Die Zahlbereiche: Synthese und Herausforderungen

Zusammenfassung

Diese Lektion schließt die Einheit über die Zahlbereiche ab. Sie fasst in einer einzigen deduktiven Kette zusammen, was die Lektionen der Einheit bewiesen haben: die Konstruktion der ganzen, der rationalen und der komplexen Zahlen aus dem jeweils vorigen Bereich, die Axiome des vollständigen angeordneten Körpers, die für die reellen Zahlen angenommen werden, mit der Vollständigkeit als ihrem eigentümlichen Merkmal, und die Folgerungen aus jeder Eigenschaft für das Rechnen mit Ungleichungen, Dezimalzahlen, Wurzeln, Gleichungen und komplexen Zahlen. Sie erklärt, wie sich diese Kette auf die Arithmetik der natürlichen Zahlen aus der vorigen Einheit stützt und wie sie das Studium der Funktionen und Polynome in der nächsten Einheit vorbereitet. Sie endet mit einem Abschlusstest, der dem Eingangstest entspricht, und mit zehn Herausforderungen, die schwieriger sind als die Aufgaben der Lektionen und von denen jede Resultate mehrerer von ihnen verbindet.

Lernziele

Die wichtigsten Definitionen und Sätze der Einheit in logischer Ordnung darstellen und dabei angeben, von welchen früheren Resultaten jeder abhängt.
Erklären, welche Eigenschaft jede Zahlbereichserweiterung gewinnt und welche sie verliert, und warum sich die Vollständigkeit nicht mit algebraischen Mitteln erreichen lässt.
Die Resultate der Einheit mit der Arithmetik der natürlichen Zahlen und mit dem Studium der algebraischen Funktionen und der Polynome in Beziehung setzen.
Nicht routinemäßige Aufgaben lösen, die verlangen, die Bruchrechnung, die Ordnung der reellen Zahlen, das Rechnen mit Wurzeln, die linearen Gleichungssysteme und die komplexen Zahlen zu verbinden.

Was die Einheit erreicht hat

Die Einheit ging von einem Mangel und von einem Prinzip aus. Der Mangel: In den natürlichen Zahlen kann man nicht immer subtrahieren, dividieren oder Wurzeln ziehen. Das Prinzip, formuliert in der Lektion über die Zahlbereiche: Jeder neue Bereich bewahrt die Rechenoperationen und die Eigenschaften des vorigen und fügt die Elemente hinzu, die nötig sind, damit eine zuvor eingeschränkte Umkehroperation definiert ist. Das Ergebnis ist die Kette von Inklusionen, die die ganze Einheit gliedert:

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

Die Konstruktionen

Drei der vier Erweiterungen wurden mit Paaren von Elementen des vorigen Bereichs vorgenommen, und zwei von ihnen, die der ganzen und die der rationalen Zahlen, mit ein und demselben Verfahren, das man als solches erkennen sollte. Man legt fest, wann zwei Paare dieselbe Zahl darstellen, und beweist, dass sich diese Festlegung wie eine Gleichheit verhält, das heißt, dass sie eine Äquivalenzrelation ist; ihre Klassen bilden dann eine Partition, wie in der Lektion über Mengen, Relationen und Funktionen bewiesen wurde, und die neue Menge ist die Quotientenmenge; danach definiert man die Rechenoperationen mit Repräsentanten und beweist, dass das Ergebnis nicht von den gewählten Repräsentanten abhängt. In der Lektion über die ganzen Zahlen stellt das Paar natürlicher Zahlen $(a, b)$ die Subtraktion $a - b$ dar, und zwei Paare sind äquivalent, wenn $a + d = b + c$ ; in der Lektion über die rationalen Zahlen stellt der Bruch $\frac{p}{q}$ einen Quotienten dar, und zwei Brüche sind äquivalent, wenn $ps = qr$ ; in der Lektion über die komplexen Zahlen ist das Paar reeller Zahlen $(a, b)$ bereits die Zahl, mit einem Produkt, das so definiert ist, dass $(0, 1)^2 = (-1, 0)$ . In allen drei Fällen tritt der vorige Bereich im neuen durch eine Zuordnung wieder auf, die die Rechenoperationen respektiert, und was in der anschaulichen Darstellung Konventionen waren, wird zum Satz: die Vorzeichenregel, das Fehlen von Nullteilern, die Kürzungsregel für Produkte, die Eindeutigkeit des vollständig gekürzten Bruchs und die Gleichung $i^2 = -1$ .

