Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Αναλυτική τριγωνομετρία: σύνθεση και προκλήσεις

Περίληψη

Αυτό το μάθημα κλείνει την ενότητα της αναλυτικής τριγωνομετρίας. Συγκεντρώνει σε μία παραγωγική αλυσίδα όσα αποδείχθηκαν στα έξι μαθήματά της: τις θεμελιώδεις ταυτότητες, τον τύπο του συνημιτόνου διαφοράς και όλους όσοι προκύπτουν από αυτόν, τη μετατροπή αθροισμάτων σε γινόμενα και την αρμονική μορφή, την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων, τη γωνία δύο ευθειών και τη στροφή των αξόνων που ταξινομεί τις κωνικές. Εξηγεί πώς η αλυσίδα αυτή στηρίζεται στην ενότητα που προηγήθηκε και στον κύκλο μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I, ιδίως στον μοναδιαίο κύκλο, στις πολικές συντεταγμένες, στα πολυώνυμα και στις κωνικές, και πώς προετοιμάζει την ενότητα που ακολουθεί, όπου οι ίδιοι τύποι επανεμφανίζονται ως ο κανόνας πολλαπλασιασμού των μιγαδικών αριθμών. Τελειώνει με μια τελική αξιολόγηση, παράλληλη με την αρχική αξιολόγηση της εισαγωγής, και με δέκα προκλήσεις, δυσκολότερες από τα προτεινόμενα προβλήματα της ενότητας, που απαιτούν τον συνδυασμό πολλών μαθημάτων.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να ανασυνθέτει την παραγωγική αλυσίδα της ενότητας, από τον τύπο του συνημιτόνου διαφοράς ως την ταξινόμηση των κωνικών με τη διακρίνουσά τους, και να αναγνωρίζει σε κάθε βήμα το αποτέλεσμα από το οποίο εξαρτάται.
  2. Να συνδέει τα αποτελέσματα της ενότητας με εκείνα της ενότητας που προηγήθηκε και του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τον μοναδιαίο κύκλο, τις πολικές συντεταγμένες, τα πολυώνυμα και τις κωνικές.
  3. Να προβλέπει τον ρόλο των τύπων αθροίσματος στον πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών σε πολική μορφή.
  4. Να λύνει προβλήματα που συνδυάζουν ταυτότητες, εξισώσεις, γωνίες ευθειών και στροφές, επιλέγοντας κάθε φορά τον μετασχηματισμό που κάνει το πρόβλημα διαχειρίσιμο.

Όσα πέτυχε η ενότητα

Η ενότητα ξεκίνησε θεμελιώνοντας τη γλώσσα. Στο μάθημα για τις θεμελιώδεις τριγωνομετρικές ταυτότητες ορίστηκε η ταυτότητα ως μια ισότητα που ισχύει σε όλο το κοινό πεδίο ορισμού των δύο μελών της, συγκεντρώθηκαν οι ταυτότητες αντίστροφων, πηλίκου, οι πυθαγόρειες, οι ταυτότητες αρτιότητας και συμπληρωματικών γωνιών, και καθορίστηκε η μέθοδος απόδειξης: μετασχηματίζουμε το ένα μέλος στο άλλο, ή και τα δύο στην ίδια παράσταση, χωρίς να ξεκινάμε από αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε· ένα αντιπαράδειγμα αρκεί για να ανασκευαστεί μια ψευδής ταυτότητα. Με αυτή τη γλώσσα εκφράστηκε κάθε συνάρτηση συναρτήσει μιας άλλης, μετασχηματίστηκαν ρίζες με αντικαταστάσεις και αναγνωρίστηκαν η έλλειψη και η υπερβολή στις παραμετρήσεις (acos⁡t,bsin⁡t)\left( a \cos t, b \sin t \right) και (asec⁡t,btan⁡t)\left( a \sec t, b \tan t \right).

Η αποφασιστική καμπή ήταν το μάθημα για τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς. Υπολογίζοντας με δύο τρόπους το μήκος μιας χορδής του μοναδιαίου κύκλου, σε καρτεσιανές και σε πολικές συντεταγμένες, αποδείχθηκε ότι για όλους τους πραγματικούς α\alpha και β\beta ισχύει η ισότητα που ακολουθεί:

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Όλα τα άλλα προέκυψαν από αυτήν. Με την αρτιότητα προέκυψε το συνημίτονο αθροίσματος· με τις συμπληρωματικές γωνίες, το ημίτονο αθροίσματος και διαφοράς· με το πηλίκο, η εφαπτομένη αθροίσματος. Αν αυτό ισχύει, θέτοντας α=β\alpha = \beta προκύπτουν οι τύποι της διπλάσιας γωνίας· λύνοντας ως προς το τετράγωνο, οι τύποι αποτετραγωνισμού και της μισής γωνίας· προσθέτοντας άλλη μία φορά, οι τύποι της τριπλάσιας γωνίας. Η αντικατάσταση t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2} μετέτρεψε το ημίτονο και το συνημίτονο σε ρητές συναρτήσεις του tt, και από εκεί προέκυψαν η ρητή παραμέτρηση του κύκλου και ο τύπος όλων των πυθαγόρειων τριάδων.

