انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

مسائل الأمثلة

ملخص

يعالج هذا الدرس مسائل يُطلب فيها إيجاد أفضل وضع من بين أوضاع ممكنة كثيرة: المستطيل ذو المساحة الكبرى، والأسطوانة ذات المساحة السطحية الصغرى، وأقصر طريق أو أسرعه. أعطت الدروس التي سبقت الأدوات اللازمة لإيجاد القيم القصوى المطلقة لدالة معطاة؛ أما هنا فالدالة غير معطاة، ومعظم العمل، ومعظم الأخطاء، يكمن في بنائها. يحدد الدرس طريقة في خمس مراحل (المتغير، والدالة، والمجال، والقيم القصوى المطلقة مع تبريرها، والاستنتاج)، ويبرهن أن الدالة وتركيبها مع دالة متزايدة تمامًا تبلغان قيمهما القصوى في النقاط نفسها، مما يسمح، مثلًا، بتصغير مربع المسافة بدلًا من المسافة نفسها. ثم يبرهن أن لكل نقطة نقطةً هي الأقرب إليها على التمثيل البياني لدالة متصلة على فترة مغلقة، وأنه إذا لم تكن هذه النقطة على الحافة فإن النقطة المعطاة تقع على المستقيم الناظم؛ ويستخرج من مبدأ الزمن الأقل قانونَي الانكسار، أي قانون سنيل، والانعكاس، أي قانون هيرون. وتعالج المسائل إيجاد الصندوق ذي الحجم الأكبر، والأسطوانة ذات المساحة السطحية الصغرى، وأطول قضيب يمكنه الالتفاف حول زاوية، والموضع الذي تُرى منه لوحة بأكبر زاوية، وأسرع طريقة لعبور قناة.

أهداف التعلم

  1. تحويل مسألة هندسية أو فيزيائية إلى البحث عن القيمة القصوى المطلقة لدالة في متغير واحد، على مجال محدد بدقة.
  2. تبرير أن القيمة القصوى التي وُجدت مطلقة: بمبرهنة فايرشتراس إذا كان المجال فترة مغلقة ومحدودة، وإلا فبإشارة المشتقة أو بالتقعر نحو الأعلى أو بالنهايات عند طرفي المجال.
  3. إيجاد نقطة التمثيل البياني الأقرب إلى نقطة معطاة، وإدراك أن المستقيم الواصل بينهما ناظم على التمثيل البياني.
  4. استخراج قانونَي الانعكاس والانكسار من مبدأ الزمن الأقل، وإدراك متى يقع الأمثل على حافة المجال.

الطريقة

علّمت الدروس المتعلقة بـمبرهنة فايرشتراس وبـالقيم العظمى والصغرى إيجاد القيم القصوى المطلقة لدالة معطاة على فترة معطاة. أما في مسألة الأمثلة فيُطلب أفضل وضع لشكل هندسي أو لحركة، ويجب بناء الدالة التي ينبغي دراستها، مع مجالها، انطلاقًا من نص المسألة. للطريقة خمس مراحل.

  1. المتغير. نختار مقدارًا يحدد الوضع (طولًا أو زاوية أو موضعًا)، ونعبّر به، بواسطة شروط المسألة، عن جميع المقادير الأخرى.
  2. الدالة. نكتب المقدار المراد جعله أكبر ما يمكن أو أصغر ما يمكن دالةً في هذا المتغير وحده.
  3. المجال. نحدد مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير في المسألة، وهي عادةً فترة. إذا امتدت الدالة باتصال إلى أوضاع منحلّة، كمستطيل ارتفاعه صفر أو صندوق بلا حجم، فمن المناسب قبولها للحصول على فترة مغلقة، ما دامت القيمة القصوى المطلوبة لا تُبلغ فيها.
  4. القيم القصوى المطلقة. نوجدها في المجال ونبرر أنها مطلقة. إذا كان المجال فترة مغلقة ومحدودة فإن مبرهنة فايرشتراس تضمن وجودها، وقضية القيم القصوى المطلقة على فترة مغلقة ومحدودة، من الدرس المتعلق بالقيم العظمى والصغرى، توجدها بمقارنة القيم. وإلا فنستعمل إشارة المشتقة (مبرهنة اختبار المشتقة الأولى للقيم القصوى المطلقة، أو نتيجة النقطة الحرجة الوحيدة، من الدرس نفسه)، أو التقعر نحو الأعلى (نتيجة النقاط الحرجة لدالة مقعّرة نحو الأعلى، من الدرس المتعلق بـالتقعر والتحدب)، أو النهايات عند طرفي المجال (قضية القيم القصوى المطلقة على فترة مفتوحة).
  5. الاستنتاج. نعود إلى المسألة: نعطي الوضع الأمثل، لا القيمة المثلى وحدها، ونتحقق من أنه معقول، في وحدات القياس وفي الحالات الخاصة.