Die Ordnung und die Vollständigkeit

Die vierte Erweiterung ist anderer Natur und wurde nicht durch eine Konstruktion vorgenommen. Die rationalen Zahlen erlauben bereits zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren und zu dividieren, und sie haben eine mit diesen Operationen verträgliche Ordnung, die dicht und archimedisch ist; aber die Menge der rationalen Zahlen, deren Quadrat kleiner als $2$ ist, ist beschränkt und hat kein rationales Supremum. Da die Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen über den Kurs hinausgeht, hat die Lektion über die Zahlbereiche sie als vollständigen angeordneten Körper angenommen: eine Menge, die die rationalen Zahlen enthält und die Körperaxiome, die Ordnungsaxiome und das Vollständigkeitsaxiom erfüllt, nach dem jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge ein Supremum hat. Die ersten beiden Gruppen erfüllen auch die rationalen Zahlen; die dritte ist es, die die reellen Zahlen kennzeichnet. Aus der Vollständigkeit wurden in der Lektion über die Dezimaldarstellung der rationalen Zahlen die archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen und der Wert jeder unendlichen Dezimaldarstellung hergeleitet, mit der Charakterisierung der rationalen Zahlen als der Zahlen mit abbrechender oder periodischer Darstellung; und in der Lektion über die Zahlengerade die Existenz der $n$ -ten Wurzel jeder nichtnegativen reellen Zahl, die Dichtheit der rationalen Zahlen auf der Geraden und die Charakterisierung der Intervalle als der Mengen ohne Lücken. Keine dieser Eigenschaften erhält man mit Summen und Produkten: Die Vollständigkeit ist eine Eigenschaft der Ordnung, und deshalb lassen sich die reellen Zahlen nicht dadurch konstruieren, dass man den rationalen Zahlen die Lösungen bestimmter Gleichungen hinzufügt.

Das Rechnen

Auf diesen Grundlagen beruhen die Rechentechniken der Einheit. Die Lektion über Potenzen mit rationalen Exponenten und Wurzeln benutzte die Eindeutigkeit der Hauptwurzel, um zu beweisen, dass $a^{\frac{p}{q}}$ nicht vom gewählten Bruch abhängt und dass die Potenzgesetze gelten, und sie stellte die Wurzelgesetze mit ihren Vorzeichenvoraussetzungen auf, darunter $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ . Die Lektion über lineare Gleichungen und Ungleichungen verwandelte die Eigenschaften der Körper und der Ordnung in Regeln, um Gleichungen und Ungleichungen umzuformen, ohne Lösungen zu verlieren oder hinzuzufügen, und sie klassifizierte die Systeme aus zwei Gleichungen mithilfe ihrer Determinante. Schließlich vervollständigten die komplexen Zahlen die Algebra: Jede quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat in ihnen eine Lösung, und wenn ihre Diskriminante negativ ist, hat sie genau zwei, die zueinander konjugiert sind; und die Geometrie der Ebene wurde in Rechenoperationen mit der Konjugierten und dem Betrag übersetzt. Der Preis war die Ordnung: In $\mathbb{C}$ gibt es keine, die mit den Rechenoperationen verträglich ist, und die Größe einer Zahl misst man mit ihrem Betrag.

Was man gewinnt und was man verliert

Die Bilanz der Einheit lässt sich so zusammenfassen:

Von $\mathbb{N}$ zu $\mathbb{Z}$ gewinnt man die Gegenzahl und mit ihr die Subtraktion; man verliert die Wohlordnung, weil die ganzen Zahlen kein kleinstes Element haben.
Von $\mathbb{Z}$ zu $\mathbb{Q}$ gewinnt man das Inverse jeder von null verschiedenen Zahl und mit ihm die Division; man verliert den Nachfolger, weil zwischen zwei rationalen Zahlen immer noch eine andere liegt.
Von $\mathbb{Q}$ zu $\mathbb{R}$ gewinnt man die Vollständigkeit und mit ihr die Wurzeln der nichtnegativen Zahlen und die Länge jeder Strecke; man verliert die abbrechende oder periodische Darstellung aller Zahlen.
Von $\mathbb{R}$ zu $\mathbb{C}$ gewinnt man die Lösung jeder quadratischen Gleichung und, nach dem Fundamentalsatz der Algebra, jeder nichtkonstanten Polynomgleichung; man verliert die mit den Rechenoperationen verträgliche Ordnung.