Το μάθημα για τη μετατροπή αθροισμάτων σε γινόμενα διέτρεξε τον αντίστροφο δρόμο: προσθέτοντας και αφαιρώντας τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς, τα γινόμενα μετατρέπονται σε αθροίσματα και τα αθροίσματα σε γινόμενα. Το κύριο αποτέλεσμά του είναι ότι κάθε συνδυασμός asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x είναι ένα μόνο κύμα Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi), με R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}· από αυτό έπονται το σύνολο τιμών του, [−R,R]\icc{-R}{R}, η επαλληλία ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας, τα διακροτήματα και, με έναν παράγοντα που κάνει το άθροισμα τηλεσκοπικό, τα αθροίσματα ημιτόνων και συνημιτόνων σε αριθμητική πρόοδο.

Με αυτά τα εργαλεία, το μάθημα για τις τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις μπόρεσε να λύσει μια ολόκληρη οικογένεια προβλημάτων. Οι γενικές λύσεις των sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c και tan⁡x=c\tan x = c επεκτείνουν μέσω της περιοδικότητας εκείνες που δίνουν οι αντίστροφες συναρτήσεις· οι υπόλοιπες εξισώσεις ανάγονται σε αυτές με ταυτότητες, παραγοντοποίηση, ισότητα δύο ημιτόνων ή δύο συνημιτόνων και αρμονική μορφή, με δύο μόνιμες προφυλάξεις: η διαίρεση μπορεί να χάσει λύσεις και η ύψωση στο τετράγωνο μπορεί να προσθέσει. Οι ανισώσεις λύθηκαν σε μία στροφή, με τον μοναδιαίο κύκλο ή με πίνακες προσήμων, και επεκτάθηκαν περιοδικά.

Τα δύο τελευταία μαθήματα μετέφεραν αυτόν τον λογισμό στην αναλυτική γεωμετρία. Στο μάθημα για τη γωνία δύο ευθειών, η εφαπτομένη διαφοράς έδωσε τη γωνία δύο ευθειών από τις κλίσεις τους, και το εσωτερικό γινόμενο έναν δεύτερο τύπο, που ισχύει και για τις κατακόρυφες ευθείες· βρέθηκαν οι διχοτόμοι και το έγκεντρο, και μοντελοποιήθηκαν απρόσιτα ύψη, η αρμονική ταλάντωση, το βεληνεκές των βλημάτων και η ανάκλαση του φωτός. Εκείνο το μάθημα είναι το μόνο της ενότητας που δέχεται κάτι χωρίς απόδειξη, και το δηλώνει: από την ευκλείδεια γεωμετρία, τα τρία γεγονότα που ήδη δεχόταν ο πρώτος κύκλος μαθημάτων (το πυθαγόρειο θεώρημα, την ισότητα των εντός εκτός και επί τα αυτά γωνιών μεταξύ παραλλήλων και το άθροισμα π\pi των γωνιών ενός τριγώνου), και από τη φυσική, τις εξισώσεις της απλής αρμονικής ταλάντωσης και του βλήματος. Τέλος, στο μάθημα για τη στροφή των αξόνων, οι τύποι της διαφοράς περιέγραψαν την αλλαγή συντεταγμένων όταν στρέφονται οι άξονες· η γωνία που ικανοποιεί την cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} απαλείφει τον όρο με xyxy, το άθροισμα A+CA + C και η διακρίνουσα B2−4ACB^2 - 4AC δεν αλλάζουν με τη στροφή, και συνεπώς το πρόσημο της διακρίνουσας ταξινομεί κάθε εξίσωση δευτέρου βαθμού.

Ολόκληρη η αλυσίδα συνοψίζεται έτσι: μια χορδή υπολογισμένη με δύο τρόπους δίνει το συνημίτονο διαφοράς· από αυτό βγαίνουν όλοι οι τύποι αθροίσματος· από αυτούς, οι μετατροπές και η αρμονική μορφή· με όλους αυτούς λύνονται εξισώσεις· και οι λυμένες εξισώσεις μετρούν γωνίες ευθειών και απαλείφουν τον μικτό όρο των κωνικών. Το σχήμα που ακολουθεί συγκεντρώνει αυτή την αλυσίδα σε πέντε τμήματα, που ακολουθούν τη σειρά των παραγράφων πιο πάνω: κάθε κόμβος της στήλης είναι ένας ορισμός ή ένα θεώρημα, αριθμημένος κατά τη λογική σειρά και ενωμένος με ένα τόξο με τους κρίκους που προηγούνται και που χρησιμοποιεί η απόδειξή του· γύρω τους αιωρούνται τα στηρίγματα, δηλαδή οι αρχές και τα εργαλεία στα οποία η αλυσίδα καταφεύγει ξανά και ξανά, καθένα ενωμένο με συνεχή γραμμή με τους κρίκους που στηρίζονται σε αυτό και με διακεκομμένη με τον κρίκο όπου θεμελιώνεται, εκτός από όσα γίνονται δεκτά χωρίς απόδειξη ή προέρχονται από την ενότητα που προηγήθηκε ή από τον πρώτο κύκλο μαθημάτων, που σχεδιάζονται ως δακτύλιοι. Πατώντας ένα στήριγμα τονίζονται όλοι οι κρίκοι που το χρησιμοποιούν, και κάθε κρίκος παραπέμπει στο μάθημα όπου αποδεικνύεται.