المرحلة الرابعة هي الأكثر إغفالًا: لا يكفي إيجاد نقطة تنعدم فيها المشتقة. فقد تكون هذه النقطة قيمة صغرى حين يُبحث عن قيمة عظمى، أو قيمة قصوى محلية فحسب، أو نقطة خارج المجال؛ وقد تقع القيمة القصوى المطلقة عند طرف الفترة، حيث لا يلزم أن تنعدم المشتقة. وقد بيّن الدرس المتعلق بالقيم العظمى والصغرى، بالدالة 1x+x2\frac{1}{x} + x^2، أن نقطة حرجة وحيدة لا تضمن شيئًا إذا لم يكن المجال فترة. وكثيرًا ما يكون من المناسب، فوق ذلك، أن توضع مكان الدالة دالة أبسط تبلغ قيمها القصوى في النقاط نفسها.

توطئةالقيم القصوى والدوال الرتيبة تمامًا

لتكن ff دالة معرّفة على مجموعة AA، وcc نقطة من AA، وφ\varphi دالة متزايدة تمامًا على مجموعة تحوي قيم ff. عندئذ تبلغ ff عند cc قيمتها العظمى المطلقة على AA إذا وفقط إذا بلغتها φ∘f\varphi \circ f، ويصح الأمر نفسه للقيمة الصغرى المطلقة وللقيم القصوى المحلية وللقيم القصوى الصارمة. وإذا كانت φ\varphi متناقصة تمامًا، فإن ff تبلغ عند cc قيمة عظمى إذا وفقط إذا بلغت φ∘f\varphi \circ f عند cc قيمة صغرى من النوع نفسه، والعكس بالعكس. الدالة المتزايدة تمامًا لا تغيّر الترتيب بين القيم، والقيم القصوى لا تتوقف إلا على هذا الترتيب.

البرهان

  1. u≤w⇔φ(u)≤φ(w),u<w⇔φ(u)<φ(w)u \leq w \Leftrightarrow \varphi(u) \leq \varphi(w), \qquad u < w \Leftrightarrow \dato{orden}{\varphi(u) < \varphi(w)}

    ليكن uu وww في مجال φ\varphi. إذا كان u<wu < w فإن الرتابة التامة تعطي φ(u)<φ(w)\varphi(u) < \varphi(w)؛ وإذا كان u=wu = w تساوت القيمتان؛ وإذا كان u>wu > w أعطت φ(u)>φ(w)\varphi(u) > \varphi(w). إذن المتباينات بين الأعداد وبين صورها متكافئة.

  2. f(x)≤f(c)⇔φ(f(x))≤φ(f(c))f(x) \leq f(c) \Leftrightarrow \resaltar{\varphi\left(f(x)\right) \leq \varphi\left(f(c)\right)}

    بأخذ u=f(x)u = f(x) وw=f(c)w = f(c)، لكل xx من AA، أو لكل xx من AA يبعد عن cc أقل من عدد ما δ\delta، فإن المتباينات التي تعرّف القيمة العظمى المطلقة والمحلية والصارمة، بحسب الدرس المتعلق بالقيم العظمى والصغرى وتعريف القيمة القصوى المحلية في الدرس المتعلق بـمبرهنات فيرما ورول ولاغرانج وكوشي، تصح لـff إذا وفقط إذا صحت لـφ∘f\varphi \circ f. والقيمة الصغرى مثلها، وإذا كانت φ\varphi متناقصة تمامًا انعكس اتجاه المتباينات بين الصور.

