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Topos Uranos
Deutsch

Lineare Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme

Zusammenfassung

Diese Lektion untersucht Gleichungen und Ungleichungen ersten Grades und lineare Gleichungssysteme. Sie beweist, welche Operationen eine Gleichung in eine andere mit denselben Lösungen überführen, und erklärt, warum die Multiplikation mit einem Ausdruck, der null werden kann, oder das Quadrieren Lösungen hinzufügen oder beseitigen kann. Sie führt für die Gleichung ax+b=0ax + b = 0 eine vollständige Fallunterscheidung durch, auch wenn ihre Koeffizienten von einem Parameter abhängen, löst Gleichungen mit Brüchen und lineare Ungleichungen, einzelne und simultane, und drückt ihre Lösungsmengen als Intervalle aus. Schließlich löst sie Systeme aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten mit dem Einsetzungs-, dem Additions- und dem Gleichsetzungsverfahren, beweist die cramersche Regel, klassifiziert die Systeme nach ihrer Determinante, löst ein System aus drei Gleichungen mit dem Additionsverfahren und übersetzt Aufgaben über Mischungen, Alter und Geschwindigkeiten in Systeme.

Lernziele

  1. Begründen, welche Operationen die Lösungsmenge einer Gleichung oder einer Ungleichung erhalten, und diejenigen erkennen, die Lösungen hinzufügen oder beseitigen können.
  2. Fallunterscheidungen für Gleichungen ersten Grades mit Parametern oder mit Brüchen durchführen und sie lösen, ebenso einzelne und simultane lineare Ungleichungen, und ihre Lösungen als Intervalle schreiben.
  3. Systeme aus zwei linearen Gleichungen mit dem Einsetzungs-, dem Additions- und dem Gleichsetzungsverfahren lösen und sie mithilfe der cramerschen Regel nach ihrer Determinante klassifizieren.
  4. Lineare Systeme aufstellen und lösen, die Aufgaben modellieren, und dabei die Fälle mit unendlich vielen Lösungen oder mit keiner deuten.

Gleichungen und äquivalente Gleichungen

Eine Gleichung in der Unbekannten xx ist eine Gleichheit A=BA = B zwischen zwei Ausdrücken, die von xx abhängen. Ihre Lösungen sind die reellen Zahlen x0x_0, für die beide Ausdrücke definiert sind und denselben Wert annehmen; die Menge, die sie bilden, ist die Lösungsmenge der Gleichung. Eine Gleichung lösen heißt, diese Menge zu beschreiben, die ein Element, mehrere, unendlich viele oder keines haben kann. Zum Beispiel ist die Lösungsmenge von 2x−6=02x - 6 = 0 die Menge {3}\{3\}, die von x+1=1+xx + 1 = 1 + x die ganze Zahlengerade und die von x+1=xx + 1 = x leer.

Zwei Gleichungen heißen äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben. Das allgemeine Verfahren zum Lösen einer Gleichung besteht darin, sie durch eine Folge äquivalenter Gleichungen zu ersetzen, jede einfacher als die vorige, bis man zu einer gelangt, deren Lösungsmenge sich unmittelbar ablesen lässt, wie x=3x = 3. Nun muss jede Umformung dieser Folge die Lösungen erhalten, ohne eine hinzuzufügen oder zu beseitigen; daraus folgt, dass man zuerst wissen muss, welche Operationen das gewährleisten.

Operationen, die die Lösungen erhalten

Die beiden grundlegenden Operationen sind die Addition desselben Ausdrucks auf beiden Seiten und die Multiplikation beider Seiten mit derselben von null verschiedenen Zahl. Subtrahieren und Dividieren sind Sonderfälle, denn CC subtrahieren heißt −C-C addieren, und durch kk dividieren heißt mit k−1k^{-1} multiplizieren, wie in der Lektion über die Zahlbereiche gezeigt wurde.

SatzDie Operationen, die die Lösungen erhalten

Es seien AA, BB und CC Ausdrücke in der Unbekannten xx, definiert auf derselben Menge reeller Zahlen, und es sei kk eine von null verschiedene reelle Zahl. Dann haben die Gleichungen A=BA = B, A+C=B+CA + C = B + C und kA=kBkA = kB dieselbe Lösungsmenge. Allgemeiner gilt: Verschwindet der Ausdruck CC in keinem Punkt dieser Menge, so haben A=BA = B und CA=CBCA = CB dieselbe Lösungsmenge. Für jede Operation sind zwei Inklusionen zu beweisen: Jede Lösung der ursprünglichen Gleichung ist eine Lösung der umgeformten, und umgekehrt. Die Abbildung stellt die Gleichung als eine Waage im Gleichgewicht dar, das erhalten bleibt, wenn man auf beiden Waagschalen dasselbe tut.