Στηρίγματα της αλυσίδας

  • AΜοναδιαίος κύκλος. Γίνεται δεκτό το αξίωμα της διαδρομής κατά μήκος τόξου: για κάθε πραγματικό ss υπάρχει ένα μοναδικό σημείο P(s)P(s) του μοναδιαίου κύκλου στο οποίο φτάνουμε από το (1,0)(1, 0) διανύοντας μήκος ∣s∣\abs{s}, οι διαδρομές διαδέχονται η μία την άλλη, P(s+2π)=P(s)P(s + 2\pi) = P(s), η τετμημένη του P(s)P(s) φθίνει γνησίως στο [0,π]\icc{0}{\pi} και αυξάνει στο [π,2π]\icc{\pi}{2\pi}, και κάθε σημείο του κύκλου είναι κάποιο P(s)P(s). Από αυτό το αξίωμα αποδείχθηκε στην ενότητα για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις πολικές συντεταγμένες ότι κάθε σημείο του κύκλου είναι το P(θ)P(\theta) για ένα μοναδικό θ\theta στο [0,2π)\ico{0}{2\pi}, ότι το συνημίτονο και το ημίτονο, συντεταγμένες του P(θ)P(\theta), είναι περιοδικές και ικανοποιούν τις ταυτότητες αρτιότητας και συμπληρωματικών γωνιών, και ότι είναι γνησίως μονότονες στα κύρια διαστήματά τους. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • BΑντίστροφες συναρτήσεις. Το τοξημίτονο, το τοξοσυνημίτονο και η τοξεφαπτομένη δίνουν, στα κύρια διαστήματά τους, τη μοναδική γωνία που έχει δοσμένο ημίτονο, συνημίτονο ή εφαπτομένη· αποδείχθηκε στην ενότητα για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις πολικές συντεταγμένες. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • CΠολικές συντεταγμένες. Ένα σημείο με πολικές συντεταγμένες (r,φ)(r, \varphi) έχει καρτεσιανές συντεταγμένες x=rcos⁡φx = r \cos \varphi και y=rsin⁡φy = r \sin \varphi, και η απόσταση των (r1,θ1)(r_1, \theta_1) και (r2,θ2)(r_2, \theta_2) ικανοποιεί την d2=r12+r22−2r1r2cos⁡(θ1−θ2)d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)· αποδείχθηκε στην ενότητα για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις πολικές συντεταγμένες. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • DΑναλυτική γεωμετρία του επιπέδου. Ο τύπος της απόστασης, η απόσταση σημείου από ευθεία, το θεώρημα των ημιεπιπέδων, το εσωτερικό γινόμενο με την ανισότητα Κωσί-Σβαρτς και τη γωνία δύο διανυσμάτων, και η ταξινόμηση των κωνικών με άξονες παράλληλους προς τους άξονες συντεταγμένων· αποδείχθηκαν στον πρώτο κύκλο μαθημάτων, στην ενότητα για την αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου, και στο μάθημα για την επίλυση τριγώνων. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • EΆλγεβρα και αριθμητική του πρώτου κύκλου. Η παραγοντοποίηση πολυωνύμων, το θεώρημα του παράγοντα και η συνθετική διαίρεση, οι πίνακες προσήμων, τα τηλεσκοπικά αθροίσματα και το λήμμα του Ευκλείδη· αποδείχθηκαν στον πρώτο κύκλο μαθημάτων, στις ενότητες για τους φυσικούς αριθμούς και για τις αλγεβρικές συναρτήσεις και τα πολυώνυμα. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • FΠυθαγόρεια ταυτότητα. Για κάθε θ\theta ισχύει sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1, και στα πεδία ορισμού τους, 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta και 1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 2. Θεμελιώδεις ταυτότητες.
  • GΤύποι αθροίσματος. Για όλους τους πραγματικούς α\alpha και β\beta ισχύουν cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta και sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta, καθώς και οι τύποι της διαφοράς, που προκύπτουν αν αντικαταστήσουμε το β\beta με −β-\beta. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 6. Τύποι αθροίσματος.
  • HΕυκλείδεια γεωμετρία. Γίνονται δεκτά από την ευκλείδεια γεωμετρία, όπως στην ενότητα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για την αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου, το πυθαγόρειο θεώρημα και το αντίστροφό του, η ισότητα των εντός εκτός και επί τα αυτά γωνιών που σχηματίζει μια τέμνουσα με δύο παράλληλες και το άθροισμα π\pi των γωνιών ενός τριγώνου· από αυτά συνάγονται η ισότητα των κατακορυφήν γωνιών και των εντός εναλλάξ γωνιών μεταξύ παραλλήλων. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.