Die folgende Abbildung fasst die drei Abschnitte zu einer einzigen Kette zusammen. Jeder Knoten der Säule ist eine Definition oder ein Satz, nach der logischen Ordnung nummeriert und durch einen Bogen mit den früheren Gliedern verbunden, die sein Beweis verwendet; ringsum schweben die Stützen, das heißt die Prinzipien und Werkzeuge, auf die die Kette immer wieder zurückgreift, jede durch eine durchgezogene Linie mit den Gliedern verbunden, die sich auf sie stützen, und durch eine gestrichelte mit dem Glied, in dem sie aufgestellt wird, außer denen, die angenommen werden oder aus der vorigen Einheit stammen und als Ringe gezeichnet sind. Ein Klick auf eine Stütze hebt alle Glieder hervor, die sie verwenden, und jedes Glied verweist auf die Lektion, in der es bewiesen wird.

Stützen der Kette

APrinzip der Erweiterungen. Jeder neue Zahlbereich bewahrt die Rechenoperationen und die Eigenschaften des vorigen und fügt die Elemente hinzu, die nötig sind, damit eine zuvor eingeschränkte Umkehroperation definiert ist; es dient als Leitfaden der ganzen Einheit. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
BArithmetik der natürlichen Zahlen. Die Eigenschaften der Addition, der Multiplikation und der Ordnung der natürlichen Zahlen, die Induktion, die Wohlordnung und die Summe der Folgen, bewiesen in der Einheit über die natürlichen Zahlen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
CDivision mit Rest. Zu jeder ganzen Zahl $a$ und jeder natürlichen Zahl $b$ gibt es einen eindeutigen Quotienten $q$ und einen eindeutigen Rest $r$ mit $a = bq + r$ und $0 \leq r < b$ ; bewiesen in der Einheit über die natürlichen Zahlen, mit den Regeln der ganzen Zahlen, die die Lektion über die ganzen Zahlen beweist. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
DBézout und Euklid. Ist $\operatorname{ggT}(a, b) = 1$ , so gibt es ganze Zahlen $x$ und $y$ mit $ax + by = 1$ , und eine Primzahl, die ein Produkt teilt, teilt einen der Faktoren; bewiesen in der Einheit über die natürlichen Zahlen. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
EKonstruktion durch Klassen. Man nimmt Paare aus dem vorigen Bereich, beweist, dass die Bedingung, die zwei Paare identifiziert, eine Äquivalenzrelation ist, nimmt als neue Menge die Quotientenmenge, deren Klassen eine Partition der Paare bilden, und definiert die Rechenoperationen mit Repräsentanten, wobei man beweist, dass das Ergebnis nicht von den gewählten abhängt. Begründet in: 2. Konstruktion der ganzen Zahlen.
FAxiome des vollständigen angeordneten Körpers. Es wird angenommen, dass die reellen Zahlen einen vollständigen angeordneten Körper bilden, der die rationalen Zahlen enthält: Addition und Multiplikation erfüllen die Körperaxiome; die positiven Zahlen erfüllen die Trichotomie und sind abgeschlossen unter Addition und Multiplikation; und jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen hat ein Supremum, und dies ist das Axiom, das die reellen Zahlen kennzeichnet. In dieser Einheit ohne Beweis angenommen.
GEindeutigkeit der Wurzel. Zwei nichtnegative reelle Zahlen mit derselben $n$ -ten Potenz sind gleich; deshalb genügt es, eine nichtnegative Zahl anzugeben, deren Potenz die gegebene ist, um zu wissen, dass sie die Hauptwurzel ist. Begründet in: 11. Eindeutigkeit der Hauptwurzel.
HArchimedische Eigenschaft. Zu jeder reellen Zahl gibt es eine natürliche Zahl, die größer ist als sie; folglich ist eine reelle Zahl $d$ mit $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ für jede natürliche Zahl $n$ gleich null. Begründet in: 13. Archimedische Eigenschaft.

