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LatineZusammenfassung
Diese Lektion eröffnet die Einheit über algebraische Funktionen und Polynome. Sie stellt ihre neun Lektionen und den Faden vor, der sie verbindet, nämlich die Faktorisierung: Von ihr hängen die Nullstellen, das Vorzeichen, die Ungleichungen, die Definitionsmengen, die Asymptoten und die Graphen ab. Danach durchläuft sie den historischen Hintergrund dieser Ideen, von den Aufgaben zweiten Grades auf den babylonischen Tontafeln und der Algebra al-Chwarizmis bis zu den italienischen Formeln des 16. Jahrhunderts, der Schreibweise von Viète und Descartes und dem Funktionsbegriff von Euler und Dirichlet; sie formuliert genau die beiden Probleme, aus denen sie entstanden, das Lösen einer Polynomgleichung und das Beschreiben einer Funktion, und zeigt an einem Beispiel, wie die Faktorisierung beide zugleich löst. Zum Schluss zeigt sie, wo diese Ideen im übrigen Kurs, in anderen Kursen der Website und in Wissenschaft und Technik verwendet werden.
Lernziele
- Den Inhalt jeder Lektion der Einheit beschreiben und die Rolle erklären, die die Faktorisierung der Polynome im Ganzen spielt.
- Die wichtigsten Ergebnisse der Einheit in ihren historischen Zusammenhang einordnen und dabei ihre Hauptpersonen und das Problem nennen, das jede von ihnen zu lösen versuchte.
- Das Problem, eine Polynomgleichung zu lösen, und das, eine algebraische Funktion zu beschreiben, formulieren und an einem Beispiel erkennen, wie eine einzige Faktorisierung beide beantwortet.
- Erkennen, wo diese Ideen in den folgenden Einheiten, in anderen Kursen und in naturwissenschaftlichen und technischen Anwendungen wieder auftreten.
Eingangstest
Bevor man die Einheit durcharbeitet, empfiehlt es sich, den Ausgangspunkt zu bestimmen. Diese Selbsteinschätzung wird nicht benotet: Die ersten neun Fragen betreffen nacheinander die neun Lektionen der Einheit, und die zehnte verlangt, eine konkrete Situation als Funktion anzusetzen; dieselben Fertigkeiten werden am Ende, in der Lektion zur Synthese, erneut gemessen. Die letzten drei prüfen, was die Einheit aus der Einheit über die Zahlbereiche als bekannt voraussetzt. Jede falsche Antwort zeigt die Lektion an, bei der man verweilen sollte.
Miss vor Beginn der Einheit deinen Ausgangspunkt. Es ist eine kurze Selbsteinschätzung: Sie wird nicht benotet, und das Ergebnis wird nur in deinem Browser gespeichert.
Frage 1Welche Definitionsmenge hat die Funktion ?
Die Zahl wurde ausgeschlossen, als gäbe es die Wurzel aus nicht. Eine Wurzel mit geradem Wurzelexponenten verlangt im Zähler einen nichtnegativen Radikanden, keinen positiven.Es fehlt die Bedingung für den Nenner: Bei dividiert der Quotient durch null und ist nicht definiert.Die Ungleichung wurde beim Auflösen umgekehrt: ist äquivalent zu , denn wenn man auf die andere Seite bringt, bleibt .Der Radikand muss nichtnegativ sein, , das heißt ; und der Nenner darf nicht null werden, was ausschließt. Bei ist die Wurzel gleich , und der Quotient ist definiert.Wiederholen: Algebraische Funktionen einer reellen Variablen
Frage 2Die Funktion , eingeschränkt auf , ist bijektiv auf . Wie lautet ihre Umkehrfunktion?
