = 0, και με το πηλίκο των δεύτερων συντεταγμένων προκύπτει v⃗=tu⃗\vec{v} = t \vec{u}. Στο σχήμα, u⃗=(0,2)\vec{u} = \left( 0, 2 \right) και v⃗=(0,−3)\vec{v} = \left( 0, -3 \right), με t=−32t = -\frac{3}{2}.

Ο αριθμός u1v2−u2v1u_1 v_2 - u_2 v_1 είναι η ορίζουσα του μαθήματος για τα γραμμικά συστήματα, και το λήμμα που ακολουθεί εξηγεί τον λόγο.

ΛήμμαΣυνδυασμοί δύο μη συγγραμμικών διανυσμάτων

Αν u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v} είναι μη μηδενικά και μη συγγραμμικά διανύσματα, κάθε w⃗\vec{w} είναι γραμμικός συνδυασμός τους με μοναδικό τρόπο: υπάρχουν αριθμοί ss και tt, και ένα μόνο ζεύγος, τέτοιοι ώστε w⃗=su⃗+tv⃗\vec{w} = s \vec{u} + t \vec{v}.

Η ζητούμενη ισότητα, γραμμένη με συντεταγμένες, είναι ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους ss και tt, και αρκεί να εφαρμόσουμε σε αυτό τον κανόνα του Κράμερ.

Απόδειξη

  1. {u1s+v1t=w1u2s+v2t=w2\begin{cases} u_1 s + v_1 t = w_1 \\ u_2 s + v_2 t = w_2 \end{cases}

    Γράφουμε την ισότητα su⃗+tv⃗=w⃗s \vec{u} + t \vec{v} = \vec{w} συντεταγμένη προς συντεταγμένη. Στο σχήμα, u⃗=(2,1)\vec{u} = \left( 2, 1 \right), v⃗=(1,3)\vec{v} = \left( 1, 3 \right) και w⃗=(4,7)\vec{w} = \left( 4, 7 \right).

  2. D=u1v2−u2v1≠0\dato{D}{D = u_1 v_2 - u_2 v_1 \neq 0}

    Η ορίζουσα του συστήματος δεν είναι μηδέν, από το κριτήριο συγγραμμικότητας, γιατί τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά. Στο σχήμα, 2⋅3−1⋅1=52 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5.

  3. s=w1v2−v1w2D,t=u1w2−w1u2Ds = \frac{w_1 v_2 - v_1 w_2}{\resaltar{D}}, \quad t = \frac{u_1 w_2 - w_1 u_2}{\resaltar{D}}

    Από τον κανόνα του Κράμερ, το σύστημα έχει ακριβώς μία λύση, που δίνεται από τα πηλίκα που ακολουθούν. Στο σχήμα, s=12−75=1s = \frac{12 - 7}{5} = 1 και t=14−45=2t = \frac{14 - 4}{5} = 2, και πράγματι w⃗=u⃗+2v⃗\vec{w} = \vec{u} + 2 \vec{v}.

  4. su⃗+tv⃗=s1u⃗+t1v⃗→s=s1∧t=t1s \vec{u} + t \vec{v} = s_1 \vec{u} + t_1 \vec{v} \rightarrow \resaltar{s = s_1 \wedge t = t_1}

    Ειδικότερα, αν δύο συνδυασμοί των u⃗\vec{u} και v⃗\vec{v} είναι ίσοι, και οι δύο είναι η λύση του συστήματος με το ίδιο w⃗\vec{w}, και οι συντελεστές τους συμπίπτουν. Αυτή η σύγκριση συντελεστών είναι το εργαλείο αρκετών αποδείξεων του μαθήματος.