  1. Τμήμα 1 Η γλώσσα: οι ταυτότητες και η απόδειξή τους

    • Να ορίζει την ταυτότητα ως μια ισότητα που ισχύει σε όλο το κοινό πεδίο ορισμού των μελών της, και να τη διακρίνει από την εξίσωση.
    • Να συγκεντρώνει τις ταυτότητες αντίστροφων, πηλίκου, τις πυθαγόρειες, τις ταυτότητες αρτιότητας και συμπληρωματικών γωνιών.
    • Να αποδεικνύει ταυτότητες χωρίς να ξεκινά από αυτό που θέλει να αποδείξει, και να ανασκευάζει τις ψευδείς με ένα αντιπαράδειγμα.
    • Να μετασχηματίζει ρίζες με αντικαταστάσεις και να αναγνωρίζει την έλλειψη και την υπερβολή στις τριγωνομετρικές τους παραμετρήσεις.

    1. Η ταυτότητα και η απόδειξή της. Ταυτότητα είναι μια ισότητα που ισχύει σε όλο το κοινό πεδίο ορισμού των δύο μελών της· αποδεικνύεται μετασχηματίζοντας το ένα μέλος στο άλλο, ή και τα δύο στην ίδια παράσταση, χωρίς να ξεκινάμε από αυτήν, και ανασκευάζεται με ένα μόνο αντιπαράδειγμα.

      Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεμελιώδεις τριγωνομετρικές ταυτότητες.

    2. Θεμελιώδεις ταυτότητες. Στο κοινό πεδίο ορισμού καθεμιάς ισχύουν οι ταυτότητες αντίστροφων, πηλίκου και οι πυθαγόρειες· το ημίτονο, η εφαπτομένη, η συντέμνουσα και η συνεφαπτομένη είναι περιττές, το συνημίτονο και η τέμνουσα είναι άρτιες, και κάθε συνάρτηση του π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta είναι η συμπληρωματική της συνάρτηση του θ\theta.

      Χρησιμοποιεί: 1. Η ταυτότητα και η απόδειξή της. Στηρίζεται σε: A (Μοναδιαίος κύκλος). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεμελιώδεις τριγωνομετρικές ταυτότητες.

    3. Τριγωνομετρικές αντικαταστάσεις. Αν θ=arcsin⁡x\theta = \arcsin x, τότε 1−x2=cos⁡θ\sqrt{1 - x^2} = \cos \theta· αν θ=arctan⁡x\theta = \arctan x, τότε 1+x2=sec⁡θ\sqrt{1 + x^2} = \sec \theta· και αν x≥1x \geq 1 και θ=arccos⁡1x\theta = \arccos \frac{1}{x}, τότε x2−1=tan⁡θ\sqrt{x^2 - 1} = \tan \theta.

      Χρησιμοποιεί: 2. Θεμελιώδεις ταυτότητες. Στηρίζεται σε: F (Πυθαγόρεια ταυτότητα), B (Αντίστροφες συναρτήσεις). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεμελιώδεις τριγωνομετρικές ταυτότητες.

    4. Παραμετρική έλλειψη και υπερβολή. Όταν το tt διατρέχει το [0,2π)\ico{0}{2\pi}, το σημείο (acos⁡t,bsin⁡t)(a \cos t, b \sin t) διατρέχει μία μόνο φορά την έλλειψη x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1· και το σημείο (asec⁡t,btan⁡t)(a \sec t, b \tan t) διατρέχει μία μόνο φορά τον δεξιό κλάδο της υπερβολής x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 όταν το tt διατρέχει το (−π2,π2)\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}, και τον αριστερό όταν διατρέχει το (π2,3π2)\ioo{\frac{\pi}{2}}{\frac{3\pi}{2}}.

      Χρησιμοποιεί: 2. Θεμελιώδεις ταυτότητες. Στηρίζεται σε: A (Μοναδιαίος κύκλος), F (Πυθαγόρεια ταυτότητα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεμελιώδεις τριγωνομετρικές ταυτότητες.

  2. Τμήμα 2 Ο τύπος του συνημιτόνου διαφοράς και οι συνέπειές του

    • Να αποδεικνύει τον τύπο του συνημιτόνου διαφοράς υπολογίζοντας με δύο τρόπους μια χορδή του μοναδιαίου κύκλου.
    • Να συνάγει από αυτόν το συνημίτονο και το ημίτονο αθροίσματος και διαφοράς, και την εφαπτομένη αθροίσματος.
    • Να βρίσκει τους τύπους της διπλάσιας γωνίας, του αποτετραγωνισμού, της μισής γωνίας και της τριπλάσιας γωνίας.
    • Να εκφράζει το ημίτονο και το συνημίτονο ως ρητές συναρτήσεις του t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2}, να παραμετρεί ρητά τον κύκλο και να παράγει όλες τις πυθαγόρειες τριάδες.

    1. Συνημίτονο διαφοράς. Για όλους τους πραγματικούς α\alpha και β\beta ισχύει cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta, επειδή η χορδή που ενώνει το P(α)P(\alpha) με το P(β)P(\beta) έχει το ίδιο μήκος υπολογισμένη σε καρτεσιανές και σε πολικές συντεταγμένες.

      Στηρίζεται σε: C (Πολικές συντεταγμένες), D (Αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου), F (Πυθαγόρεια ταυτότητα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τύποι αθροίσματος, διαφοράς, διπλάσιας και μισής γωνίας.

    2. Τύποι αθροίσματος. Με την αρτιότητα και τις συμπληρωματικές γωνίες προκύπτουν cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta, sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta και το ημίτονο διαφοράς· και, αν οι εφαπτομένες των α\alpha και β\beta ορίζονται και tan⁡αtan⁡β≠1\tan \alpha \tan \beta \neq 1, tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}.