الحالات الأكثر استعمالًا أربع. الجذر التربيعي متزايد تمامًا على [0,∞)\ico{0}{\infty}: المسافة ومربعها يبلغان قيمتهما الصغرى في النقاط نفسها، والمربع يُكتب دون جذور. والتربيع متزايد تمامًا على [0,∞)\ico{0}{\infty}: المقدار غير السالب ومربعه يبلغان قيمتهما العظمى في النقاط نفسها. واللوغاريتم متزايد تمامًا على (0,∞)\ioo{0}{\infty}: وكذلك حاصل ضرب قوى موجبة ولوغاريتمه، الذي هو مجموع. والدالة الموجبة تبلغ قيمتها العظمى حيث يبلغ مقلوبها قيمته الصغرى، لأن 1u\frac{1}{u} متناقصة تمامًا على (0,∞)\ioo{0}{\infty}.

مثالالمستطيل المرسوم في نصف دائرة

من بين المستطيلات المرسومة في نصف دائرة نصف قطرها RR، وأحد أضلاعها على القطر، أوجد المستطيل ذا المساحة الكبرى. مراحل الإيجاد هي مراحل الطريقة.

البرهان

  1. A(x)=2xR2−x2A(x) = 2x\sqrt{R^2 - x^2}

    المتغير والدالة. نضع المركز في الأصل والقطر على المحور الأفقي. يتحدد المستطيل بنصف قاعدته xx: رأساه العلويان على نصف الدائرة، في (±x,R2−x2)\left(\pm x, \sqrt{R^2 - x^2}\right)، ومساحته هي الدالة الآتية.

  2. F(x)=(A(x))2=4x2(R2−x2),x∈[0,R]F(x) = \left(A(x)\right)^2 = \resaltar{4x^2\left(R^2 - x^2\right)}, \qquad x \in \icc{0}{R}

    المجال. المستطيلات الحقيقية توافق xx في (0,R)\ioo{0}{R}؛ ونقبل أيضًا 00 وRR، اللذين يعطيان مستطيلين منحلّين مساحتهما صفر، فنحصل على فترة مغلقة ومحدودة تكون AA متصلة عليها: بحسب مبرهنة فايرشتراس، القيمة العظمى موجودة. وبما أن AA غير سالبة، يكفي بحسب التوطئة أن نجعل مربعها أكبر ما يمكن، وهو كثير حدود، وعلى خلاف AA، قابل للاشتقاق عند RR أيضًا.

  3. F′(x)=8x(R2−2x2)=0, 0<x<R→x=R2F'(x) = 8x\left(R^2 - 2x^2\right) = 0, \ 0 < x < R \rightarrow \resaltar{x = \frac{R}{\sqrt{2}}}

    النقاط المرشحة. تنعدم مشتقة FF في نقطة واحدة فقط من (0,R)\ioo{0}{R}.

  4. F(0)=F(R)=0<F(R2)=R4,A(R2)=R2F(0) = F(R) = 0 < F\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^4, \qquad \resaltar{A\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^2}

    المقارنة والاستنتاج. بحسب قضية القيم القصوى المطلقة على فترة مغلقة ومحدودة، القيمة العظمى لـFF هي أكبر قيمها عند 00 وعند RR وعند النقطة الحرجة. للمستطيل الأمثل قاعدة 2R\sqrt{2}R وارتفاع R2\frac{R}{\sqrt{2}}، أي نصف القاعدة، ومساحة R2R^2.

بانعكاس المستطيل الأمثل بالنسبة إلى القطر نحصل على مربع طول ضلعه 2R\sqrt{2}R مرسوم في الدائرة كاملة، مساحته 2R22R^2، وهو، بالحساب نفسه، المستطيل ذو المساحة الكبرى المرسوم فيها. لم تغيّر المستطيلات المنحلّة ما توصلنا إليه: القيمة العظمى تُبلغ عند مستطيل حقيقي.