Abschnitt 1 Die Konstruktionen
- Die ganzen Zahlen als Klassen von Paaren natürlicher Zahlen und die rationalen Zahlen als Klassen von Brüchen konstruieren, mit wohldefinierten Rechenoperationen.
- Die Vorzeichenregel, das Fehlen von Nullteilern und die Kürzungsregel für Produkte zu Sätzen machen.
- Beweisen, dass jede rationale Zahl genau einen vollständig gekürzten Bruch hat und dass die Ordnung der rationalen Zahlen dicht und archimedisch ist.
- Die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen konstruieren, mit einem Produkt, das $i^2 = -1$ ergibt.
1. Eindeutigkeit des neutralen Elements und der Gegenzahl. Das neutrale Element der Addition ist eindeutig, und jede Zahl hat genau eine Gegenzahl, sodass $-(-c) = c$ ; ebenso hat jede von null verschiedene Zahl genau ein Inverses.
  Bewiesen in: Zahlbereiche: von den natürlichen zu den komplexen Zahlen.
2. Konstruktion der ganzen Zahlen. Die Relation, die die Paare natürlicher Zahlen $(a, b)$ und $(c, d)$ äquivalent macht, wenn $a + d = b + c$ , ist eine Äquivalenzrelation; ihre Klassen sind die ganzen Zahlen, mit einer wohldefinierten Addition und Multiplikation, die kommutativ, assoziativ und distributiv sind, mit den neutralen Elementen $C(1, 1)$ und $C(2, 1)$ und der Gegenzahl $-C(a, b) = C(b, a)$ .
  Stützt sich auf: B (Arithmetik der natürlichen Zahlen). Bewiesen in: Die ganzen Zahlen: Konstruktion, Vorzeichen und Ordnung.
3. Trichotomie der ganzen Zahlen. Identifiziert man die natürliche Zahl $n$ mit der Klasse $C(n + 1, 1)$ , so bleiben Addition und Multiplikation erhalten, und jede ganze Zahl ist genau eines von diesen: eine natürliche Zahl, die Null oder die Gegenzahl einer natürlichen Zahl.
  Verwendet: 2. Konstruktion der ganzen Zahlen. Stützt sich auf: B (Arithmetik der natürlichen Zahlen), A (Prinzip der Erweiterungen). Bewiesen in: Die ganzen Zahlen: Konstruktion, Vorzeichen und Ordnung.
4. Vorzeichenregel. Für alle ganzen Zahlen gelten $a \cdot 0 = 0$ , $(-a) b = -(ab)$ und $(-a)(-b) = ab$ ; außerdem ist, wenn $ab = 0$ , einer der Faktoren null, und ein von null verschiedener Faktor, der zwei gleichen Produkten gemeinsam ist, lässt sich kürzen.
  Verwendet: 1. Eindeutigkeit des neutralen Elements und der Gegenzahl, 2. Konstruktion der ganzen Zahlen, 3. Trichotomie der ganzen Zahlen. Bewiesen in: Die ganzen Zahlen: Konstruktion, Vorzeichen und Ordnung.
5. Ordnung der ganzen Zahlen. Bedeutet $a < b$ , dass $b - a$ natürlich ist, so erhält die Addition derselben ganzen Zahl die Ordnung, die Multiplikation mit einer positiven Zahl erhält sie und die mit einer negativen kehrt sie um; und die Division mit Rest eines negativen Dividenden lässt sich auf die eines natürlichen Dividenden zurückführen.
  Verwendet: 1. Eindeutigkeit des neutralen Elements und der Gegenzahl, 3. Trichotomie der ganzen Zahlen, 4. Vorzeichenregel. Stützt sich auf: C (Division mit Rest). Bewiesen in: Die ganzen Zahlen: Konstruktion, Vorzeichen und Ordnung.
6. Konstruktion der rationalen Zahlen. Die Relation, die die Brüche $\frac{p}{q}$ und $\frac{r}{s}$ äquivalent macht, wenn $ps = qr$ , ist eine Äquivalenzrelation; ihre Klassen sind die rationalen Zahlen, mit einer wohldefinierten Addition und Multiplikation, und jede von null verschiedene rationale Zahl $\frac{p}{q}$ hat als Inverses $\frac{q}{p}$ .