Beweis

  1. A(x0)=B(x0)→A(x0)+C(x0)=B(x0)+C(x0)\dato{s}{A(x_0) = B(x_0)} \rightarrow A(x_0) + \resaltar{C(x_0)} = B(x_0) + \resaltar{C(x_0)}

    Es sei x0x_0 eine Lösung von A=BA = B: Die Zahlen A(x0)A(x_0) und B(x0)B(x_0) sind dieselbe, und addiert man zu ihnen dieselbe Zahl, so erhält man dasselbe Ergebnis. Jede Lösung von A=BA = B ist eine Lösung von A+C=B+CA + C = B + C.

  2. (A(x0)+C(x0))+(−C(x0))=A(x0)+0=A(x0)\left( A(x_0) + C(x_0) \right) + \resaltar{(-C(x_0))} = A(x_0) + 0 = \resaltar{A(x_0)}

    Erfüllt umgekehrt x0x_0 die Gleichung A+C=B+CA + C = B + C, so addieren wir auf beiden Seiten die Gegenzahl von C(x0)C(x_0). Wegen der Assoziativität und der Definition der Gegenzahl bleibt auf jeder Seite nur der erste Summand, woraus A(x0)=B(x0)A(x_0) = B(x_0) folgt: Die beiden Lösungsmengen stimmen überein.

  3. A(x0)=B(x0)→kA(x0)=kB(x0)A(x_0) = B(x_0) \rightarrow \resaltar{k} A(x_0) = \resaltar{k} B(x_0)

    Ebenso: Ist x0x_0 eine Lösung von A=BA = B, so erhält man durch Multiplikation derselben Zahl mit kk dasselbe Ergebnis.

  4. k−1(kA(x0))=(k−1k)A(x0)=A(x0)\resaltar{k^{-1}} \left( k A(x_0) \right) = \left( k^{-1} k \right) A(x_0) = \resaltar{A(x_0)}

    Umgekehrt existiert wegen k≠0k \neq 0 der Kehrwert k−1k^{-1}; multipliziert man beide Seiten von kA(x0)=kB(x0)kA(x_0) = kB(x_0) damit, so erhält man die ursprüngliche Gleichheit zurück. Verschwindet CC in keinem Punkt, so gilt dasselbe Argument in jedem x0x_0 mit der Zahl k=C(x0)k = C(x_0).

  5. 0⋅A(x0)=0=0⋅B(x0)\resaltar{0} \cdot A(x_0) = 0 = \resaltar{0} \cdot B(x_0)

    Die Voraussetzung k≠0k \neq 0 ist unerlässlich: Bei Multiplikation mit 00 sind beide Seiten gleich 00 für jedes xx, und die umgeformte Gleichung wird von jeder Zahl erfüllt, ob sie eine Lösung der ursprünglichen ist oder nicht.

Operationen, die Lösungen hinzufügen oder beseitigen können

Verschwindet CC in einem Punkt, so kann die Äquivalenz verloren gehen. Multipliziert man beide Seiten mit einem Ausdruck, der in x1x_1 verschwindet, so wird die Zahl x1x_1 zu einer Lösung, auch wenn sie keine war; und dividiert man durch ihn, so gehen die Lösungen verloren, in denen er verschwindet. Zum Beispiel hat x=2x = 2 eine einzige Lösung, aber nach Multiplikation mit x−3x - 3 kommt auch die 33 hinzu; und die Gleichung x2=3xx^2 = 3x hat die Lösungen 00 und 33, denn x2−3x=x(x−3)x^2 - 3x = x(x - 3), aber nach Division durch xx bleibt x=3x = 3, und die 00 geht verloren:

x(x−3)=2(x−3)↔x=2∨x=3,x2=3x↔x=0∨x=3x(x - 3) = 2(x - 3) \leftrightarrow x = 2 \vee x = 3, \qquad x^2 = 3x \leftrightarrow x = 0 \vee x = 3

Auch das Quadrieren beider Seiten ist keine umkehrbare Operation, denn zwei entgegengesetzte Zahlen haben dasselbe Quadrat. Das folgende Lemma präzisiert, welche Lösungen hinzukommen können.