      Χρησιμοποιεί: 2. Θεμελιώδεις ταυτότητες, 5. Συνημίτονο διαφοράς. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τύποι αθροίσματος, διαφοράς, διπλάσιας και μισής γωνίας.

    3. Διπλάσια γωνία. Ισχύουν sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta, cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta και, όπου ορίζεται, tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}.

      Στηρίζεται σε: G (Τύποι αθροίσματος), F (Πυθαγόρεια ταυτότητα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τύποι αθροίσματος, διαφοράς, διπλάσιας και μισής γωνίας.

    4. Αποτετραγωνισμός και μισή γωνία. Ισχύουν cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} και sin⁡2θ=1−cos⁡2θ2\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}· από αυτούς, το ημίτονο και το συνημίτονο του θ2\frac{\theta}{2} είναι οι ρίζες του 1−cos⁡θ2\frac{1 - \cos \theta}{2} και του 1+cos⁡θ2\frac{1 + \cos \theta}{2} με το πρόσημο του τεταρτημορίου τους, και tan⁡θ2=sin⁡θ1+cos⁡θ\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} αν cos⁡θ≠−1\cos \theta \neq -1.

      Χρησιμοποιεί: 7. Διπλάσια γωνία. Στηρίζεται σε: F (Πυθαγόρεια ταυτότητα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τύποι αθροίσματος, διαφοράς, διπλάσιας και μισής γωνίας.

    5. Τριπλάσια γωνία. Για κάθε πραγματικό θ\theta ισχύουν cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta και sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta.

      Χρησιμοποιεί: 7. Διπλάσια γωνία. Στηρίζεται σε: F (Πυθαγόρεια ταυτότητα), G (Τύποι αθροίσματος). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τύποι αθροίσματος, διαφοράς, διπλάσιας και μισής γωνίας.

    6. Εφαπτομένη της μισής γωνίας. Αν το θ\theta δεν είναι περιττό πολλαπλάσιο του π\pi και t=tan⁡θ2t = \tan \frac{\theta}{2}, τότε sin⁡θ=2t1+t2\sin \theta = \frac{2t}{1 + t^2} και cos⁡θ=1−t21+t2\cos \theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}.

      Χρησιμοποιεί: 7. Διπλάσια γωνία. Στηρίζεται σε: F (Πυθαγόρεια ταυτότητα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τύποι αθροίσματος, διαφοράς, διπλάσιας και μισής γωνίας.

    7. Ρητή παραμέτρηση. Η ευθεία με κλίση tt που διέρχεται από το (−1,0)(-1, 0) τέμνει ξανά τον μοναδιαίο κύκλο στο (1−t21+t2,2t1+t2)\left( \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \frac{2t}{1 + t^2} \right)· κάθε άλλο σημείο του κύκλου προκύπτει έτσι για ένα μοναδικό tt, και είναι ρητό αν και μόνο αν το tt είναι ρητό.

      Χρησιμοποιεί: 10. Εφαπτομένη της μισής γωνίας. Στηρίζεται σε: E (Άλγεβρα και αριθμητική του πρώτου κύκλου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τύποι αθροίσματος, διαφοράς, διπλάσιας και μισής γωνίας.

    8. Πυθαγόρειες τριάδες. Οι πρωταρχικές πυθαγόρειες τριάδες με άρτιο bb είναι ακριβώς οι a=m2−n2a = m^2 - n^2, b=2mnb = 2mn και c=m2+n2c = m^2 + n^2, με m>nm > n, ΜΚΔ⁡(m,n)=1\operatorname{\text{ΜΚΔ}}(m, n) = 1 και περιττό m−nm - n.

      Χρησιμοποιεί: 11. Ρητή παραμέτρηση. Στηρίζεται σε: E (Άλγεβρα και αριθμητική του πρώτου κύκλου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τύποι αθροίσματος, διαφοράς, διπλάσιας και μισής γωνίας.

  3. Τμήμα 3 Οι μετατροπές και η αρμονική μορφή

    • Να μετατρέπει γινόμενα σε αθροίσματα και αθροίσματα σε γινόμενα, προσθέτοντας και αφαιρώντας τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς.
    • Να γράφει κάθε συνδυασμό asin⁡x+bcos⁡xa \sin x + b \cos x ως ένα μόνο κύμα Rsin⁡(x+φ)R \sin(x + \varphi) και να βρίσκει το σύνολο τιμών του.
    • Να συνθέτει ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας και να εξηγεί τα διακροτήματα.
    • Να αθροίζει ημίτονα και συνημίτονα σε αριθμητική πρόοδο με ένα τηλεσκοπικό άθροισμα.

    1. Μετατροπή γινομένου σε άθροισμα. Ισχύει sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left( \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) \right), και με τον ίδιο τρόπο τα cos⁡αsin⁡β\cos \alpha \sin \beta, cos⁡αcos⁡β\cos \alpha \cos \beta και sin⁡αsin⁡β\sin \alpha \sin \beta είναι ημιαθροίσματα ή ημιδιαφορές των ημιτόνων ή των συνημιτόνων των α+β\alpha + \beta και α−β\alpha - \beta.