Das ist die Umkehrfunktion der anderen Hälfte der Parabel, der Einschränkung auf : Sie nimmt Werte kleiner oder gleich an, von denen nur in der Definitionsmenge der gegebenen Einschränkung liegt.Die Operationen wurden mit vertauschtem Vorzeichen der Verschiebung rückgängig gemacht: Um von zu zurückzukehren, muss man addieren, nicht subtrahieren. Zum Beispiel ist , aber diese Formel ergibt an der Stelle .Das ist das multiplikative Inverse (der Kehrwert), nicht die Umkehrfunktion: Der Exponent von ist nur eine Schreibweise für die Funktion, die rückgängig macht.Durch Auflösen erhält man ; da in der Einschränkung gilt, ist die Zahl die Hauptwurzel von und nicht deren Gegenzahl. Man prüft, dass .Wiederholen: Funktionsverknüpfung, Umkehrfunktion und Graphentransformation
Frage 3Für welchen Wert von ist das Polynom durch teilbar?
Richtige Antwort:
Nach dem Faktorsatz teilt das Polynom genau dann, wenn dieses an der Stelle null wird: , also . Wer erhält, hat an der Stelle ausgewertet, die die Nullstelle von ist, nicht die von .Wiederholen: Algebra der reellen Polynome
Frage 4Wenn und die Nullstellen von sind, welchen Wert hat ?
Richtige Antwort:
Nach den vietaschen Formeln gilt und ; also . Wer erhält, hat mit verwechselt, und wer erhält, hat addiert, statt es zu subtrahieren.Wiederholen: Quadratische Polynome und Trinome vom Grad 2n faktorisieren
Frage 5Es seien und ganze Zahlen. Welche der folgenden Zahlen kann nach dem Satz über rationale Nullstellen keine Nullstelle von sein?
Diese Zahl ist sehr wohl ein Kandidat: teilt , und teilt . Vielleicht wurden die Rollen des konstanten Terms und des Leitkoeffizienten vertauscht.Sie ist ein Kandidat: teilt , und teilt . Der Satz schließt negative Vorzeichen nicht aus, denn eine ganze Zahl teilt eine andere genau dann, wenn ihre Gegenzahl sie teilt.Sie ist ein ganzzahliger Kandidat: teilt , und ihr Nenner ist , das jede ganze Zahl teilt. Ob sie eine Nullstelle ist, hängt von und von ab.Für eine rationale Nullstelle in vollständig gekürzter Form gilt: teilt den konstanten Term , und teilt den Leitkoeffizienten . Bei teilt der Zähler nicht , und der Nenner teilt nicht .Wiederholen: Nullstellen höhergradiger Polynome und synthetische Division
Frage 6Welche Zahlen und erfüllen für jede reelle Zahl außer und ?
Das sind die Werte des Zählers an den Nullstellen, ohne Division durch den Wert des anderen Faktors. Beim Zuhalten von bleibt auch der Faktor sichtbar, der zusammen mit dem Zähler ausgewertet wird.Beim Auswerten an der Stelle ging das Vorzeichen des Nenners verloren: Der Faktor hat dort den Wert , und der Quotient aus und ist positiv.Die Koeffizienten des Zählers wurden einfach den Brüchen zugeordnet. Die Summe hat den Zähler , nicht .Nach der Zuhaltemethode ist der an der Stelle genommene Wert von , also , und der an der Stelle genommene Wert von , also . Bei haben beide Seiten den Wert .Wiederholen: Bruchterme und Partialbruchzerlegung
Frage 7Welche Lösungsmenge hat die Ungleichung ?
Die Stelle muss noch ausgeschlossen werden: Dort wird der Faktor null, und der Quotient hat den Wert , der nicht negativ ist. Die doppelte Nullstelle ändert das Vorzeichen nicht, bleibt aber eine Nullstelle.Die doppelte Nullstelle wurde behandelt, als wechselte dort das Vorzeichen. Ein Faktor mit geradem Exponenten ist auf beiden Seiten seiner Nullstelle positiv, und das Vorzeichen ändert sich beim Überschreiten von nicht.Das sind die Stellen, an denen der Quotient positiv ist: Beim Ablesen der Vorzeichentabelle wurde das Ungleichheitszeichen umgekehrt.Der Quotient hat das Vorzeichen von außerhalb von , denn der Faktor ist dort positiv; dieser Quotient ist zwischen und negativ. Bei wird der Zähler null, und die strenge Ungleichung schließt diese Stelle aus.Wiederholen: Vorzeichentabellen und Ungleichungen
Frage 8Welche schiefe Asymptote hat der Graph von ?