LemmaQuadrieren

Für reelle Zahlen AA und BB gilt A2=B2A^2 = B^2 genau dann, wenn A=BA = B oder A=−BA = -B. Folglich bleiben beim Quadrieren beider Seiten einer Gleichung A=BA = B alle ihre Lösungen erhalten, es können aber die der Gleichung A=−BA = -B hinzukommen; nehmen AA und BB keine negativen Werte an, so kommt keine hinzu. Der Beweis faktorisiert die Differenz der Quadrate. Die Abbildung zeigt die Parabel y=t2y = t^2 und die waagerechte Gerade in der Höhe B2B^2, mit B=2B = 2: Die Zahlen, deren Quadrat B2B^2 ist, sind die Abszissen der beiden Schnittpunkte, BB und −B-B.

Beweis

  1. A2−B2=(A−B)(A+B)A^2 - B^2 = \resaltar{(A - B)(A + B)}

    Wegen der Distributivität lässt sich die Differenz der Quadrate faktorisieren; die Terme ABAB und −AB-AB heben sich auf.

  2. A2=B2↔(A−B)(A+B)=0↔A=B∨A=−B\dato{eq}{A^2 = B^2 \leftrightarrow (A - B)(A + B) = 0 \leftrightarrow A = B \vee \resaltar{A = -B}}

    Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist, wie in der Lektion über die Zahlbereiche bewiesen wurde. Daher sind Zahlen mit gleichem Quadrat gleich oder entgegengesetzt.

  3. A2=B2↔(A=B)∨(A=−B)A^2 = B^2 \leftrightarrow \left( A = B \right) \vee \resaltar{\left( A = -B \right)}

    In jedem Wert von xx angewandt, besagt dies, dass die Lösungen der quadrierten Gleichung die von A=BA = B zusammen mit denen von A=−BA = -B sind: Keine geht verloren, aber die der zweiten können hinzukommen.

  4. A≥0≥−B=A→A=0=BA \geq 0 \geq -B = A \rightarrow \resaltar{A = 0 = B}

    Sind AA und BB nichtnegativ und gilt A=−BA = -B, so liegt die Zahl AA zwischen zwei gleichen Größen; daraus folgt A=0=BA = 0 = B, und die hinzugekommene Lösung war bereits eine Lösung von A=BA = B.

Gleichungen mit Wurzeln, deren Gesetze in der Lektion über Potenzen mit rationalen Exponenten und Wurzeln untersucht wurden, löst man durch Quadrieren; nach dem Lemma muss jede Lösung der erhaltenen Gleichung in der ursprünglichen überprüft werden.

BeispielEine Lösung, die beim Quadrieren entsteht

Man löse die Gleichung x+2=x\sqrt{x + 2} = x. Die Abbildung zeigt die Wurzel, ihr Negatives und die Gerade y=xy = x: Die quadrierte Gleichung erfasst die Schnittpunkte der Geraden mit beiden.

Beweis

  1. (x+2)2=x2→x+2=x2\resaltar{\left( \sqrt{x + 2} \right)^2} = x^2 \rightarrow \resaltar{x + 2} = x^2

    Die Wurzel ist für x≥−2x \geq -2 definiert. Wir quadrieren beide Seiten; die rechte kann negativ sein, sodass die erhaltene Gleichung mehr Lösungen haben kann als die ursprüngliche.

  2. x2−x−2=(x−2)(x+1)=0\resaltar{x^2 - x - 2} = \resaltar{(x - 2)(x + 1)} = 0

    Wir bringen alles auf die rechte Seite und faktorisieren; das Produkt (x−2)(x+1)(x - 2)(x + 1) ergibt ausmultipliziert x2−x−2x^2 - x - 2.

  3. x=2∨x=−1\dato{c}{x = 2 \vee x = -1}

    Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist: Es gibt zwei Kandidaten.

  4. 2+2=4=2\sqrt{\resaltar{2} + 2} = \sqrt{4} = \resaltar{2}

    Wir prüfen den ersten in der ursprünglichen Gleichung: Er ist eine Lösung.

  5. −1+2=1≠−1\sqrt{\resaltar{-1} + 2} = 1 \neq \resaltar{-1}

    Der zweite ist keine: Die linke Seite ist 11 und die rechte −1-1. Er ist eine Lösung von −x+2=x-\sqrt{x + 2} = x, der Gleichung A=−BA = -B, die das Quadrieren hinzugefügt hat. Die Lösungsmenge ist also {2}\{2\}.