Potenzen mit rationalen Exponenten und Wurzeln

Potenzen mit rationalen Exponenten

In der Lektion über die Zahlbereiche wurden die Potenzen mit ganzzahligen Exponenten und die Hauptwurzel definiert: Für eine natürliche Zahl $n \geq 2$ und eine reelle Zahl $b \geq 0$ ist die Zahl $\sqrt[n]{b}$ die einzige nichtnegative reelle Zahl, deren $n$-te Potenz $b$ ist. Dort wurden für rationale Basen die Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten bewiesen; ihre Beweise verwenden nur die Eigenschaften der Addition und der Multiplikation, sodass sie ebenso für reelle Basen gelten. Dort wurde auch die Eindeutigkeit der Hauptwurzel bewiesen, von der alles Folgende abhängt, und ihre Existenz angenommen, die eine Folge der Vollständigkeit der reellen Zahlen ist und in der Lektion über die Zahlengerade bewiesen wurde.

Potenzen und Wurzeln sind Umkehroperationen, und es empfiehlt sich, sie in einer einzigen Schreibweise zu vereinen. Soll das Gesetz für die Potenz einer Potenz auch für gebrochene Exponenten gelten, so muss die Zahl $a^{\frac{1}{q}}$ die Gleichung $\left(a^{\frac{1}{q}}\right)^q = a^1 = a$ erfüllen; das heißt, sie muss eine $q$-te Wurzel von $a$ sein, und die natürliche Wahl ist die Hauptwurzel. Ebenso muss $a^{\frac{p}{q}}$ die $p$-te Potenz von $a^{\frac{1}{q}}$ sein, oder auch die $q$-te Wurzel von $a^p$. Diese Beobachtung beweist nichts, denn sie setzt die Gesetze voraus, die man erhalten will; sie legt nur die Definition nahe.

Definition (Potenz mit rationalem Exponenten). Sei $a > 0$ eine reelle Zahl, $p$ eine ganze Zahl und $q$ eine natürliche Zahl. Die Potenz mit rationalem Exponenten $a^{\frac{p}{q}}$ ist die $q$-te Hauptwurzel von $a^p$. Für $q = 1$ versteht man unter der Wurzel mit dem Wurzelexponenten $1$ einer Zahl die Zahl selbst, sodass die Definition mit der der Potenz mit ganzzahligem Exponenten übereinstimmt.

Die Wurzel existiert, weil $a^p$ positiv ist, und sie ist aus demselben Grund positiv: Wäre sie null, so wäre auch ihre $q$-te Potenz null. Zum Beispiel gilt $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$ und $27^{-\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$. Im ersten Beispiel erhält man dasselbe Ergebnis, wenn man zuerst die Wurzel zieht und danach potenziert, denn $\left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$; die Reihenfolge der beiden Operationen ist gleichgültig.

Die Definition hängt nicht vom Bruch ab

Ein und dieselbe rationale Zahl wird mit vielen Brüchen geschrieben: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}$. Die obige Definition ist mit einem bestimmten Bruch formuliert, und nichts garantiert von vornherein, dass zwei Schreibweisen desselben Exponenten dieselbe Zahl ergeben; zum Beispiel gilt $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$, während $2^{\frac{2}{4}} = \sqrt[4]{4}$. Ergäben sie verschiedene Zahlen, so hätte das Symbol $a^x$ für eine rationale Zahl $x$ keinen Sinn, sondern nur für jeden ihrer Brüche.

Folglich ist für jede rationale Zahl $x$ die Zahl $a^x$ wohldefiniert: Man schreibt $x$ auf beliebige Weise als Bruch, und das Ergebnis ist immer dasselbe. Insbesondere lässt sich jeder rationale Exponent mit natürlichem Nenner schreiben, und zwei Exponenten lassen sich mit einem gemeinsamen Nenner schreiben, was in den folgenden Beweisen verwendet wird.

Die Voraussetzung $a > 0$ ist keine Laune. Bei negativer Basis existiert die Wurzel mit ungeradem Wurzelexponenten, aber das Ergebnis hinge vom Bruch ab: $\sqrt[3]{-8} = -2$, während $\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$, obwohl $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Deshalb definiert man keine Potenzen mit rationalem Exponenten bei negativer Basis, und für negative Zahlen schreibt man die Wurzel, wie $\sqrt[3]{-8}$. Bei der Basis null definiert man $0^x = 0$ für jede rationale Zahl $x > 0$, und negative Exponenten oder der Exponent null werden nicht definiert.

Die Gesetze der rationalen Exponenten

Nachdem die Definition gesichert ist, prüft man, dass die Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten nach wie vor gelten.

Aus dem ersten Gesetz folgen die Konsequenzen: Da $a^x \cdot a^{-x} = a^0 = 1$, ist die Zahl $a^{-x}$ der Kehrwert von $a^x$, und damit ist $\frac{a^x}{a^y} = a^x \cdot a^{-y} = a^{x - y}$. Die Gesetze erlauben es, mit rationalen Exponenten wie mit ganzzahligen zu rechnen. Zum Beispiel:

Potenzen mit rationalen Exponenten und Ordnung

In der Lektion über die Zahlbereiche wurde bewiesen und in der Lektion über die Zahlengerade auf Ungleichungen angewandt, dass Potenzen mit natürlichen Exponenten die Ordnung nichtnegativer Zahlen erhalten: Ist $0 \leq u < v$, so ist $u^n < v^n$. Die Potenzen mit rationalen Exponenten erben diese Eigenschaft bezüglich der Basis und fügen eine andere bezüglich des Exponenten hinzu, deren Richtung davon abhängt, ob die Basis größer oder kleiner als $1$ ist.

Die Graphen der Potenzfunktionen werden in der Lektion über die algebraischen Funktionen ausführlich untersucht; hier genügen die beiden Monotonieeigenschaften, die zum Vergleich von Zahlen verwendet werden.