صيغ المجموع والفرق وضعف الزاوية ونصف الزاوية

جيب تمام الفرق

التناظرات التي بُرهنت في درس النسب المثلثية ودائرة الوحدة، مثل $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ أو $\sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos \theta$، تربط النسب المثلثية لزاوية بنسب زاوية أخرى تنتج بإضافة زاوية ربعية إليها أو بطرحها منها. غير أن هذه المساويات حالات خاصة من مسألة عامة: حساب النسب المثلثية لـ$\alpha + \beta$ ولـ$\alpha - \beta$ انطلاقًا من نسب $\alpha$ و$\beta$، أيًّا كان هذان العددان. ويجدر التنبيه منذ البداية إلى أن النسب المثلثية لا توزَّع على المجموع: $\sin\left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$، في حين أن $\sin \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$، وهو أكبر من $1$. فالصيغة الصحيحة تمزج الجيوب بجيوب التمام، ومفتاح الحصول عليها وتر من أوتار دائرة الوحدة.

كما في مسلّمة السير على الدائرة بطول القوس في درس الزوايا وقياسها، يرمز $P(\theta)$ إلى نقطة دائرة الوحدة التي يُبلغ إليها انطلاقًا من $(1, 0)$ بقطع قوس طوله $\abs{\theta}$، عكس اتجاه عقارب الساعة إذا كان $\theta > 0$ وفي اتجاهها إذا كان $\theta < 0$؛ وبتعريف ذلك الدرس، $P(\theta) = \left( \cos \theta, \sin \theta \right)$.

لا يشترط البرهان أي شرط على $\alpha$ و$\beta$: فمبرهنة المسافة بالإحداثيات القطبية صحيحة لأي زاويتين، وإذا كان $P(\alpha) = P(\beta)$ كانت عبارتا $d^2$ كلتاهما معدومتين. وليس فيه دور: فتلك المبرهنة بُرهنت بقانون جيوب التمام، الذي استُخرج بدوره بوضع المثلث في نظام إحداثيات، دون استعمال صيغ مجموع الزوايا. ويمكن سلوك الطريق في الاتجاه المعاكس أيضًا: إذا خرج الضلعان $b$ و$c$ لمثلث من الأصل بزاويتي ميل $\beta$ و$\alpha$، فإن مربع المسافة بين طرفيهما هو $b^2 + c^2 - 2bc \left( \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \right)$، ومن يملك صيغة جيب تمام الفرق يستخرج من ذلك قانون جيوب التمام في درس حل المثلثات.