  Verwendet: 1. Eindeutigkeit des neutralen Elements und der Gegenzahl, 4. Vorzeichenregel. Stützt sich auf: E (Konstruktion durch Klassen), A (Prinzip der Erweiterungen). Bewiesen in: Die rationalen Zahlen: Brüche und ihre Rechenoperationen.
7. Vollständig gekürzter Bruch. Jede rationale Zahl wird durch einen vollständig gekürzten Bruch mit natürlichem Nenner dargestellt, und durch nur einen.
  Verwendet: 4. Vorzeichenregel, 6. Konstruktion der rationalen Zahlen. Stützt sich auf: D (Bézout und Euklid). Bewiesen in: Die rationalen Zahlen: Brüche und ihre Rechenoperationen.
8. Ordnung der rationalen Zahlen. Bei natürlichen Nennern gilt $\frac{p}{q} < \frac{r}{s}$ , wenn $ps < qr$ ; diese Ordnung hängt nicht von den gewählten Brüchen ab, setzt die der ganzen Zahlen fort und ist mit den Rechenoperationen verträglich, und sie ist dicht und archimedisch: Zwischen zwei rationalen Zahlen liegen unendlich viele, und jede rationale Zahl wird von einer natürlichen übertroffen.
  Verwendet: 5. Ordnung der ganzen Zahlen, 6. Konstruktion der rationalen Zahlen. Bewiesen in: Die rationalen Zahlen: Brüche und ihre Rechenoperationen.
9. Konstruktion der komplexen Zahlen. Mit $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$ und $(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc)$ bilden die Paare reeller Zahlen die komplexen Zahlen: Ihre Rechenoperationen sind kommutativ, assoziativ und distributiv, die Paare $(a, 0)$ rechnen wie die reellen Zahlen, $i = (0, 1)$ erfüllt $i^2 = -1$ , und jede komplexe Zahl lässt sich auf eindeutige Weise als $a + bi$ schreiben.
  Stützt sich auf: A (Prinzip der Erweiterungen), F (Axiome des vollständigen angeordneten Körpers). Bewiesen in: Die komplexen Zahlen: Rechenoperationen und Gleichungen.
Abschnitt 2 Die Ordnung und die Vollständigkeit
- Aus den Ordnungsaxiomen die Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen und die Eindeutigkeit der Hauptwurzel herleiten.
- Beweisen, dass die rationalen Zahlen nicht vollständig sind, weil die Menge der rationalen Zahlen mit einem Quadrat kleiner als $2$ kein rationales Supremum hat.
- Aus der Vollständigkeit die archimedische Eigenschaft, den Wert jeder unendlichen Dezimaldarstellung und die Charakterisierung der rationalen Zahlen durch ihre abbrechenden oder periodischen Darstellungen herleiten.
- Aus der Vollständigkeit die Dichtheit der rationalen Zahlen auf der Geraden, die Existenz der Wurzeln und die Charakterisierung der Intervalle herleiten und mit dem Betrag rechnen.
1. Ordnung der reellen Zahlen. Erfüllen die positiven Zahlen die Trichotomie und sind sie abgeschlossen unter Addition und Multiplikation, so ist die Ordnung der reellen Zahlen transitiv, sie bleibt beim Addieren und beim Multiplizieren mit einer positiven Zahl erhalten, sie kehrt sich beim Multiplizieren mit einer negativen Zahl um, und der Übergang zu den Kehrwerten zweier positiver Zahlen kehrt ihre Ordnung um.
  Verwendet: 4. Vorzeichenregel. Stützt sich auf: F (Axiome des vollständigen angeordneten Körpers). Bewiesen in: Zahlbereiche: von den natürlichen zu den komplexen Zahlen.
2. Eindeutigkeit der Hauptwurzel. Sind $p$ und $r$ nichtnegativ und gilt $p^n = r^n$ , so gilt $p = r$ ; ist $n$ ungerade, so hat jede reelle Zahl höchstens eine $n$ -te Wurzel, die negativ ist, wenn die Zahl es ist.