      Στηρίζεται σε: G (Τύποι αθροίσματος). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μετατροπή αθροισμάτων σε γινόμενα και η αρμονική μορφή.

    2. Μετατροπή αθροίσματος σε γινόμενο. Για όλους τους πραγματικούς pp και qq ισχύει sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p + \sin q = 2 \sin \frac{p + q}{2} \cos \frac{p - q}{2}, με ανάλογους τύπους για τα sin⁡p−sin⁡q\sin p - \sin q, cos⁡p+cos⁡q\cos p + \cos q και cos⁡p−cos⁡q\cos p - \cos q· από αυτό έπονται τα διακροτήματα του sin⁡(ax)+sin⁡(bx)\sin(ax) + \sin(bx).

      Χρησιμοποιεί: 13. Μετατροπή γινομένου σε άθροισμα. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μετατροπή αθροισμάτων σε γινόμενα και η αρμονική μορφή.

    3. Αρμονική μορφή. Αν τα aa και bb δεν είναι και τα δύο μηδέν και R=a2+b2R = \sqrt{a^2 + b^2}, υπάρχει μοναδικό φ\varphi στο [0,2π)\ico{0}{2\pi} τέτοιο ώστε asin⁡x+bcos⁡x=Rsin⁡(x+φ)a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \varphi) για κάθε xx· η μορφή αυτή είναι μοναδική, και η συνάρτηση έχει σύνολο τιμών [−R,R]\icc{-R}{R}.

      Στηρίζεται σε: A (Μοναδιαίος κύκλος), D (Αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου), F (Πυθαγόρεια ταυτότητα), G (Τύποι αθροίσματος). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μετατροπή αθροισμάτων σε γινόμενα και η αρμονική μορφή.

    4. Επαλληλία ταλαντώσεων. Εκτός αν αλληλοαναιρούνται, οι ταλαντώσεις A1sin⁡(ωt+φ1)A_1 \sin(\omega t + \varphi_1) και A2sin⁡(ωt+φ2)A_2 \sin(\omega t + \varphi_2) δίνουν ως άθροισμα μια ταλάντωση της ίδιας συχνότητας, της οποίας το πλάτος ικανοποιεί A2=A12+A22+2A1A2cos⁡(φ1−φ2)A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2).

      Χρησιμοποιεί: 5. Συνημίτονο διαφοράς, 15. Αρμονική μορφή. Στηρίζεται σε: F (Πυθαγόρεια ταυτότητα), G (Τύποι αθροίσματος). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μετατροπή αθροισμάτων σε γινόμενα και η αρμονική μορφή.

    5. Αθροίσματα σε αριθμητική πρόοδο. Αν το xx δεν είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π2\pi, ισχύει ∑k=1nsin⁡(kx)=sin⁡nx2sin⁡(n+1)x2sin⁡x2\sum_{k=1}^{n} \sin(kx) = \frac{\sin \frac{nx}{2} \sin \frac{(n + 1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}, και το άθροισμα των συνημιτόνων προκύπτει με cos⁡(n+1)x2\cos \frac{(n + 1)x}{2} στη θέση του sin⁡(n+1)x2\sin \frac{(n + 1)x}{2}.

      Χρησιμοποιεί: 13. Μετατροπή γινομένου σε άθροισμα, 14. Μετατροπή αθροίσματος σε γινόμενο. Στηρίζεται σε: E (Άλγεβρα και αριθμητική του πρώτου κύκλου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μετατροπή αθροισμάτων σε γινόμενα και η αρμονική μορφή.

  4. Τμήμα 4 Οι εξισώσεις και οι ανισώσεις

    • Να βρίσκει τις γενικές λύσεις των sin⁡x=c\sin x = c, cos⁡x=c\cos x = c και tan⁡x=c\tan x = c από τις αντίστροφες συναρτήσεις και την περιοδικότητα.
    • Να ανάγει τις υπόλοιπες εξισώσεις στις στοιχειώδεις με ταυτότητες, παραγοντοποίηση, ισότητα δύο ημιτόνων ή δύο συνημιτόνων και αρμονική μορφή.
    • Να μη χάνει λύσεις όταν διαιρεί ούτε να προσθέτει όταν υψώνει στο τετράγωνο.
    • Να λύνει ανισώσεις σε μία στροφή, με τον μοναδιαίο κύκλο ή με πίνακες προσήμων, και να τις επεκτείνει περιοδικά.

    1. Γενικές λύσεις. Αν ∣c∣≤1\abs{c} \leq 1, οι λύσεις της sin⁡x=c\sin x = c είναι οι arcsin⁡c+2kπ\arcsin c + 2k\pi και π−arcsin⁡c+2kπ\pi - \arcsin c + 2k\pi, και της cos⁡x=c\cos x = c οι arccos⁡c+2kπ\arccos c + 2k\pi και −arccos⁡c+2kπ-\arccos c + 2k\pi· για κάθε πραγματικό cc, οι λύσεις της tan⁡x=c\tan x = c είναι οι arctan⁡c+kπ\arctan c + k\pi, με ακέραιο kk.