Es wurden nur die ersten beiden Terme des Zählers durch dividiert, als wäre der Nenner . Man muss durch dividieren, und der Term des Divisors verändert den Quotienten.Das ist der Quotient der Leitkoeffizienten, der nur bei gleichen Graden eine waagerechte Asymptote ergibt. Hier hat der Zähler einen um eins höheren Grad, und die Asymptote ist schief.Das ist die senkrechte Asymptote, die zur Nullstelle des Nenners gehört. Die schiefe Asymptote beschreibt die Funktion, wenn gegen oder gegen strebt.Die Division ergibt , sodass gilt, und der Bruch strebt an beiden Enden gegen .Wiederholen: Rationale Funktionen: Asymptoten und Graph
Frage 9Welche Asymptote hat der Graph von , wenn gegen strebt?
Das ist die Asymptote, wenn gegen strebt. Für negatives mit großem Betrag gilt ; außerdem ist eine Wurzel nie negativ, die Gerade dagegen ist es für .Das Vorzeichen von wurde geändert, ohne das des konstanten Terms zu ändern. Der Betrag ändert das Vorzeichen des ganzen Terms .Es fehlt der konstante Term, der aus der quadratischen Ergänzung stammt; die Differenz zwischen der Funktion und strebt gegen , nicht gegen .Durch quadratische Ergänzung ist , und die Wurzel nähert sich , was für gleich ist. Die Differenz ist gleich und strebt gegen .Wiederholen: Wurzelfunktionen: Definitionsmenge, Vorzeichen und Graph
Frage 10Ein Behälter enthält Liter Wasser mit Gramm Zucker pro Liter. Von einem bestimmten Zeitpunkt an werden ihm, ohne dass Flüssigkeit abfließt, Liter pro Minute eines Sirups mit Gramm Zucker pro Liter zugeführt, der sich sofort vermischt. Welche Werte nimmt die Zuckerkonzentration in Gramm pro Liter ab diesem Zeitpunkt an?
Die Gerade ist eine waagerechte Asymptote: Der Bruch ist nie gleich , sodass die Mischung die Konzentration des zufließenden Sirups nie erreicht.Der Zucker, den der Behälter anfangs enthielt, wurde vergessen, als wäre es reines Wasser: Zum Anfangszeitpunkt ist die Konzentration , nicht , und von dort aus wächst sie.Es wurde der Mittelwert der beiden Konzentrationen und gebildet, als würden gleiche Volumina gemischt. Das zugeführte Sirupvolumen wächst unbeschränkt, und seine Konzentration beherrscht schließlich die Mischung.Nach Minuten sind Gramm Zucker in Litern: . Der Bruch fällt von gegen , ohne je null zu werden: Die Konzentration wächst von an und nähert sich , der Konzentration des zufließenden Sirups, ohne sie zu erreichen.Wiederholen: Rationale Funktionen: Asymptoten und Graph
Frage 11Aus früheren EinheitenWelche Lösungsmenge hat die Ungleichung ?
Es wurde nur gelöst und vergessen, dass der Betrag auch verlangt.Das ist die Lösung von . Ein Betrag kleiner als beschreibt die Punkte nahe bei , die ein Intervall bilden.Die Ungleichung ist äquivalent zu ; Addition von und Division durch ergibt .Wiederholen: Die Zahlengerade: Ordnung, Intervalle und Betrag
Frage 12Aus früheren EinheitenMan berechne .
Richtige Antwort:
Nach Definition ist , und der negative Exponent bezeichnet den Kehrwert: . Wer erhält, hat das Vorzeichen des Exponenten als Vorzeichen des Ergebnisses gelesen.Wiederholen: Potenzen mit rationalen Exponenten und Wurzeln
Frage 13Aus früheren EinheitenWelche Lösungsmenge hat die Ungleichung ?
Bei der Division durch die negative Zahl muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden, und hier wurde es beibehalten.Das Minuszeichen vor dem zweiten Bruch wirkt auf den ganzen Zähler: , nicht .Multiplikation mit , das positiv ist, ergibt , das heißt ; bei der Division durch kehrt sich das Ungleichheitszeichen um: .Wiederholen: Lineare Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme
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