  Verwendet: 4. Vorzeichenregel, 10. Ordnung der reellen Zahlen. Stützt sich auf: B (Arithmetik der natürlichen Zahlen). Bewiesen in: Zahlbereiche: von den natürlichen zu den komplexen Zahlen.
3. Die rationalen Zahlen sind nicht vollständig. Die Quadratwurzel aus $2$ ist nicht rational; deshalb ist die Menge der rationalen Zahlen, deren Quadrat kleiner als $2$ ist, nach oben beschränkt, aber keine ihrer rationalen oberen Schranken ist die kleinste.
  Verwendet: 8. Ordnung der rationalen Zahlen, 11. Eindeutigkeit der Hauptwurzel. Stützt sich auf: D (Bézout und Euklid). Bewiesen in: Zahlbereiche: von den natürlichen zu den komplexen Zahlen.
4. Archimedische Eigenschaft. Zu jeder reellen Zahl $x$ gibt es eine natürliche Zahl, die größer als $x$ ist; folglich gilt: Ist $0 \leq d \leq \frac{1}{10^n}$ für jede natürliche Zahl $n$ , so gilt $d = 0$ .
  Verwendet: 10. Ordnung der reellen Zahlen. Stützt sich auf: F (Axiome des vollständigen angeordneten Körpers), B (Arithmetik der natürlichen Zahlen). Bewiesen in: Die Dezimaldarstellung der rationalen Zahlen.
5. Wert einer Dezimaldarstellung. Die schriftliche Division von $p$ durch $q$ liefert Ziffern, deren Abschneidungen von $\frac{p}{q}$ um weniger als $\frac{1}{10^n}$ abweichen; und jede unendliche Dezimaldarstellung stellt eine eindeutige reelle Zahl dar, die für die schriftliche Division $\frac{p}{q}$ ist; eine positive reelle Zahl hat nur dann zwei Darstellungen, wenn die eine abbricht und die andere auf Neunen endet.
  Verwendet: 6. Konstruktion der rationalen Zahlen, 10. Ordnung der reellen Zahlen. Stützt sich auf: B (Arithmetik der natürlichen Zahlen), C (Division mit Rest), F (Axiome des vollständigen angeordneten Körpers), H (Archimedische Eigenschaft). Bewiesen in: Die Dezimaldarstellung der rationalen Zahlen.
6. Abbrechende Darstellungen. Die Dezimaldarstellung eines vollständig gekürzten Bruchs $\frac{p}{q}$ bricht genau dann ab, wenn $q = 2^a 5^b$ mit nichtnegativen ganzen Zahlen $a$ und $b$ .
  Verwendet: 7. Vollständig gekürzter Bruch, 14. Wert einer Dezimaldarstellung. Stützt sich auf: D (Bézout und Euklid). Bewiesen in: Die Dezimaldarstellung der rationalen Zahlen.
7. Darstellungen der rationalen Zahlen. Die Dezimaldarstellung jeder positiven rationalen Zahl $\frac{p}{q}$ ist abbrechend oder periodisch, und die Länge ihrer Periode ist höchstens $q - 1$ .
  Verwendet: 14. Wert einer Dezimaldarstellung. Stützt sich auf: B (Arithmetik der natürlichen Zahlen), C (Division mit Rest). Bewiesen in: Die Dezimaldarstellung der rationalen Zahlen.
8. Erzeugender Bruch. Jede periodische Dezimaldarstellung stellt eine rationale Zahl dar, und die reinperiodische mit der Periode $A$ aus $k$ Ziffern stellt $\frac{A}{10^k - 1}$ dar; daraus folgt, dass eine reelle Zahl genau dann rational ist, wenn ihre Darstellung abbrechend oder periodisch ist.
  Verwendet: 14. Wert einer Dezimaldarstellung, 16. Darstellungen der rationalen Zahlen. Stützt sich auf: B (Arithmetik der natürlichen Zahlen), H (Archimedische Eigenschaft). Bewiesen in: Die Dezimaldarstellung der rationalen Zahlen.
9. Dichtheit der rationalen Zahlen. Zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen liegt stets eine rationale Zahl und daher unendlich viele.