      Χρησιμοποιεί: 2. Θεμελιώδεις ταυτότητες. Στηρίζεται σε: A (Μοναδιαίος κύκλος), B (Αντίστροφες συναρτήσεις). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις.

    2. Ισότητα ημιτόνων και συνημιτόνων. Ισχύει sin⁡A=sin⁡B\sin A = \sin B αν και μόνο αν A=B+2kπA = B + 2k\pi ή A=π−B+2kπA = \pi - B + 2k\pi, και cos⁡A=cos⁡B\cos A = \cos B αν και μόνο αν A=B+2kπA = B + 2k\pi ή A=−B+2kπA = -B + 2k\pi, για κάποιον ακέραιο kk· δύο ορισμένες εφαπτομένες είναι ίσες αν και μόνο αν A=B+kπA = B + k\pi.

      Χρησιμοποιεί: 14. Μετατροπή αθροίσματος σε γινόμενο. Στηρίζεται σε: A (Μοναδιαίος κύκλος), G (Τύποι αθροίσματος). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις.

    3. Πολυωνυμικές και ομογενείς εξισώσεις. Η εξίσωση P(sin⁡x)=0P(\sin x) = 0 είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις sin⁡x=r\sin x = r για τις πραγματικές ρίζες rr του PP· μια ομογενής εξίσωση ως προς sin⁡x\sin x και cos⁡x\cos x ανάγεται σε πολυωνυμική ως προς tan⁡x\tan x αφού εξεταστούν χωριστά οι ρίζες του συνημιτόνου· και κάθε λύση που προκύπτει με ύψωση στο τετράγωνο πρέπει να επαληθεύεται.

      Χρησιμοποιεί: 18. Γενικές λύσεις. Στηρίζεται σε: E (Άλγεβρα και αριθμητική του πρώτου κύκλου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις.

    4. Γραμμική εξίσωση ως προς ημίτονο και συνημίτονο. Η εξίσωση asin⁡x+bcos⁡x=ca \sin x + b \cos x = c έχει λύση αν και μόνο αν c2≤a2+b2c^2 \leq a^2 + b^2, και τότε οι λύσεις της είναι οι −φ+arcsin⁡cR+2kπ-\varphi + \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi και π−φ−arcsin⁡cR+2kπ\pi - \varphi - \arcsin \frac{c}{R} + 2k\pi, όπου τα RR και φ\varphi είναι εκείνα της αρμονικής μορφής.

      Χρησιμοποιεί: 15. Αρμονική μορφή, 18. Γενικές λύσεις. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις.

    5. Ανισώσεις. Αν −1<c<1-1 < c < 1 και β=arccos⁡c\beta = \arccos c, ισχύει cos⁡x>c\cos x > c αν και μόνο αν −β+2kπ<x<β+2kπ-\beta + 2k\pi < x < \beta + 2k\pi για κάποιον ακέραιο kk, και το ανάλογο ισχύει για το ημίτονο· τα γινόμενα και τα πηλίκα τριγωνομετρικών παραγόντων λύνονται με έναν πίνακα προσήμων σε μία στροφή.

      Χρησιμοποιεί: 18. Γενικές λύσεις. Στηρίζεται σε: A (Μοναδιαίος κύκλος), B (Αντίστροφες συναρτήσεις), E (Άλγεβρα και αριθμητική του πρώτου κύκλου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις.

  5. Τμήμα 5 Η αναλυτική γεωμετρία: ευθείες και κωνικές

    • Να μετρά τη γωνία δύο ευθειών με την εφαπτομένη διαφοράς και με το εσωτερικό γινόμενο.
    • Να βρίσκει τις διχοτόμους δύο ευθειών και το έγκεντρο ενός τριγώνου.
    • Να μοντελοποιεί απρόσιτα ύψη, την αρμονική ταλάντωση, το βεληνεκές ενός βλήματος και την ανάκλαση του φωτός.
    • Να συνάγει τους τύπους στροφής, να απαλείφει τον όρο με xyxy και να ταξινομεί κάθε εξίσωση δευτέρου βαθμού με το πρόσημο της διακρίνουσας.

    1. Γωνία δύο ευθειών. Η κλίση μιας μη κατακόρυφης ευθείας είναι η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της· δύο ευθείες με κλίσεις m1m_1 και m2m_2 είναι κάθετες αν και μόνο αν 1+m1m2=01 + m_1 m_2 = 0, και αν δεν είναι, η γωνία θ\theta μεταξύ τους ικανοποιεί tan⁡θ=∣m2−m11+m1m2∣\tan \theta = \abs{\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}}, σε συμφωνία με τον τύπο του εσωτερικού γινομένου των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους.

      Χρησιμοποιεί: 5. Συνημίτονο διαφοράς, 6. Τύποι αθροίσματος. Στηρίζεται σε: B (Αντίστροφες συναρτήσεις), D (Αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου), F (Πυθαγόρεια ταυτότητα), H (Ευκλείδεια γεωμετρία). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η γωνία δύο ευθειών και εφαρμογές της τριγωνομετρίας.

