Die komplexen Zahlen: Rechenoperationen und Gleichungen

Die komplexen Zahlen als Paare reeller Zahlen

In der Lektion über die Zahlbereiche wurde die imaginäre Einheit $i$ als neue Zahl eingeführt, deren Quadrat $-1$ ist, und mit den Ausdrücken $a + bi$ wurde nach denselben Regeln gerechnet wie mit den reellen Zahlen. Dieses Vorgehen lässt zwei Fragen offen: ob es ein Objekt mit dieser Eigenschaft wirklich gibt und ob sich die Regeln der reellen Zahlen ohne Widerspruch darauf anwenden lassen. Die Antwort, die Hamilton 1837 veröffentlichte, besteht darin, die komplexen Zahlen aus den reellen zu konstruieren, ohne etwas Neues zu postulieren: Eine komplexe Zahl ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen.

Definition (komplexe Zahl). Eine komplexe Zahl ist ein geordnetes Paar $(a, b)$ reeller Zahlen; ihre Menge wird mit $\mathbb{C}$ bezeichnet. Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn ihre ersten Komponenten und ihre zweiten Komponenten übereinstimmen. Summe und Produkt werden durch die folgenden Formeln definiert.

Die Summe wird komponentenweise gebildet. Das Produkt dagegen ist nicht das komponentenweise Produkt, das $(ac, bd)$ ergäbe, und seine Form wirkt willkürlich; es rechtfertigt sich durch seine Folgen. Mit dem komponentenweisen Produkt wäre das Produkt von $(1, 0)$ und $(0, 1)$ gleich $(0, 0)$, ohne dass einer der Faktoren null wäre, und es könnte keine Division geben; mit dem definierten Produkt dagegen hat das Paar $(0, 1)$ das Paar $(-1, 0)$ als Quadrat, und die Paare der Form $(a, 0)$ verhalten sich genau wie die reellen Zahlen.

Die reellen Zahlen innerhalb der komplexen Zahlen

Die Paare, deren zweite Komponente null ist, werden wie die reellen Zahlen addiert und multipliziert:

Daher kann das Paar $(a, 0)$ mit der reellen Zahl $a$ identifiziert werden, ohne dass sich das Ergebnis irgendeiner Rechenoperation ändert, und $\mathbb{R}$ ist in $\mathbb{C}$ enthalten, wie es das in der Lektion über die Zahlbereiche formulierte Prinzip der Erweiterungen verlangt. Die Multiplikation eines Paares mit einer reellen Zahl multipliziert außerdem beide Komponenten, denn es gilt $(r, 0) \cdot (a, b) = (ra, rb)$. Das Paar $i = (0, 1)$ heißt imaginäre Einheit.

Der Ausdruck $a + bi$ ist die algebraische Form der komplexen Zahl $z = (a, b)$. Die reelle Zahl $a$ ist der Realteil von $z$ und die reelle Zahl $b$ ihr Imaginärteil; man beachte, dass der Imaginärteil die reelle Zahl $b$ ist und nicht das Produkt $bi$. Die komplexen Zahlen mit dem Imaginärteil null sind die reellen Zahlen, und die mit dem Realteil null, wie $3i$, heißen rein imaginär. Nach der letzten Aussage des Satzes ist eine Gleichheit zwischen komplexen Zahlen gleichbedeutend mit zwei Gleichheiten zwischen reellen Zahlen; daraus folgt, dass sich jede komplexe Gleichung in ein System aus zwei reellen Gleichungen umwandeln lässt, das wichtigste Werkzeug des letzten Teils der Lektion.

Die Eigenschaften der Rechenoperationen

Die algebraische Form ist nur nützlich, wenn man mit ihr wie mit den algebraischen Ausdrücken der reellen Zahlen rechnen kann, indem man Produkte ausmultipliziert und $i^2$ durch $-1$ ersetzt. Das erfordert, dass die Rechenoperationen von $\mathbb{C}$ dieselben Eigenschaften haben wie die von $\mathbb{R}$.

Folglich rechnet man mit algebraischen Formen wie mit algebraischen Ausdrücken in dem Buchstaben $i$, und jedes $i^2$ wird durch $-1$ ersetzt. Insbesondere ergibt das Produkt wieder die Formel, durch die es definiert wurde:

Zum Beispiel gilt $(2 + 3i)(4 - i) = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 11 + 10i$. Die binomischen Formeln, etwa das Quadrat eines Binoms oder die Differenz zweier Quadrate, und der binomische Lehrsatz aus der Lektion über Kombinatorik gelten in $\mathbb{C}$ unverändert, denn ihre Beweise verwenden nur diese Eigenschaften. Was nicht erhalten bleibt, ist die Anordnung: Nach der gelösten Aufgabe 5 der Lektion über die Zahlbereiche gibt es auf $\mathbb{C}$ keine mit den Rechenoperationen verträgliche Anordnung, sodass eine Ungleichung zwischen nicht reellen komplexen Zahlen keinen Sinn hat. Die Größe einer komplexen Zahl wird mit ihrem Betrag gemessen.