  Verwendet: 10. Ordnung der reellen Zahlen. Stützt sich auf: B (Arithmetik der natürlichen Zahlen), H (Archimedische Eigenschaft). Bewiesen in: Die Zahlengerade: Ordnung, Intervalle und Betrag.
10. Existenz der Wurzel. Zu jeder natürlichen Zahl $n \geq 2$ und jeder reellen Zahl $a \geq 0$ gibt es eine reelle Zahl $s \geq 0$ mit $s^n = a$ , nämlich die $n$ -te Hauptwurzel aus $a$ .
  Verwendet: 10. Ordnung der reellen Zahlen. Stützt sich auf: F (Axiome des vollständigen angeordneten Körpers), G (Eindeutigkeit der Wurzel). Bewiesen in: Die Zahlengerade: Ordnung, Intervalle und Betrag.
11. Charakterisierung der Intervalle. Eine Menge reeller Zahlen mit mindestens zwei Elementen ist genau dann ein Intervall, wenn sie alle Zahlen enthält, die zwischen zwei beliebigen ihrer Elemente liegen.
  Verwendet: 10. Ordnung der reellen Zahlen. Stützt sich auf: F (Axiome des vollständigen angeordneten Körpers). Bewiesen in: Die Zahlengerade: Ordnung, Intervalle und Betrag.
12. Betrag. Es gelten $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ und $\abs{xy} = \abs{x} \abs{y}$ ; die Bedingung $\abs{x - a} < r$ ist äquivalent zu $a - r < x < a + r$ , und es gilt die Dreiecksungleichung $\abs{x + y} \leq \abs{x} + \abs{y}$ .
  Verwendet: 4. Vorzeichenregel, 10. Ordnung der reellen Zahlen. Stützt sich auf: G (Eindeutigkeit der Wurzel). Bewiesen in: Die Zahlengerade: Ordnung, Intervalle und Betrag.
Abschnitt 3 Das Rechnen
- Die Potenzen mit rationalen Exponenten definieren, beweisen, dass sie nicht vom gewählten Bruch abhängen, und die Potenzgesetze herleiten.
- Die Wurzelgesetze mit ihren Vorzeichenvoraussetzungen aufstellen, darunter $\sqrt{a^2} = \abs{a}$ .
- Gleichungen und Ungleichungen umformen, ohne Lösungen zu verlieren oder hinzuzufügen, und die Systeme aus zwei Gleichungen mithilfe ihrer Determinante klassifizieren.
- Mit der Konjugierten und dem Betrag rechnen, in $\mathbb{C}$ jede quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten lösen und erkennen, dass $\mathbb{C}$ keine mit seinen Rechenoperationen verträgliche Ordnung zulässt.
1. Potenzgesetze. Für $a > 0$ hängt die Potenz $a^{\frac{p}{q}}$ , die $q$ -te Hauptwurzel aus $a^p$ , nicht vom gewählten Bruch ab, und es gelten $a^x a^y = a^{x + y}$ , $(a^x)^y = a^{xy}$ und $(ab)^x = a^x b^x$ ; ist $a > 1$ , so wächst sie mit dem Exponenten.
  Verwendet: 6. Konstruktion der rationalen Zahlen, 19. Existenz der Wurzel. Stützt sich auf: G (Eindeutigkeit der Wurzel). Bewiesen in: Potenzen mit rationalen Exponenten und Wurzeln.
2. Wurzelgesetze. Für nichtnegative Radikanden ist die Wurzel eines Produkts das Produkt der Wurzeln und die Wurzel einer Wurzel die Wurzel mit dem Produkt als Wurzelexponenten; $\sqrt[n]{a^n}$ ist $\abs{a}$ , wenn $n$ gerade ist, und es gilt $\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ , mit Gleichheit nur für $ab = 0$ .
  Verwendet: 19. Existenz der Wurzel, 21. Betrag. Stützt sich auf: G (Eindeutigkeit der Wurzel). Bewiesen in: Potenzen mit rationalen Exponenten und Wurzeln.