    2. Διχοτόμοι και έγκεντρο. Τα σημεία που ισαπέχουν από δύο τεμνόμενες ευθείες σχηματίζουν δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους, τις διχοτόμους, καθεμιά από τις οποίες χωρίζει σε ίσα μέρη ένα διαφορετικό ζεύγος κατακορυφήν γωνιών· και οι τρεις εσωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου, καθεμιά από τις οποίες τέμνει την απέναντι πλευρά, τέμνονται σε ένα εσωτερικό σημείο, το έγκεντρο, κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.

      Χρησιμοποιεί: 8. Αποτετραγωνισμός και μισή γωνία. Στηρίζεται σε: D (Αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου), H (Ευκλείδεια γεωμετρία). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η γωνία δύο ευθειών και εφαρμογές της τριγωνομετρίας.

    3. Βεληνεκές βλήματος. Αν δεχτούμε από τη φυσική τις εξισώσεις της κίνησης, που συνδυάζουν μια ομαλή οριζόντια μετατόπιση με μια ομαλά επιταχυνόμενη πτώση, το βεληνεκές ενός βλήματος που εκτοξεύεται με ταχύτητα μέτρου vv και γωνία βολής θ\theta είναι v2sin⁡2θg\frac{v^2 \sin 2\theta}{g}· είναι μέγιστο για θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}, και κάθε μικρότερο βεληνεκές επιτυγχάνεται με ακριβώς δύο γωνίες, που είναι συμπληρωματικές.

      Χρησιμοποιεί: 18. Γενικές λύσεις, 7. Διπλάσια γωνία. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η γωνία δύο ευθειών και εφαρμογές της τριγωνομετρίας.

    4. Τύποι στροφής. Αν οι άξονες στραφούν κατά γωνία θ\theta, οι νέες συντεταγμένες είναι X=xcos⁡θ+ysin⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta και Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = -x \sin \theta + y \cos \theta, και η απόσταση δύο σημείων δεν αλλάζει.

      Στηρίζεται σε: A (Μοναδιαίος κύκλος), C (Πολικές συντεταγμένες), F (Πυθαγόρεια ταυτότητα), G (Τύποι αθροίσματος). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Στροφή αξόνων και η γενική εξίσωση δευτέρου βαθμού.

    5. Συντελεστές μετά τη στροφή. Όταν στρέφονται οι άξονες, η εξίσωση Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 διατηρεί τον σταθερό όρο της, και ο νέος συντελεστής του XYXY είναι B1=Bcos⁡2θ−(A−C)sin⁡2θB_1 = B \cos 2\theta - (A - C) \sin 2\theta.

      Χρησιμοποιεί: 26. Τύποι στροφής, 7. Διπλάσια γωνία. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Στροφή αξόνων και η γενική εξίσωση δευτέρου βαθμού.

    6. Απαλοιφή του όρου με xy. Αν B≠0B \neq 0, υπάρχει μία μοναδική γωνία θ\theta στο (0,π2)\ioo{0}{\frac{\pi}{2}} της οποίας η στροφή μηδενίζει τον B1B_1: εκείνη που ικανοποιεί cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B}.

      Χρησιμοποιεί: 27. Συντελεστές μετά τη στροφή. Στηρίζεται σε: B (Αντίστροφες συναρτήσεις). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Στροφή αξόνων και η γενική εξίσωση δευτέρου βαθμού.

    7. Αναλλοίωτες ποσότητες της στροφής. Για κάθε γωνία στροφής ισχύουν A1+C1=A+CA_1 + C_1 = A + C και B12−4A1C1=B2−4ACB_1^2 - 4A_1C_1 = B^2 - 4AC.

      Χρησιμοποιεί: 27. Συντελεστές μετά τη στροφή, 7. Διπλάσια γωνία. Στηρίζεται σε: F (Πυθαγόρεια ταυτότητα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Στροφή αξόνων και η γενική εξίσωση δευτέρου βαθμού.

    8. Ταξινόμηση με τη διακρίνουσα. Αν τα AA, BB και CC δεν είναι όλα μηδέν και Δ=B2−4AC\Delta = B^2 - 4AC, η εξίσωση παριστάνει μια έλλειψη, ένα σημείο ή κανένα σημείο αν Δ<0\Delta < 0· μια παραβολή, δύο παράλληλες ευθείες, μία ευθεία ή κανένα σημείο αν Δ=0\Delta = 0· και μια υπερβολή ή δύο τεμνόμενες ευθείες αν Δ>0\Delta > 0.

      Χρησιμοποιεί: 26. Τύποι στροφής, 28. Απαλοιφή του όρου με xy, 29. Αναλλοίωτες ποσότητες της στροφής. Στηρίζεται σε: D (Αναλυτική γεωμετρία του επιπέδου). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Στροφή αξόνων και η γενική εξίσωση δευτέρου βαθμού.

Προς τους μιγαδικούς σε πολική μορφή. Όταν πολλαπλασιάζουμε το cos⁡α+isin⁡α\cos \alpha + i \sin \alpha με το cos⁡β+isin⁡β\cos \beta + i \sin \beta εμφανίζονται το συνημίτονο και το ημίτονο του α+β\alpha + \beta: οι τύποι αθροίσματος είναι ο κανόνας πολλαπλασιασμού των μιγαδικών αριθμών, και η ενότητα που ακολουθεί τους συγκεντρώνει σε έναν μόνο, τον τύπο του Ντε Μουάβρ.