3. Äquivalente Gleichungen. Die Addition desselben Terms auf beiden Seiten oder ihre Multiplikation mit einer von null verschiedenen Zahl erhält die Lösungen einer Gleichung; in einer Ungleichung bleibt bei der Multiplikation mit einer positiven Zahl das Ungleichheitszeichen erhalten, und bei der mit einer negativen kehrt es sich um; und das Quadrieren kann die Lösungen von $A = -B$ hinzufügen.
  Verwendet: 1. Eindeutigkeit des neutralen Elements und der Gegenzahl, 10. Ordnung der reellen Zahlen. Bewiesen in: Lineare Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme.
4. Systeme aus zwei Gleichungen. Ist die Determinante $D$ des Systems nicht null, so ist die eindeutige Lösung $x = \frac{D_x}{D}$ , $y = \frac{D_y}{D}$ ; ist $D = 0$ und hat jede Gleichung einen von null verschiedenen Koeffizienten, so hat das System unendlich viele Lösungen, wenn $D_x = D_y = 0$ , und sonst keine.
  Verwendet: 24. Äquivalente Gleichungen. Bewiesen in: Lineare Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme.
5. Konjugierte und Betrag. Die Konjugierte einer Summe oder eines Produkts ist die Summe oder das Produkt der Konjugierten, $z \conj{z} = \abs{z}^2$ , $\abs{zw} = \abs{z} \abs{w}$ und $\abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w}$ .
  Verwendet: 9. Konstruktion der komplexen Zahlen, 21. Betrag. Stützt sich auf: G (Eindeutigkeit der Wurzel). Bewiesen in: Die komplexen Zahlen: Rechenoperationen und Gleichungen.
6. Inverses einer komplexen Zahl. Jede von null verschiedene komplexe Zahl $z$ hat genau ein Inverses, $\frac{\conj{z}}{\abs{z}^2}$ ; daher kann man durch jede von null verschiedene komplexe Zahl dividieren, und ein Produkt komplexer Zahlen ist nur dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist.
  Verwendet: 1. Eindeutigkeit des neutralen Elements und der Gegenzahl, 26. Konjugierte und Betrag. Bewiesen in: Die komplexen Zahlen: Rechenoperationen und Gleichungen.
7. Quadratische Gleichung. Sind $a$ , $b$ und $c$ reell, ist $a \neq 0$ und $\Delta = b^2 - 4ac < 0$ , so hat die Gleichung $az^2 + bz + c = 0$ in $\mathbb{C}$ genau zwei Lösungen, $\frac{-b \pm i \sqrt{-\Delta}}{2a}$ , die konjugiert und nicht reell sind.
  Verwendet: 19. Existenz der Wurzel, 27. Inverses einer komplexen Zahl. Bewiesen in: Die komplexen Zahlen: Rechenoperationen und Gleichungen.
8. Konjugierte Nullstellen. Verschwindet ein Polynom mit reellen Koeffizienten an der Stelle $z_0$ , so verschwindet es auch an der Stelle $\conj{z_0}$ ; seine nicht reellen Nullstellen treten also in Paaren von Konjugierten auf.
  Verwendet: 26. Konjugierte und Betrag. Bewiesen in: Die komplexen Zahlen: Rechenoperationen und Gleichungen.
9. Die komplexen Zahlen lassen sich nicht anordnen. In $\mathbb{C}$ gibt es keine mit den Rechenoperationen verträgliche Ordnung: Das Quadrat jeder von null verschiedenen Zahl wäre positiv, und dann wären $1$ und $i^2 = -1$ positiv und ebenso ihre Summe, die $0$ ist.
  Verwendet: 4. Vorzeichenregel, 9. Konstruktion der komplexen Zahlen. Bewiesen in: Zahlbereiche: von den natürlichen zu den komplexen Zahlen.

Auf dem Weg zu den algebraischen Funktionen. Die Kette endet dort, wo die Zahlen nicht mehr einzeln untersucht werden: Die nächste Einheit untersucht Vorschriften, die Zahlen Zahlen zuordnen, mit Definitionsmengen, die Intervalle sind, nichtnegativen Radikanden, Vorzeichentabellen und dem Satz über konjugierte Nullstellen, um die Polynome mit reellen Koeffizienten zu faktorisieren.